函数综合
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则= ．【答案】.【解析】记，，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设，那么（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .（符号表示不超过的最大整数）.【答案】2.【解析】设，当时，；当时，；当时，；当时，；即；令，得；令，得；的所有根为0,2，之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，又∵，，∴，又∵，根据二次函数的相关知识，可知当，时，，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值；2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】,故①正确；根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确；仅是定义域变了，值域没有改变；故③不正确；是关于对称轴对称的图像，所以与其交点个数只能是偶数个，不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系；2.函数奇偶性；3.抽象函数；4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式，当时，则，此时，所以A错误；当恒成立时，有，此时假设，则由绝对值不等式可知恒成立，此时与恒成立矛盾，再结合对A选项的分析，可知，所以B选项错误；当时，则，此时，方程，左边是正数，右边是负数，无解，所以C错误；对于D，当关于的方程有解时，由上述C选项的分析可知不可能小于0，当时，，也不满足有解，所以，此时由有解，可得，所以，所以，选项D正确，故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点，二次函数图象向上，∴，可得，解得，故选D．【考点】1、函数零点；2、函数与方程的关系．9.已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的零点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）零点为【解析】（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式. 本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，当时，， 2分又的定义域为，当时， 2分综上可得， 2分（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分当时，， 1分当时，令，即，解得，(舍去) 2分综上可得，函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质；2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。
高三数学函数综合试题答案及解析
高三数学函数综合试题答案及解析1.给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N③—P ④—QB．①—N②—P③—M④—QC．①—P②—M③—N④—QD．①—Q②—M③—N④—P【答案】D【解析】图象M是指数型函数，具有性质②；图象N是对数型函数，具有性质③图象P是幂函数，具有性质④，图象Q是正比例函数，具有性质①，故选D【考点】基本初等函数的图象与性质．2.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①方程的解是；②；③是奇函数；④在定义域上单调递增；⑤的图象关于点对称．【答案】①④⑤【解析】①则，正确；②当时，∠ACM=,此时故，不对；③的定义域为不关于原点对称，是非奇非偶函数；④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增，正确；⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质；2、创新意识.3.下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数上的点，如图1；将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3.图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①方程的解是；②；③是奇函数；④在定义域上单调递增；⑤的图象关于点对称．【答案】①④⑤【解析】①则，正确；②当时，∠ACM=,此时故，不对；③的定义域为不关于原点对称，是非奇非偶函数；④显然随着的增大,也增大;所以在定义域上单调递增，正确；⑤又整个过程是对称的,所以正确.【考点】1、函数的性质；2、创新意识.4.函数的部分图像可能是（）A B C D【答案】B【解析】∵，∴为奇函数，且存在多个零点导致存在多个零点，故的图像应为含有多个零点的奇函数图像.故选B.【考点】通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.5.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为．【答案】．【解析】f（x）=x3-3ax（a∈R），则f′（x）=3x2-3a若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为-1，f（x）′=3x2-3a与直线x+y+m=0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x=0时取最小值，-3a＞-1，则a的取值范围为，即答案为．【考点】线性规划.6.已知函数的两个极值点分别为，且，，点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域内的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】∵函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），的两根x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，则x1+x2=-m，x1x2=＞0，，即n+3m+2＜0，∴-m＜n＜-3m-2，为平面区域D，如图：∴m＜-1，n＞1．∵的图象上存在区域D内的点，∴loga（-1+4）＞1，∴∵a＞1，∴lga＞0，∴1g3＞lga．解得1＜a＜3；故选Ｂ．【考点】１．利用导数研究函数的极值；２．不等式组表示平面区域．7.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.【答案】(1)解应用题问题，关键正确理解题意，列出对应的等量关系：(2)本题实质是解一个不等式：由题意得，，，即，当声音能量时，人会暂时性失聪.【解析】(1) (2)（1）2分4分6分（2）由题意得 10分12分14分答：当声音能量时，人会暂时性失聪. 15分【考点】实际问题应用题8.已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2＋2)<f(3x)，则实数x的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝ln x＋2x，x∈(0，＋∞)得f′(x)＝＋2x ln 2>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(x2＋2)<f(3x)，得0<x2＋2<3x，所以x∈(1,2)．9.函数的图象可能是（）【答案】【解析】函数的定义域为，可排除；又时，，即，故选.【考点】函数的图象，函数的定义域，正弦函数、对数函数的性质.10.已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．【答案】(－1,3)【解析】由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.11.（5分）（2011•广东）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【答案】B【解析】根据定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g （x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），然后逐个验证即可找到答案．