点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离
平行线间的距离公式
的距离公式
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的距离 d 的公式是
d | Ax0 By0 C | A2 B2
在使用该公式前，须将直线方程化为一般 式A．=0或B=0时，此公式也成立．
求平行线 2x–7y＋8＝0 和 2x–7y–6＝0 的距离． 解：在直线 2x–7y–6＝0 上任取一点，如P(3，0) ，
求平行线 x＋3y–4＝0 和 2x＋6y–9＝0 的距离． 解：将两方程中 x、y的系数化成对应相等的形式，得
2x＋6y–8＝0 和 2x＋6y–9＝0 因此， d | 8 9 | 10 ．
22 62 20
求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
求与直线3x–4y–20＝0平行且距离为3的直线方程． 解：根据题意，可设所求直线方程为3x–4y+m＝0，
则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2x–7y＋8＝0的距离．
因此，
y
d | 23708| 22 (7)2
–4
14 53 ． 53ຫໍສະໝຸດ 2 1 O 12 3 x求平行线 2x＋3y＋4＝0 和 4x＋6y–5＝0 的距离．
y P l1 怎样求任意两条平行线的距离呢？
Q l2
Ax0 By0 C1
PQ C1 C2 A2 B2
两条平行线的距离公式 一般地，两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0 和l2：
Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d 的公式是
d | C1 C2 | A2 B2
用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数 化为对应相同的形式。
所以PP ′⊥l，点P和P ′到直线l 的距离相等.
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--点到直线的距离公式、 两条平行直线间的距离
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离课标解读 课标要求素养要求1.会用向量推导点到直线的距离公式.2.探索并掌握点到直线的距离公式，能用点到直线的距离公式解决有关的距离问题.3.会求两条平行直线间的距离. 1.数学抽象——能理解点到直线的距离公式. 2.逻辑推理——能推导出点到直线的距离公式. 3.直观想象——能够直观想象几何中的距离问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句1.点到直线的距离公式：点P 到直线l 的距离，就是从点P 到直线l 的垂线段PQ 的长度，其中Q 是垂足.因此，点P(x 0,y 0) 到直线l ：Ax +By +C =0 的距离d =00√A 2+B 2.2.两条平行直线间的距离：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离. 自主思考1.点P(−3,2) 到直线x =52 的距离是多少？能用点到直线的距离公式求解吗？ 提示 如图，易知点P 到直线x =52 的距离为|52−(−3)|=112.能用，由已知得直线为2x −5=0 ，所以d =√22+02=112.2.找出下图中的公垂线段，并结合图形说明什么是公垂线段.提示PQ，公垂线段就是和两条平行直线都垂直、相交的线段.名师点睛1.用点到直线的距离公式时应注意以下两点（1）直线的方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.（2）当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.2.几种点到特殊直线的距离（1）点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|；（2）点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|；（3）点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=|y0−b|；（4）点P(x0,y0)到直线x=a(a≠0)的距离d=|x0−a|.3.求两条平行直线间的距离的两种思路（1）利用“化归”法将两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.（2）直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y=kx+b1，l2：y=kx+b2，且b1≠b2时，d=12√k2+1；当直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，且C1≠C2时，d=12√A2+B2.互动探究·关键能力探究点一求点到直线的距离精讲精练例（1）（2021广东佛山一中高二期中）已知M(3,2√3),N(−1,2√3),F(1,0)，则点M到直线NF的距离为( )A.√5B.2√3C.2√2D.3√3（2）（原创题）点P(0,−1)到直线x5+y12=1的距离为.