两平行线间的距离公式#精选.
平行线间的距离公式
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
高一数学必修二两条平行线间的距离公式
择恰当的点，最好选 择坐标为整数的点。
l1: 2x-7y-8=0
3、利用点到直线的距离公式求解。
应用新知
求下列两条平行直线间的距离：
（1）2x+3y-8=0
2x+3y+18=0
d | 2 4 7 0 18 | 26 13 2 13
22 32
13
（2）3x+4y=10
3x+4y=0
点到直线的距离
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By0 C | A2 B2
练习
d |12 (5) 5 7 3 | 22
12、. 求求点点BA((-d-52，，d73|))3到到|2直直(线2线2121322(2)x2x1+1+)24554y21y+0+|333==7005的3的51|3距距离离9..
22 (7)2
53
所以平行线l1与l2的距离为
12 53 53
应用新知
例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0试
判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距
离。
y
分析：
l2:6x-21y-1=0
Байду номын сангаас
1、判断两线平行应 分别求出它们的斜率。 2、在一条直线上选 o
d
x
A
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳
点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳【知识梳理】点到直线的距离与两条平行线间的距离题型一、点到直线的距离【例1】 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.【类题通法】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．【对点训练】1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A .2 B ．2－ 2 C .2－1D .2＋12．点P(2,4)到直线l：3x＋4y－7＝0的距离是________．题型二、两平行线间的距离【例2】求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．【类题通法】求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝|b1－b2|k2＋1；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝|C1－C2|A2＋B2.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．【对点训练】3．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．题型三、距离的综合应用【例3】求经过点P(1,2)，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线l的方程．【类题通法】解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．【对点训练】4．求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程．5. 已知A(-2,0),B(2,-2),C(0,5),过点M(-4,2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分,求此两部分面积的比.题型四距离最值问题例4.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A.B.C.3 D.6例5.已知x+y-3=0,则的最小值为.例6.已知直线l1过A(3,0),直线l2过B(0,4),且l1∥l2,用d表示l1与l2间的距离,则d的取值范围是.【练习反馈】1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B. 3C．2 D. 52．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1 B. 2C. 3 D．23．直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________．4．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．5．已知△ABC三个顶点坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.点到直线的距离、两条平行线间的距离题型全归纳参考答案【例1】[解] (1)185.(2) 8.(3) 1.【对点训练】 1．选C 2．答案：3【例2】设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 【对点训练】 3．104【例3】[解]当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. 【对点训练】4．x ＝2或4x －3y －10＝0. 5.两部分的面积之比为. 例4.答案:C 例5.答案:例6.答案:(0,5] 【练习反馈】1．选D 2．选B 3．12 4．答案：－3或1735．解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得|BC |＝－3－2＋－2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高，d ＝|－1－2×3＋3|12＋－2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4， 即△ABC 的面积为4.。
点到直线的距离两条平行直线间的距离
2．对两平行直线间的距离公式的理解 (1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可 以利用公式． (2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式， 且 x，y 的系数对应相等． (3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时， 可利用数形结合来解决．
典例剖析 题型一 点到直线的距离 【例 1】 求点 P0(－1,2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. 思路点拨： 利用点到直线的距离公式， 对于特殊直线也可数形 结合．
题型二 两条平行线间的距离 【例 2】 求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1 距 离为 2 的直线方程．
思路点拨：本题可从两方面考虑： ①可利用两点间的距离公式求解； ②可利用两直线的距离公式求解．
解： 法一： 由已知， 可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， |C－－1| |C＋1| 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ 2 ＝2， 2＝ 5 2 ＋－1 ∴|C＋1|＝2 5，C＝± 2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝ 0.
【答案】B
3．在过点 A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为 ____________．
【答案】2x＋y－5＝0
4．若直线 l 与直线 l1：5x－12y＋6＝0 平行，且 l 与 l1 的距离 为 2，则 l 的方程为____________．
【答案】5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0
要点阐释 1．应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式， 若给出其他形式， 应先化成一般式再 用公式．例如求 P(x0，y0)到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方 |kx0－y0＋b| 程化为 kx－y＋b＝0，得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系． (3)直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式也成立， 也可以用下列方法求点到直线的距离： ①P(x0，y0)到 x＝a 的距离 d＝|a－x0|； ②P(x0，y0)到 y＝b 的距离 d＝|b－y0|.
点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离(人教A版2019选修一高二数学
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由
A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
[方法技巧]
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点
距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 的对称点 M(x，y)，
yx－－yx00·(－AB )＝－1AB≠0
可由方程组 A·x＋x0＋B·y＋y0＋C＝0
2
2
求得．
(2)常用对称的特例有： ①A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； ②B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
[方法技巧] 点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直 接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 x＝a 或 y＝b，求点到它 们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d＝ |x0－a|或 d＝|y0－b|.