解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（h（g（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．点评：此题是个基础题．考查学生分析解决问题的能力，和知识方法的迁移能力．12.已知函数f(x)=lnx+a,其中a为大于零的常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.(2)求证：对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>++…+恒成立.【答案】（1）(0,1] （2）见解析【解析】(1)f′(x)=(x>0),由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因为当x∈[1,+∞)时,x≥1,所以a≤1,即a的取值范围为(0,1].(2)由(1)知函数f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上为增函数,当n>1时,因为>1,所以f>f(1),即lnn-ln(n-1)>,对于n∈N*,且n>1恒成立,lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以对于n∈N*,且n>1时,lnn>++…+恒成立.13.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)＝x＋（2）(－∞，－4]【解析】(1)∵f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B′(x′，y′)，则∴∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋＋2.∴2－y＝－x－＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.(2)∵g(x)＝x2＋ax＋1，且g(x)在[0,2]上为减函数，∴－≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．14.已知函数则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数，.即.所以函数的零点个数即等价于，方程的解得个数，即等价于函数的交点的个数.如图所示.所以共有两个交点.故选B.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的零点问题.3.等价转换的数学能力.4.分类讨论的数学思想.15.已知符号函数则函数的零点个数为（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，时，，解得；当时，；当时，，即无解。
必修1第二单元函数综合复习
必修 1 第二单元函数综合复习 1.“函数”概念辨析 一、定义域 1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示． 2．求函数定义域的方法 x＋2 例 1 求 y＝ x＋2＋ 的定义域． |x|－4 例 2 已知函数 y＝f(x＋1)的定义域为(－1,1)，求函数 y＝f(x)的定义域． 例 3 一矩形的周长为 20，长 y 是宽 x 的函数，求其解析式和定义域． 二、对应关系:例 4 已知函数 f(x)＝x2－2x，求 f(1)、f(a)、f(2x)． 三、值域 1．函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应关系确定，常用集合或区间来表示． 2．值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法： (1)二次函数型利用“配方法”:例 5 求函数 y＝－2x2＋4x＋6 的值域． (2)换元法(注意换元后新元的范围)．:例 6 求函数 y＝2x＋4 1－x的值域． (3)形如 y＝ ax＋b (a，c≠0)的函数用分离常数法． cx＋d )
(1)求证：f(x)在 R 上是减函数；
跟踪训练：函数 f(x)的定义域为 D＝{x|x≠0}，且满足对于任意 x1，x2∈D，有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果 f(4)＝1，f(x－1)<2，且 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求 x 的取值范围．
)
10．已知定义在 R 上的奇函数满足 f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若 f(3－m2)>f(2m)，则实数 m 的取值范围是________． 三、解答题 11．函数 f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2 在区间[0,2]上有最小值 3，求 a 的值．
12．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx(a，b 为常数，且 a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程 f(x)＝2x 有两等根． (1)求 f(x)的解析式；(2)求 f(x)在[0，t]上的最大值．
中考总复习：函数综合--知识讲解(基础)
中考总复习：函数综合—知识讲解（基础）【考纲要求】1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等；2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法；3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置；4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【知识网络】【考点梳理】考点一、平面直角坐标系 1．相关概念（1）平面直角坐标系 （2）象限 （3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标 （1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标 （3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标 （4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标 4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离 （3）平面上任意两点间的距离 5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置 （2）利用坐标表示平移 要点诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ； （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .考点二、函数及其图象 1.变量与常量 2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象 要点诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.考点三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4. 一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题 要点诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.考点四、反比例函数 1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题 要点诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk=∴||k S k xy ==，.考点五、二次函数 1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题 要点诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.考点六、函数的应用1.一次函数的实际应用2. 反比例函数的实际应用3. 二次函数的实际应用要点诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a, b的取值范围，使得：（1）y随x的增大而增大；（2）函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）函数的图象过第一、二、四象限.