思路分析（1）先利用题中所给的点N,F求出直线NF的方程，再利用点到直线的距离公式求得结果；（2）先把直线方程变为一般式，再根据点到直线的距离公式直接求解即可. 答案：（1）B（2）5解析：（1）易知直线NF的斜率k=−√3，故直线NF的方程为y=−√3(x−1)，即√3x+y−√3=0，所以点M到直线NF的距离为√3+2√3−√3|√(√3)2+12=2√3，故选B.（2）由已知得12x+5y−60=0，所以点P(0,−1)到直线x5+y12=1的距离为√122+52=5 .变式把本例（2）改为求点P(0,−1)到直线(m+2)x+(m−1)y+(m+2)=0的距离的最大值.答案：点P(0,−1)到直线(m+2)x+(m−1)y+(m+2)=0的距离d=√(m+2)2+(m−1)2=√2 m2+2m+5=√2(m+12)2+92≤√92=√2，所以当m =−12时，d max =√2 .故所求距离的最大值为√2 . 解题感悟点到直线距离的求解方法：（1）求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式，然后利用点到直线的距离公式求解；（2）求距离的最值常用函数的性质或基本不等式求解. 迁移应用（2021黑龙江哈尔滨师大附中高二开学考）已知△ABC 的顶点为A(5,1) ，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为2x −y −5=0 ，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x −2y −5=0 .（1）求顶点B ，C 的坐标； （2）求△ABC 的面积.答案：（1）设点B （m,n ），则点M(m+52,n+12) ，由已知得{m −2n −5=0,2×m+52−n+12−5=0, ∴{m =−1,n =−3,故点B 的坐标为(-1,-3).设C(x 0,y 0) ，由已知得{2x 0−y 0−5=0,y 0−1x 0−5=−2,∴{x 0=4,y 0=3, 则点C 的坐标为(4,3). （2）由（1）知B(−1,−3) 、C(4,3) ， ∴|BC|=√(4+1)2+(3+3)2=√61 ， 且k BC =−3−3−1−4=65，∴ 直线BC 的方程为y +3=65(x +1) ，即6x −5y −9=0 ， ∴BC 边上的高ℎ=√62+(−5)2=√61， 故S △ABC =12|BC|⋅ℎ=12×√61√61=8 .探究点二 点到直线的距离公式的应用精讲精练类型1 求参数的值或取值范围例1（1）（2021山东德州夏津一中高二月考）已知点P(3,1)到直线l：x+ay−3=0的距离为12，则a= .（2）已知点P(4,a)到直线4x−3y−1=0的距离不大于3，则a的取值范围是.答案：（1）±√33（2）[0,10]解析：（1）由点到直线的距离公式得√1+a2=12，解得a=±√33.（2）点P到直线4x−3y−1=0的距离为|4×4−3×a−1|5=|15−3a|5.又|15−3a|5≤3，所以|15−3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0,10].解题感悟求参数的值或取值范围的方法：利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（组）或不等式，通过解方程（组）或不等式求解.类型2 求直线的方程例2（2021福建厦门二中高二月考）已知直线mx+y−2m−3=0恒过定点A.若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.答案：易知直线mx+y−2m−3=0恒过定点A(2,3)，因为直线l经过点A，所以当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，又坐标原点到直线l的距离等于2，所以x=2成立.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−3=k(x−2)，即kx−y−2k+3=0，则坐标原点(0,0)到直线l的距离d=√1+k2=2，解得k=512，所以直线l的方程为y−3=512(x−2)，即5x−12y+26=0 .综上，直线l的方程为x=2或5x−12y+26=0 .解题感悟求直线方程的问题，先巧设直线的方程，再利用点到直线的距离公式建立方程求解，但要注意讨论斜率是否存在.迁移应用1.点P(a,0)到直线3x+4y−6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A.a＞7B.a＜−3C.a＞7或a＜−3D.a＞7或−3＜a＜7答案：C解析：根据题意得√32+423，即|a−2|＞5，解得a＞7或a＜−3，故选C.2.过点M(−2,1)，且与点A(−1,0)，B(3,0)的距离相等的直线的方程是( )A.x+3y−1=0B.y=1C.x+3y−1=0或y=1D.x=−2或y=1答案：C解析：由题意得满足条件的直线的斜率存在，所以可设所求直线的方程为y=k(x+2)+1，即kx−y+2k+1=0，因为该直线与点A(−1,0)，B(3,0)的距离相等，所以√k2+1=√k2+1，所以|k+1|=|5k+1|，所以k=0或k=−13，所以所求直线的方程为y=1或x+3y−1=0.3.若点A(a,6)到直线3x−4y=2的距离等于4，则a的值为.