解析：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝ 0，
则由点到直线的距离公式知： d＝|3×3－2＋1－－01＋2 m|＝|m－103|＝35 10. 所以|m－3|＝6，即m－3＝±6. 得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 答案：3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
两条平行线间的距离公式
d | 3 2 4 1| 10 2
32 42
5
应用新知
两条平行直线间的距离：
例2、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与
l2: Ax+By+C2=0的距离是d
解：取l1与y轴的交
C1 - C2 A2 B2
y P l1
点P，则P(0, C1 )
B
点P到直线l2的距离为：
16
距离是_____1_3 ;
2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的 距离是___2_1.313
作业： 必做题：教材 P110 9、10 选做题： 教材P110 B组 9
布置作业
知识复习
两条平行直线间的距离：
提问：l1与l2平行吗？ 为什么？
l1的斜率为k1
2 7
l2的斜率为k2
2 7
两平行线间的
距离处处相等
y l1:2x-7y+8=0
P M
Q
N
o
x
l2: 2x-7y-4=0
探究新知
两条平行直线间的距离：
1、在l2上任取一 点，例如M(2,0)
y l1:2x-7y+8=0
l2 o Qx
d
|
A
0
B
(
C1 B
)
C2
|
| C2
C1 |
A2 B2
A2 B2
应用新知
y
l1:Ax+By+C1=0
d
l2:Ax+By+C2=0
o
x
坐标轴两条平行线的距离公式
坐标轴两条平行线的距离公式在我们平常的生活中，经常会碰到一些需要计算距离的情况，比如从家里到超市有多远？从公司到电影院走路要多久？这些都是我们日常生活中常常计算的“距离”。
但是今天咱们要聊的，不是那种走路的距离，也不是你和朋友约定见面的距离，而是一个稍微数学化一点的“距离”问题——坐标轴上两条平行线的距离。
好了，别被“坐标轴”和“平行线”这些听起来有点学术气息的词吓到，其实这个问题并不难理解。
你可以想象，坐标轴就像是我们平常说的“横坐标”和“纵坐标”的那两条线，而平行线嘛，就是那种永远不相交的两条线。
它们之间的距离，不像两点之间的距离那样需要直接用勾股定理去计算，而是有一个特别简单的公式，可以让你快速算出它们之间的“空隙”有多大。
不过你可能会问了，这两条平行线究竟该怎么定义呢？好嘛，不用着急，我们一步步来。
假设我们有两条平行线，它们的方程分别是：1. (Ax + By + C_1 = 0) 。
2. (Ax + By + C_2 = 0) 。
看上去是不是挺复杂？不过别怕，这两条线不过是斜的或是水平的，只有常数部分（也就是C_1和C_2）不同而已。
而且因为它们是平行的，斜率肯定是一样的。
好啦，公式出来了，要是你想知道这两条平行线之间的距离，记住这句话：。
距离 = (frac{|C_2 C_1|{sqrt{A^2 + B^2)。
这么一看，好像又回到了老套路，数学公式，求距离，根本没有什么新鲜感，对吧？不过你要是把这个公式一眼看明白，就会觉得其实没什么可怕的。
咱们把C_2和C_1之间的差取个绝对值，因为无论差值是正还是负，距离永远是个正数，不能让它成负数。
然后，下面的那个根号A²+B²就是线的斜率相关的内容，它让你知道两条线的“倾斜度”，或者说，它反映了两条线的方向。
如果线是水平的，那A和B就是0和1的组合，根号下的东西就会很简单。
如果是斜的，就得算一下它的斜率，才能搞清楚两条线的实际“距离”。
两条平行线的距离公式推导过程
两条平行线的距离公式推导过程平行线的距离公式是解决平行线之间的距离问题的重要工具。
在几何学中，平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。
平行线之间的距离是指两条平行线之间的最短距离。
在本文中，我们将通过推导过程来了解平行线的距离公式。
假设有两条平行线L1和L2，我们的目标是求出这两条平行线之间的距离。
为了方便计算，我们可以选择一条直线L3与L1和L2相交，并且垂直于这两条平行线。
这样，我们可以将问题简化为求L3与L1和L2的交点之间的距离。
我们可以选择L3上的一个点A，并连接A与L1和L2上的相应点B和C。
由于L3与L1和L2垂直，所以角ABC是直角。
根据直角三角形的性质，我们可以得知三角形ABC是一个直角三角形。
接下来，我们可以利用三角形ABC的性质来求解平行线L1和L2之间的距离。
根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：AB² + BC² = AC²由于我们已知L1和L2是平行线，所以AB和BC之间的距离是相等的。
我们可以将AB和BC之间的距离表示为d，即d²。
因此，上述关系式可以重新写成以下形式：d² + d² = AC²化简上述方程，我们可以得到：2d² = AC²通过移项和开方运算，我们可以得到：d = √(AC²/2)因此，我们得到了平行线L1和L2之间的距离公式：d = √(AC²/2)这就是平行线的距离公式。
通过这个公式，我们可以通过已知平行线的方程来求解它们之间的距离。
我们只需要计算出交点的坐标，然后使用距离公式来求出距离。
需要注意的是，这个公式只适用于平行线之间的距离。
如果我们想要求解一条直线与一条曲线之间的最短距离，我们需要使用其他方法来解决这个问题。
总结一下，通过推导过程，我们得到了平行线的距离公式。
这个公式可以帮助我们求解平行线之间的最短距离。
通过选择一条垂直于平行线的直线，并计算出交点的坐标，我们可以使用这个公式来求解平行线之间的距离。