【思路点拨】（1）y=kx+b (k≠0)的图象，当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当b＜0时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；（3）当k＜0， b＞0时时，函数的图象过第一、二、四象限.【答案与解析】解：a、b的取值范围应分别满足：（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：当k＞0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2＞0,∴23a＞, 且b取任何实数.（2）函数图象与y 轴的交点为（0,1-b ）， ∵ 交点在x 轴的下方，∴ ，即a≠, b ＞1.（3）函数图象过第一、二、四象限，则必须满足 .【总结升华】下面是y=kx(k≠0), y=kx+b (k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当b ＞0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b ＜0时，图象过一、三、四象限；当y=x 时，图象过一、三象限，且是它的角平分线.由于常数k 、b 不同，可得到不同的函数，k 决定直线与x 轴夹角的大小，b 决定直线与y 轴交点的位置，由k 定向，由b 定点.同样，如图2，是k ＜0的各种情况，请你指出它们的图象的特点和性质.举一反三：【变式】作出函数y=x, 2x y x=，2()y x =的图象，它们是不是同一个函数？【答案】 函数2()y x =的自变量x 的取值范围是x≥0；函数2x y x=在x≠0时，就是函数y=x ；而x=0不在函数2x y x=的自变量x 的取值范围之内.由此，作图如下：可见它们不是同一个函数.类型二、函数图象及性质2．已知：(1)m为何值时，它是一次函数.(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积. 【思路点拨】一次函数应满足：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.【答案与解析】(1)依题意：，解得m=1或m=4.∴当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限，y随x的增大而增大.当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)，与y轴交点为B(0，-3)，..∴直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.【总结升华】(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b（k≠0）中k、b的符号.(3)直线y=kx+b（k≠0）与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b（k ≠0）上的点在x轴上时，令y=0，则，交点为；当直线y=kx+b（k≠0）上的点在y轴上时，令x=0，则y=b，即交点为(0，b).举一反三：【高清课程名称：函数综合1 高清ID号：369111关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】【变式】已知关于x的方程2(3)40--+-=.x m x m（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值. 【答案】证明：（1）22224(3)4(4)1025(5)b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥0，所以方程总有两个实数根.解：（2）由（1）2(5)m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：23(5)2m m x -±-= 即11x =，24x m =-,由题意，有448m <-<，即812m <<.（3）易知，抛物线2(3)4y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，4m -）,由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（4m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 4m -）， 由题意，可得14m -=-或44m m -=-，所以3m =或4m =.3．抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2﹣2x﹣3，则b 、c 的值为（ ）A ．b=2，c=2B ．b=2，c=0C ．b=﹣2，c=﹣1D ．b=﹣3，c=2 【思路点拨】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【答案】B ． 【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴原抛物线的顶点为（﹣1，﹣1），设原抛物线的解析式为y=（x ﹣h ）2+k 代入得：y=（x+1）2﹣1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．【总结升华】抛物线的平移不改变二次项系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．4．若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数1y x=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是 ． 【思路点拨】因为反比例函数1y x = 的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+1中，k ＜0，将解方程组 11y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化成关于x 的一元二次方程，当两函数图象没有公共点时，只需△＜0即可．【答案】1-4k＜.【解析】由反比例函数的性质可知，1yx=的图象在第一、三象限，∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k＜0，解方程组11y kxyx=+⎧⎪⎨=⎪⎩，得kx2+x-1=0，当两函数图象没有公共点时，△＜0，即1+4k＜0，解得1-4k＜，∴两函数图象无公共点时，1-4k＜．故答案为：1-4k＜.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是转化成关于x的一元二次方程，再确定k的取值范围．类型三、函数综合题5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y3＞y1【思路点拨】先判断出函数反比例函数y=的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特征进行判断．【答案】B．【解析】解：∵k2≥0，∴﹣k2≤0，﹣k2﹣1＜0，∴反比例函数y=的图象在二、四象限，∵点（﹣1，y1）的横坐标为﹣1＜0，∴此点在第二象限，y1＞0；∵（2，y2），（3，y3）的横坐标3＞2＞0，∴两点均在第四象限y2＜0，y3＜0，∵在第四象限内y随x的增大而增大，∴0＞y3＞y2，∴y1＞y3＞y2．故选B．【总结升华】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．举一反三：【变式】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）A. B． C． D．【答案】由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；∴双曲线的图象在第二、四象限；由于抛物线开口向上，所以a＞0；对称轴x=＞0，所以b＜0；抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；∴直线y=bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．故选D．类型四、函数的应用6．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？