答案：2或463解析：由题意得√32+(−4)2=4⇒|3a−26|=20⇒a=2或a=463.探究点三两条平行直线间的距离精讲精练例已知两条平行直线l1：x−y=1与直线l2：(m−3)x+my−8=0，求l1与l2间的距离.思路分析先根据两条直线平行求出l2的方程，再根据两平行直线间的距离公式求解，也可以转化为点到直线的距离求解.答案：解法一：因为l1∥l2，所以1×m=−1×(m−3)，解得m=32，所以l2的方程为3x−3y+16=0，根据题意把l1的方程化为3x−3y−3=0，所以l1与l2间的距离d=√32+(−3)2=19√26.解法二：由解法一知l2的方程为3x−3y+16=0，在直线l1：x−y=1上取点(1,0)，则l1与l2间的距离d=√32+(−3)2=19√26.解题感悟求两条平行直线间的距离的方法：（1）直接利用两条平行直线间的距离公式；（2）若转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，则取点一般要特殊化，如直线与坐标轴的交点，坐标为整点.迁移应用1.直线x−2y−1=0与直线x−2y−c=0的距离为2√5，则c的值为. 答案：-9或11解析：由两条平行直线间的距离公式得√12+(−2)2=2√5，解得c=−9或c=11 .2.（2021山东济南高二期末改编）已知动点P在直线l1：3x−4y+1=0上运动，动点Q 在直线l2：6x+my+4=0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为 .答案：15解析：因为l1∥l2，所以63=m−4≠41，解得m=−8，所以l2：3x−4y+2=0，设l1,l2间的距离为d，则d=√32+(−4)2=15，由平行线的性质知|PQ|的最小值为15.评价检测·素养提升课堂检测1.点P(1,−1)到直线l：3y=2的距离是( )A.3B.53C.1D.√22答案：B解析：点P(1,−1)到直线l的距离d=√02+32=53，选B.2.直线4x−3y+5=0与直线8x−6y+5=0的距离为( )A.15B.14C.13D.12答案：D解析：8x−6y+5=0可变形为4x−3y+52=0，则两直线平行，∴两直线间的距离d=|5−52|√42+(−3)2=12.3.两直线3x+y−3=0和6x+my−1=0平行，则它们之间的距离为 .答案：√104解析：由题意得63=m1,∴m=2，将3x+y−3=0变形为6x+2y−6=0，由两条平行直线间的距离公式得距离d=√62+22=√40=√104.4.已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点P(4,3)到直线l的距离为3√2，求直线l的方程.答案：设所求直线l的方程为x+y−a=0.由题意知√2=3√2，解得a=1或a=13，所以所求直线l的方程为x+y−1=0或x+y−13=0.素养演练直观想象、数学运算——在平面图形面积问题中的应用（2021四川成都石室中学高二月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB,AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为−12.（1）求折痕EF所在直线的方程；（2）若点P为BC的中点，求△PEF的面积.答案：（1）设折痕EF所在直线的方程为y=−12x+b，折叠后点A落在线段DC上的点G(a,2)处，其中0≤a≤3，连接AG交EF于点M，则M(a2,1)，∴{1=−12×a2+b,−12×2a=−1,解得{a=1,b=54,∴折痕EF所在直线的方程为y=−12x+54.（2）由（1）知，折痕EF所在直线的方程为y=−12x+54，∴E(52,0),F(0,54)，∴|EF|=√(52−0)2+(0−54)2=5√54.∵点P为BC的中点，∴P(3,1)，∴点P到折痕EF的距离d=|−12×3+54−1|√(−12)2+(−1)2=√52，∴△PEF的面积S=12|EF|⋅d=12×5√54×√52=2516.素养探究：（1）设折痕EF所在直线的方程，折叠后点A落在线段DC上的点G(a,2)处，其中0≤a≤3，由折痕垂直平分AG可列出关于a和b的方程组求解，渗透了直观想象、数学运算的素养.（2）由两点间的距离公式求得线段EF的长，再由点到直线的距离公式求得点P到折痕EF的距离d，最后代入面积公式S=12|EF|⋅d计算即可，渗透了数学运算的素养.迁移应用（2021北京八一学校高二期中）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O(−1,1)，其中A(−2,0)，B(1,1).（1）求点D的坐标及AD所在直线的方程；（2）求平行四边形ABCD的面积.答案：（1）设D(x0,y0)，由题意可得O是BD的中点，∴{x0+12=−1,y0+12=1,解得x0=−3,y0=1，则点D的坐标为(−3,1),∴k AD=0−1−2+3=−1，∴AD所在直线的方程为y−0=−1×(x+2)，即x+y+2=0 .（2）由（1）及题意可得|AD|=√(−2+3)2+(0−1)2=√2，点B到直线AD的距离为√12+12=2√2，∴平行四边形ABCD的面积为√2×2√2=4.课时评价作业基础达标练1.（2021北京怀柔一中高二期中）两条平行直线l1：x+y−1=0与l2：x+y+1=0之间的距离为( )A.√2B.1C.2√2D.√3答案：A2.（2021北京怀柔一中高二期中）设点M(x,y)是直线x+y−2=0上的动点，O为原点，则|OM|的最小值是( )A.1B.√2C.2D.√3答案：B3.（2021河北张家口尚义一中高二期中）若点P(2,1)到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的方程为( )A.x=0B.3x+4y=0C.x=0或3x+4y=0D.x=0或3x−4y=0答案：C4.（2021北京一零一中学高二期中）点(0,1)到直线y=kx−1的距离的最大值是( )A.1B.√2C.√3D.2答案：D5.（2020四川内江高二期末）已知点M(1,3)到直线l：mx+y−1=0的距离等于1，则实数m等于( )A.34B.43C.−43D.−34答案：D6.（2021四川南充阆中中学高二期中）若直线3x+4y−3=0与直线6x+my+2=0平行，则它们之间的距离为( )A.1B.12C.25D.45答案：D7.（2021安徽马鞍山二中高二段考）已知直线l：(2+m)x+(1−2m)y+4−3m=0(m∈R)过定点A，则点A到直线m：x+y=1的距离是( )A.4B.2√2C.2D.√2答案：B8.（2021江西南昌南铁一中高二期中）若两条平行直线l1：x+2y+20=0与l2：x+2y+ c=0间的距离为2√5，则c等于( )A.0或40B.10或30C.-20或10D.-20或40答案：B9.（2020山西大同平城一中高二期中）已知直线l：ax+y−1=0和点A(1,2)，B(3,6).若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为.答案：-2或−32素养提升练10.（多选题）（2021山东滕州一中高二月考）已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P 使得|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )A.y=x+1B.y=2C.y=43x D.y=2x+1答案：B; C解析：点M(5,0)到直线y=x+1的距离d=√2=3√2＞4，故A中直线不是；点M(5,0)到直线y=2的距离d=3＜4，故B中直线是；点M(5,0)到直线y=43x的距离d=43×5√1+(43)2=4，故C中直线是；点M(5,0)到直线y=2x+1的距离d=√1+22=11√55＞4，故D中直线不是.故选BC.11.（2021安徽亳州高二月考）正方形ABCD的中心为点M(−1,0)，AB边所在直线的方程是x+3y−5=0，则CD边所在直线的方程为( )A.x+3y+7=0B.3x−y−3=0C.3x−y+9=0D.x+3y−27=0答案：A解析：点M(−1,0)到直线x+3y−5=0的距离d=√1+9=3√105，设与AB边平行的CD边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠−5)，则点M(−1,0)到直线x+3y+m=0的距离d=√1+9=3√105，解得m=−5（舍去）或m=7，所以CD边所在直线的方程是x+3y+7=0.12.（多选题）（2021江苏泰州姜堰二中高二期中）如图，直线l1,l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x,y分别表示点P到l1,l2的距离，则称(x,y)为点P的“距离坐标”，则下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上答案：A; B; C解析：若距离坐标为(0,0)，即P到两条直线的距离都为0，则P为两直线的交点，即距离坐标为(0,0)的点只有1个，故A中说法正确；若距离坐标为(0,1)，即P到直线l1的距离为0，到直线l2的距离为1，则点P在直线l1上，且到直线l2的距离为1，符合条件的点有2个，故B中说法正确；若距离坐标为(1,2)，即P到直线l1的距离为1，到直线l2的距离为2，则有4个符合条件的点，即与直线l1相距为1的两条平行直线和与直线l2相距为2的两条平行直线的交点，故C中说法正确；若距离坐标为(x,x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上，故D中说法错误.13.已知在△ABC中，A(3,2)，B(−1,5)，点C在直线3x−y+3=0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为.答案：(-1,0)或(53,8)解析：设点C到直线AB的距离为d，由题意知|AB|=√[3−(−1)]2+(2−5)2=5，∵S△ABC=12|AB|⋅d=12×5×d=10,∴d=4，易知直线AB的方程为y−25−2=x−3−1−3，即3x+4y−17=0 .∵点C在直线3x−y+3=0上，∴设C(x0,3x0+3)，∴d=00√32+42=|15x0−5|5=|3x0−1|=4，∴3x0−1=±4，∴x0=−1或x0=53，∴点C的坐标为(-1,0)或(53,8).14.（2021四川简阳阳安中学高二月考）如图所示，已知△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点A(1,4)，B(3,2)，点C在直线x−2y+6=0上.（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点D(0,3)，求△ACD的面积.