【思路点拨】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【答案】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A （0，2.5），B （2，2.5），C （0.5，1）设函数解析式为y=ax 2+bx+c ，把A 、B 、C 三点分别代入得出c=2.5， 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解之得a=2，b=﹣4，c=2.5．∴y=2x 2﹣4x+2.5=2（x ﹣1）2+0.5． ∵2＞0，∴当x=1时，y=0.5米． ∴故答案为：0.5米．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 举一反三：【高清课程名称： 函数综合1 高清ID 号： 369111 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题3】 【变式】抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （A 在B 左侧），请说明116x <，2112x <<．【答案】（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴ 12362366b a b c c a a a a++==-=-． ∵ a ＞0，c ＜0，∴0c a <，0c a->． ∴ 1023b a +>．（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ， ∴ 11 ,42 .a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 2(2)33a a n a b c a c c c =++=+--+=-＞0． ∴ 0mn <．② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<． ∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a =-，由抛物线的对称性可1222x x b a +=-，由（1）知123b a -<， ∴ 12123x x +<． ∴ 12221332x x <-<-，即116x <．。
2023年中考数学总复习第三章《函数》综合测试卷及答案
2023年中考数学总复习第三章《函数》综合测试卷一、选择题（每小题３分，共48分）1.已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A.（a，b）B．（-a，b）C．（-a，-b）D．（a，-b）（第1题图）（第7题图）2.函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥2且x≠3B．x≥2C．x≠3D．x＞2且x≠33.已知一个正比例函数的图象经过A（-2，m）和B （n，4）两点，则m，n间的关系一定是（）A．mn=-8B．mn=8C．m=-2n D．m=-n4.一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（）A．y=10x+30B．y=40xC．y=10+30x D．y=20x5.已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2 6.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）7.如图，直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m＞nx+4n＞0的整数解为（）A．-1B．-5C．-4D．-38.二次函数y=x2-（12-k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12B．11C．10D．99.定义一个新的运算：a b=则运算x2的最小值为（）A．-3B．-2C．2D．310.如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=（ｘ＞０）的图象经过点Ａ，若△BCE的面积为６，则ｋ等于（）A．3B．6C．12D．24（第10题图）（第11题图）11.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，-3）B．顶点坐标是（1，-3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0），（-1,0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小12.如图中的图①、②、③所示，阴影部分面积的大小关系正确的是（）A．①＞②＞③B．③＞②＞①C．②＞③＞①D．①=②=③（第12题图）13.已知点A是直线y=2x与双曲线y=（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线垂足为B，且OB=2，则m的值为（）A．-7B．-8C．8D．714.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与反比例函数y=的图象有唯一公共点，若直线y=-x+b 与反比例函数y=的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）A．b＞2B．-2＜b＜2C．b＞2或b＜-2D．b＜-2。
函数综合试题
函数综合试题一：选择题1．已知，则则A等于（）A．15 B．C．D．225 2．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）A．B．C．D．3．已知则的值等于( )A．0 B．C．D．9 4．若，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c5．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：① 0<a<b<1；② 0<b<a<1；③a=b；④ 1<a<b；⑤l<b<a．其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．若0＜a＜1，且函数，则下列各式中成立的是（）A．B．C．D．7．已知：的不等实根一共有（）A、1个B、2 个C、3 个D、4个8．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：．设函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.9．曲线在原点处的切线方程为A. B. C. D.10.设函数有（）A．分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内的三个根B.四个实根C.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内的四个根D.分别位于区间（0，1）（1，2），（2，3），内的三个根11．函数的导数是（）A． B. C. D.12．与定积分相等的是（）A． B. C. - D. +二：填空题13．由曲线所围成的图形面积是.14．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，则该汽车在前3小时内行驶的路程为_________km，假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2006km，那么在时，汽车里程表读数与时间的函数解析式为__________。
15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________ 。
16．给出下列四个命题：①函数（且）与函数（且）的定义域相同；②函数与的值域相同；③函数与都是奇函数；④函数与在区间[0，＋）上都是增函数。
函数性质的综合问题
函数性质的综合问题总第8课时题型一函数的单调性与奇偶性例1 (1)设f (x )是定义在R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＝ln x ＋e x .若a ＝f (－π)，b ＝f (log 23)，c ＝f (2－0.2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >a >cB ．c >b >aC ．a >b >cD ．a >c >b (2)若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A ．[－1,1]∪[3，＋∞)B ．[－3，－1]∪[0,1]C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3][高考改编题]若函数f (x )是定义域为R 的奇函数，f (2)＝0，且在(0，＋∞)上单调递增，则满足f (x －1)≥0的x 的取值范围是______，满足f (x )x<0的x 的取值范围是______．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是____．题型二函数的奇偶性与周期性例2 (1)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)等于( )A ．20192B ．1C ．0D ．－1(2)(多选)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上单调递增，则( )A ．f (2019)＝f (2017)B ．f (2019)＝f (2020)C ．f (2020)<f (2019)D ．f (2020)>f (2018)跟踪训练2 (1)已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2020)＋f(2021)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围是________．题型三函数的奇偶性与对称性例3 (1)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(4－x)＝－f(x)，则f(x)的周期为() A．－4 B．2 C．4 D．6(2)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值为________．跟踪训练3函数f(x)满足f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则下列说法正确的是_______．(填序号)①f(x)的周期为8；②f(x)关于点(－1,0)对称；③f(x)为偶函数；④f(x＋7)为奇函数．题型四函数的周期性与对称性例4(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是()A．f(x)为偶函数B．f(x)在[－6，－3]上单调递减C．f(x)关于x＝3对称D．f(100)＝9跟踪训练4函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，f(x－4)＝f(－x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(－80)，f(－25)，f(11)的大小关系为________．【课后作业】1．函数f (x )＝x ＋9x(x ≠0)是( ) A ．奇函数，且在(0,3)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,3)上是减函数C ．偶函数，且在(0,3)上是增函数D ．偶函数，且在(0,3)上是减函数2．f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈⎣⎡⎦⎤－52，0时，f (x )＝2x －1，则f (16)的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－323．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是( )A ．(0，e 2)B ．(e －2，＋∞)C ．(e 2，＋∞)D ．(e －2，e 2) 4．已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 都有f (x ＋2)＝13f (x )且f (2)＝2，则f (2020)的值为( )A.12 B ．2 C.213 D.1325．(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数 C ．f (x ＋3)为奇函数 D.f (x ＋4)为偶函数6．(多选)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x有如下四个命题，其中为真命题的是( ) A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．f (x )的最小值为27．偶函数f (x )在区间[1,3]上单调递减，且f (x )∈[－2,4]，那么，当x ∈[－3，－1]时，f (－3)＝________，f (x )max ＝________.8．f (x )为R 上的奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，则不等式xf (－x )<0的解集为 ．9．已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________.12．已知g (x )为偶函数，h (x )为奇函数，且满足g (x )－h (x )＝2x ，若存在x ∈[－1,1]，使得不等式m ·g (x )＋h (x )≤0有解，求实数m 的最大值．13．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －2，x ≤0，f (x －2)＋1，x >0，则f (2021)＝________. 15．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上单调递增．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.16．对于定义域为D 的函数y ＝f (x )，如果存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足：①f (x )在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，f (x )的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]是该函数的“优美区间”．(1)求证：[0,2]是函数f (x )＝12x 2的一个“优美区间”； (2)求证：函数g (x )＝4＋6x不存在“优美区间”； (3)已知函数y ＝h (x )＝(a 2＋a )x －1a 2x(a ∈R ，a ≠0)有“优美区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n －m 的最大值．。
高二数学函数综合试题
高二数学函数综合试题1.设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立．如果实数满足不等式,那么的取值范围是【答案】【解析】对于任意的都有恒成立，所以函数为奇函数；因为实数满足不等式,所以，又因为是定义在上的增函数，所以；所以，的圆心坐标为，半径为2，内的点到圆心的距离的取值范围为，表示内的点到圆心的距离的平方所以的取值范围是．【考点】函数的综合问题．2.已知集合={|在定义域内存在实数，使得成立}（Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；（Ⅱ）证明：函数；.（Ⅲ）设函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）假设，则存在，使得成立，而此方程无实数解，所以；（2）构造函数，则，所以在（0，1）上有实数解，因此；（3）因为函数，所以，令,则t>0,，由t>0得，即a的取值范围是.试题解析：（1）假设，则存在，使得即，而此方程的判别式，方程无实数解，∴。
令，则，又故，∴在（0，1）上有实数解，也即存在实数，使得成立，∴。
因为函数，所以存在实数，使得=+，=，所以，，令,则t>0,所以，，由t>0得，即a的取值范围是.【考点】1.零点存在性定理；2.构造函数求解；3.函数的值域3.设函数，.（1）解不等式；（2）若恒成立的充分条件是，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）（1,4）．【解析】（1）由题意可得，即或，由此解得原不等式的解集；（2）由题意知：当时，恒成立，即恒成立．求得当时，的最值，即可得到实数的取值范围.试题解析：（1）由得，即，所以或，解得或.（2）依题意知：当时，恒成立，所以当时，恒成立，即恒成立．由于当时，的最大值为3，最小值为2，因此，，即，所以实数的取值范围（1,4）．【考点】绝对值不等式的解法；充分条件.4.已知函数=（，（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数与的图像有两个不同的交点，求的取值范围。