答案：（1）因为△ABC是以AB为底边的等腰三角形，CE⊥AB，所以E为AB的中点，所以E(2,3)，因为k AB=−1，所以k CE=1，所以AB边上的高CE所在直线方程为y−3= x−2，即x−y+1=0.（2）联立得{x−y+1=0,x−2y+6=0,解得{x=4,y=5,所以C(4,5)，所以直线AC的方程为y−45−4=x−14−1，即x−3y+11=0，因为D(0,3)，所以点D到直线AC的距离d=√10=√105，又|AC|=√10，所以S△ACD=12|AC|×d=12×√10×√105=1.创新拓展练15.如图，已知点A(4,0)，B(0,2)，直线l过原点，且A、B两点位于直线l的两侧，过A、B 作直线l的垂线，分别交l于C、D两点.（1）当C、D重合时，求直线l的方程；（2）当|AC|=2√3|BD|时，求线段CD的长.命题分析本题考查了直线方程的求法，考查了直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识以及方程思想和运算求解的能力.答题要领（1）求出直线AB的斜率，由AB⊥l可求得直线l的斜率，进而可求得直线l的方程.（2）设直线l的方程为kx−y=0,k＞0，利用点到直线的距离公式结合|AC|=2√3|BD|可求得k的值，进而可求得|AC|、|BD|的值，利用勾股定理可求得|OC|、|OD|的值，由此可求得|CD|.详细解析（1）当C、D重合时，AB⊥l，由题意得直线AB的斜率k AB=0−24−0=−12，∴直线l的斜率k=−1k AB=2，故直线l的方程为y=2x.（2）设直线l的方程为kx−y=0,k＞0，则|AC|=√1+k2，|BD|=√1+k2，由|AC|=2√3|BD|可得√1+k2=√3√1+k2，解得k=√3，∴|AC|=2√3,|BD|=1，由勾股定理可得|OC|=√|OA|2−|AC|2=2，|OD|=√|OB|2−|BD|2=√3，∴|CD|=|OC|−|OD|=2−√3.解题感悟解决此类问题时一般用数形结合求解.。
2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案正文
2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离【学习目标】1.会运用多种方法推导点到直线的距离公式,明确使用公式的前提条件.2.能根据给定的点与直线熟练运用公式求点到直线的距离.3.能将平行线间的距离转化为点到直线的距离,并会用点到直线的距离公式导出两条平行直线间的距离公式.4.能说明应用公式的前提条件,并能用公式求给定两平行线间的距离.◆ 知识点一 点到直线的距离公式点P (x 0,y 0)到直线l :Ax+By+C=0的距离d= . 证明点到直线的距离公式的方法 1.定义法根据定义,点P 到直线l 的距离,就是点P 到直线l 的垂线段的长度.如图,过点P (x 0,y 0)作直线l :Ax+By+C=0(A ≠0,B ≠0)的垂线l',垂足为Q ,由l'⊥l 可知l'的斜率为 ,∴l'的方程为y-y 0=B A(x-x 0),与l 的方程联立,得交点为Q (B 2x 0-ABy 0-AC A 2+B 2,A 2y 0-ABx 0-BCA 2+B 2),∴|PQ|=00√A +B .可以验证,当A=0,或B=0时,上述公式仍然成立.2.向量法如图,已知P (x 0,y 0),设与直线l :Ax+By+C=0的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直的向量为n=(A ,B ),M (x ,y )为直线l 上任意一点,则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y-y 0),从而点P 到直线l 的距离d= =00√A +B ,∵点M 在直线l 上,∴Ax+By+C=0,从而d=00√A +B =00√A +B .【诊断分析】 1.已知点P(-1,0),直线l:x+y-4=0.(1)直线l的一个方向向量为n=,与直线l垂直的一个向量为m=;⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量m求得点P到直线l的距离为.(2)Q(1,3)是直线l上一点,利用PQ2.点P(x0,y0)到直线y=a的距离为.◆知识点二两条平行直线间的距离1.定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的的长.2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)连接两平行直线上任意两点,即得两平行直线间的距离.( )(2)若直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,则点A,B,C到直线l2:x+y+1=0的距离相等. ( )(3)已知直线l1:x=x1,l2:x=x2,则直线l1,l2间的距离为|x2-x1|.( ).( )(4)已知两平行直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则直线l1,l2间的距离为12√A1+B1◆探究点一点到直线的距离公式的应用例1 (1)点P0(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离是.(2)点P(0,2)到直线y=3的距离是.