（3）设点和（是函数图像上的两点，平行于的切线以为切点，求证.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）；（3）证明见解析．【解析】解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）构造函数，将图像的交点个数转化为函数的零点个数，通过函数的极值的正负求参数的值；（3）构造函数，利用放缩法合理转化.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：(1)记，则的定义域为.当时，，在上单调递减，在上单调递增.由得，即，令，；当时，，则单调递增，且；当时，，则单调递减，且，所以在处取到最大值；故要使与有两个不同的交点，只需.(3）由已知：，所以由，故同理综上所述得.【考点】1.函数的单调性；2.函数的零点；3.放缩法.5.设函数，且，．（1）求的解析式；（2）画出的图象．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）根据方程的思想，由条件提供的两个等式，建立两个关于的方程，解出的值，即得的解析式；（2）分段函数仍然是一个函数，故必须在同一个坐标系中画出图象，注意每一部分的限制条件，不可多画，也不可少画．试题解析：（1）由，，得 4分5分则 7分（2）的图象如图：12分【考点】1．求函数解析式；2．函数图象的绘制方法之一：描点作图法．6.若函数在点处连续，则的值为（）A．10B．20C．15D．25【答案】C.【解析】根据函数在处连续，有等式成立，即可求出的值为4，然后直接代入即可得到结论．【考点】函数的性质及应用．7.已知函数满足：，则＝__________.【答案】.【解析】∵，∴令，可得，显然，不恒为0，∴，再令，结合，可得，即；∴；；；；……，而，∴.【考点】赋值法求抽象函数的值.8.已知是上的奇函数，且当时，.(1)求的表达式；(2)画出的图象，并指出的单调区间．【答案】(1) ；（2）由图可知，其增区间为和，减区间为和．【解析】（1）根据是定义在上的奇函数，先设时，则，结合题意得到，然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．（2）先画出当时的函数图象，结合奇函数图象关于原点对称可画出时的函数图象即可. （3）结合函数的图象进行判断.(1) 设时，则，.又为奇函数，．.又，(2)先画出的图象，利用奇函数的对称性可得到相应的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为和，减区间为和．【考点】函数的零点与方程根的关系；奇偶性与单调性的综合.9.已知是定义在上的奇函数，且，若，有恒成立.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析（2）.【解析】（1）先在定义域内取，然后用作差法判断出，根据单调性的定义即可得到结果.（2）转化不等式为，，再看成关于a的一次函数，满足即可得到结果.（1）增函数，证明：设由题知：（2）由（1）知要使对所有恒成立，即令只要：【考点】单调性的判断方法；恒成立问题；10.已知定义在上的偶函数满足，且在区间[0，2]上．若关于的方程有三个不同的根，则的范围为．【答案】【解析】因为所以此函数为周期函数，且周期为4。
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导数综合1.已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝x －b ，b ∈R .(1)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求b 的值；(2)设T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求函数T (x )的单调增区间；(3)设h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0，1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围.解 (1)设切点为(t ，e t )，因为函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，所以e t ＝1，且e t ＝t －b ，解得b ＝－1.(2)T (x )＝e x ＋a (x －b )，T ′(x )＝e x ＋a .当a ≥0时，T ′(x )＞0恒成立.当a ＜0时，由T ′(x )＞0得x ＞ln(－a ).所以，当a ≥0时，函数T (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a ＜0时，函数T (x )的单调增区间为(ln(－a )，＋∞).(3)h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －b ）e x ，x ≥b ，－（x －b ）e x ，x ＜b .当x ＞b 时，h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0，所以h (x )在(b ，＋∞)上为增函数；当x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ，因为b －1＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0，所以h (x )在(b －1，b )上是减函数； 因为x ＜b －1时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＞0，所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数. ①当b ≤0时，h (x )在(0，1)上为增函数，所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b .由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜1，所以b ≤0；②当0＜b ＜e e ＋1时，因为b ＜x ＜1时， h ′(x )＝(x －b ＋1)e x ＞0，所以h (x )在(b ，1)上是增函数，因为0＜x ＜b 时，h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x ＜0，所以h (x )在(0，b )上是减函数，所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0.由h (x )max －h (x )min ＞1得b ＜e －1e. 因为0＜b ＜e e ＋1，所以0＜b ＜e －1e ； ③当e e ＋1≤b ＜1时，同理可得h (x )在(0，b )上是减函数， 在(b ，1)上是增函数，所以h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0.因为b ＜1，所以h (x )max －h (x )min ＞1不成立.综上所述，b 的取值范围为⎝⎛⎫－∞，e －1e .2.已知函数f (x )＝a ln x －1x(a 为常数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ≥1时，f (x )≤2x －3恒成立，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，f ′(x )＝ax ＋1x 2. 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y －5＝0垂直，所以f ′(1)＝a ＋1＝2， 即a ＝1.(2)由f ′(x )＝ax ＋1x 2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得0＜x ＜－1a，所以f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ； 由f ′(x )＜0，得x ＞－1a，所以f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (3)设g (x )＝a ln x －1x －2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则g ′(x )＝a x ＋1x 2－2＝－2x 2＋ax ＋1x 2. 令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1，考虑到h (0)＝1＞0，当a ≤1时，h (x )＝－2x 2＋ax ＋1的对称轴x ＝a 4＜1，h (x )在[1，＋∞)上是减函数，h (x )≤h (1)＝a －1≤0， 所以g ′(x )≤0，g (x )在[1，＋∞)上是减函数，所以g (x )≤g (1)＝0，即f (x )≤2x 2－3恒成立. 当a ＞1时，令h (x )＝－2x 2＋ax ＋1＝0，得x 1＝a ＋a 2＋84＞1，x 2＝a －a 2＋84＜0， 当x ∈[1，x 1)时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，g (x )在[1，x 1)上是增函数；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，g (x )在(x 1，＋∞)上是减函数.所以0＝g (1)＜g (x 1)， 即f (x 1)＞2x 1－3，不满足题意.综上，a 的取值范围为(－∞，1].3.已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数.(1)若k ＜0，试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求k 的取值范围，并证明0＜f (x 1)＜1.解 (1)由f ′(x )＝k e x －2x 可知，当k ＜0时，由于x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝k e x －2x ＜0，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数.(2)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2＞0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)为增函数，所以h (x )＝2e x －2x ＞h (0)＝2＞0，即f ′(x )＝2e x －2x ＞0在(0，＋∞)恒成立，从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )＝2e x －x 2＞f (0)＝2.(3)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x e x 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x e x ， 当x ＜0时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＜0；当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＞0；当x ＞1时，φ′(x )＜0，函数φ(x )单调递减且φ(x )＞0.要使k ＝2x e x 有两个根，只需0＜k ＜φ(1)＝2e，如图所示，故实数k 的取值范围是(0，2e).又由上可知函数f (x )的两个极值点x 1，x 2满足0＜x 1＜1＜x 2， 由f ′(x 1)＝k e x 1－2x 1＝0，得k ＝2x 1e x 1.∴f (x 1)＝k e x 1－x 21＝2x 1e x 1e x 1－x 21＝－x 21＋2x 1＝－(x 1－1)2＋1， 由于x 1∈(0，1)，故0＜－(x 1－1)2＋1＜1，所以0＜f (x 1)＜1.4.已知函数f (x )＝ax e x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x . (1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0，2)，都有f (x )＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围； (3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由.解 (1)由题意得f ′(x )＝a （1－x ）e x ， 因为函数在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，所以f ′(0)＝1，解得a ＝1.(2)由题知f (x )＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0，2)都成立， 所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0，2)都成立，从而k ≥0.不等式整理可得k ＜e x x ＋x 2－2x, 令g (x )＝e x x 2＋x 2－2x ， 所以g ′(x )＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x x 2＋2＝0，解得x ＝1， 当x ∈(1，2)时，g ′(x )＞0，函数g (x )在(1，2)上单调递增，同理可得函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以k ＜g (x )min ＝g (1)＝e －1，综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1).(3)结论是g ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜0，理由如下：由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ，所以g ′(x )＝1x －1＝1－x x，易得函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以要证g ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜0，只需证明x 1＋x 22＞1即可. 因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，相减得x 2－x 1＝ln x 2x 1，不妨令x 2x 1＝t ＞1, 则x 2＝tx 1，则tx 1－x 1＝ln t ， 所以x 1＝1t －1ln t ，x 2＝t t －1ln t ，即证t ＋1t －1ln t ＞2，即证φ(t )＝ln t －2·t －1t ＋1＞0， 因为φ′(t )＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2＞0， 所以φ(t )在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )＞φ(1)＝0，综上所述，函数g (x )总满足g ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜0成立.5.已知函数f (x )＝e x ⎣⎡⎦⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. (1)若函数f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，求a 的值；(2)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围； (3)讨论函数f (x )极值点的个数.解 (1)由题意得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋ax －a ，因为f (x )的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，所以f ′(0)＝1，解得a ＝－1.(2)法一 由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎡⎦⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ， 即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立，因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3（x －2）＝－13(x －2)2， 记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0， 所以a ≥0，即a 的取值范围是[0，＋∞).法二 由f (x )＜－43e x ， 得e x ⎣⎡⎦⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4＜－43e x ，即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0在(－∞，2)上恒成立，因为x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0等价于(x －2)(x 2－4x ＋3a ＋4)＜0，①当a ≥0时，x 2－4x ＋3a ＋4＝(x －2)2＋3a ≥0恒成立，所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意.