(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实数m的值为. 变式 (1)若直线l经过点P(1,2),且点A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等,则l的方程为 ( )A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直线l:y=k(x-2)+2,当k变化时,点P(-1,2)到直线l的距离的取值范围是( )A.[0,+∞)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)[素养小结]点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再直接应用点到直线的距离公式求解即可.(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x=a或y=b,求点P(x0,y0)到它们的距离d时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接根据d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知点到直线的距离求参数时,根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.拓展已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离的最大值为( )A.2√3B.√10C.√14D.2√15◆探究点二平行线间距离公式的应用例2 (1)已知直线l1:y=2x+1,直线l2:4x-2y+7=0,则l1与l2之间的距离为( )A.√52B.√54C.√102D.√104(2)若直线l1:2x+y+a=0与直线l2:ax-y-3=0平行,则直线l1与l2之间的距离为.(3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之间的距离相等,则l的方程为. 变式 (1)已知点A(1,0),B(3,1),C为直线l:x-2y+4=0上的一个动点,则△ABC的面积为( )A.5B.√5C.√52D.52(2)若直线12x-5y+c=0与直线y=125x+1间的距离不小于3,则c的取值范围是.[素养小结]求两平行线间的距离一般有两种方法(1)转化法:将两平行线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.因为结果与点的选择无关,所以选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接利用公式d=12√A+B,但要注意两直线方程中x,y的系数对应相等.◆探究点三距离公式的综合应用例3已知直线l经过直线2x+y-5=0与直线x-2y=0的交点.(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.变式若点P到直线5x-12y+13=0的距离与到直线3x-4y+5=0的距离相等,则点P所在直线的方程是( )A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4x-8y+9=0C.7x+4y=0D.x-4y+4=0拓展已知直线l1 :x=0,l2:3x-4y=0,点A的坐标为(1,1),且过点A的直线l与l1,l2分别交于点M,N(M,N的纵坐标均为正数),设O为坐标原点,求△MON面积的最小值.。
点到直线以及两平行直线间的距离公式 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1
5
2 2
5
2
2
A (1,3)
2
h
1
B (3,1)
C (-1,0)
-1
O
1
2
3 x
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
们各有什么特点？
点到直线距离公式
代数方法
向量法
坐标法
坐标法
（求垂足坐标） （设而不求垂足坐标）
寻找所求量的坐标表示
问题 比较上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它
y
l
Q
P0 x0 , y0
O
x
间接法
求出点R的坐标
求出点S的坐标
求出|P0S|
求出 |P0R|
y
1
| P0 S || P0 R |
2
1
d | SR |
2
S ( x0,
Ax0 C
)
B
Q
利用勾股定理求出|RS|
等面积法求出 |P0Q|
l
P0 ( x0 , y0 )
O
R(
By0 C
应先化成一般式再用公式.
2 到直线 l : 3x 2 的距离．
例1: 求点P0 1，
解：直线l的方程可化为一般式：
3x 2 0
思考：还有其他解法吗？
对于直线的一般式方程：Ax+By+C=0，
当A=0或B=0时，直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y
P (x0,y0)
(x1,y0)
点A到直线l2的距离等于l1与l2的距离
d
6 4 21 0 1
62 212
点到直线的距离两条平行直线间的距离讲课文档
点P(2,3)关于直线x－y＋4＝0的对称点坐标(x0，y0)求法， 在方程中解出x＝y－4，∴x0＝3－4＝－1，在方程中解出y ＝x＋4，∴y0＝2＋4＝6.