②当a ＜0时，记g (x )＝x 2－4x ＋3a ＋4，有g (2)＝3a ＜0，所以方程x 2－4x ＋3a ＋4＝0必有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜2＜x 2，原不等式等价于(x －2)(x －x 1)(x －x 2)＜0，解集为(－∞，x 1)∪(2，x 2)，与题设矛盾，所以a ＜0不符合题意.综合①②可知，a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由题意得f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2＋ax －a ， 所以f (x )只有一个极值点或有三个极值点.令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ， ①若f (x )有且只有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即g (x )为增函数或者g (x )的极值同号.当g (x )为增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1.当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，则x 1，x 2为x 2－2x ＋a ＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]， 同理可得g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]， 所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0， 化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0，所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0. 综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点，当a ＜0时，f (x )有三个极值点.6.已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数).(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2. 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋a x ＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)， 由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ， ① 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12， 所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝⎛⎭⎫12，1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫a ，12， ②当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0， 所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数.③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1， 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ， 所以函数f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，a ， ④当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12， 由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1， 所以函数f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，单调减区间是⎝⎛⎭⎫12，1. 7.设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1).(1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|＜2. 解 (1)f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a)(x ＋2)， 当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，f (x )在R 上单调递增；当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a； 由f ′(x )＜0，得－1a＜x ＜－2， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，－2上单调递减.当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a或x ＜－2； 由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a， ∴f (x )在(－∞，－2)和⎝⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2，－1a 上单调递减. (2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值，∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2).由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2，1]上单调递增.∵θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0，1]， ∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.8.已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＜1，g （x ），x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围.解 (1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min. 设t (x )＝x 2－2x x －ln x ，x ∈[1，e].求导，得t ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2. x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数. 所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1].(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1. 设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点.假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP →·OQ →＜0.①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP →·OQ →＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2).由于OP →·OQ →＜0恒成立，a (1－t )ln(－t )＜1.当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )＜1恒成立.当t ＜－1时，a ＜1（1－t ）ln （－t ）恒成立.由于1（1－t ）ln （－t ）＞0，所以a ≤0. ②若－1＜t ＜1，且t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)， 则OP →·OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0，即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t ≠0恒成立.③当t ≥1时，同①可得a ≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0].。