曲线y＝x2关于直线x＋y－1＝0的对称曲线方程为：(1 －x)＝(1－y)2(∵x＝1－y，y＝1－x)．
第十六页，共56页。
[例2] 两平行直线3x＋4y－12＝0和6x＋8y＋11＝0的 距离为________．
[解析] 将直线方程3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0. 则所求两平行线间的距离为|－2642＋－8121|＝72. 故两平行线间的距离为72.故填72.
第二十三页，共56页。
[点评] 求两平行直线之间的距离，应用公式前，必 须将两直线方程中x、y的系数化成相同的情形，这是易错 的地方．
①设M(x，y)为直线l2上任一点，它关于l的对称点M′(x′， y′)在l1上，则由MM′⊥l及MM′中点在l上列出方程组解出x′， y′，由M′在l1上代入可得l2的方程．
②在l1上取异于P的另一点Q，求出Q关于直线l的对称 点Q′，则直线PQ′即为直线l2.
第十二页，共56页。
3．关于轴对称问题要牢记两点：一是对称的两点连线 与轴垂直．通过直线斜率来体现；二是对称的两点的中点 在轴上，由中点坐标代入轴的方程来表达．另外一些特殊 的轴对称问题也应注意．
第十七页，共56页。
[例 1] 求点 P(3，－2)到下列直线的距离： (1)y＝34x＋14；(2)y＝6；(3)x＝4. [解析] (1)把方程 y＝34x＋14写成 3x－4y＋1＝0 由点到直线的距离公式得 d＝|3×3－324＋×(－(－42)2)＋1|＝158. (2)因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8. (3)因为直线x＝4平行于y轴， 所以d＝|4－3|＝1.
高中数学人教A版必修2.点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离PPT课件
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例1 已知直线 l1 : 2x 7y+8 0 和 l2 : 2x 7 y 6 0
l1 与l2 是否平行？若平行,求 l1与 l2的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
d | Ax0 By0 C | A2 B2
特别地，当A=0，B0时， 直线By+C=0
d
|
By0 C |B|
|
|
y0
C B
|
特别地，当B=0，A0时， 直线Ax+C=0
d
|
Ax0 | A|
C
|
|
x0
C A
|
高中数学人教A版必修2.点到直线的距 离公式 及两条 平行直 线间的 距离PP T课件
o
P l1
l2
Q x
两条平行直线间的距离：
已知两条平行直线方程为:
Ax By C1 0和Ax By C2 0
则它们之间的距离为:
d C1 - C2 A2 B2
2 13
例：两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是__13__.
例3. 若两条平行直线 l1：ax＋2y＋2＝0 l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
y
求出P0R
求出P0S
P0Q
P0S P0R SR
S
利用勾股定理求出SR 面积法求出P0Q
d
P0
Q
R
l
课件3：2.3.3 点到直线的距离公式 ~2.3.4 两条平行直线间的距离
直线 AC 的方程为 y－(－1)＝3(x－0)，
即 3x－y－1＝0.
又因为|AC|＝ （2－0）2＋（5＋1）2＝2 10，
x＋3y－7＝0，
所以点 B 和点 D 的坐标满足
3|32＋x－（y－－11）| 2＝
10，
解得yx＝＝14，，或yx＝＝3－，2，
故顶点 B，D 的坐标分别为(4，1)，(－2，3)或(－2，3)，(4，1)．
探究题 3 已知正方形 ABCD 的相对顶点 A(0，－1)和 C(2，5)， 求顶点 B 和 D 的坐标. 解：线段 AC 的中点为 M(1，2)，直线 AC 的斜率 kAC＝5－2（－－01）＝3.
因为 AC⊥BD，所以 kBD＝－13， 所以直线 BD 的方程为 y－2＝－31(x－1)，即 x＋3y－7＝0.
题型三 距离公式的应用 探究题 1 已知直线 l 过点 P(0，2)，且点 A(1，1)，B(－3，1)到 直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程.
解：方法一：由于点 A(1，1)与 B(－3，1)到 y 轴的距离相等， 所以直线 l 的斜率存在，设为 k.又直线 l 在 y 轴上的截距为 2， 则直线 l 的方程为 y＝kx＋2，即 kx－y＋2＝0. 由点 A(1，1)与 B(－3，1)到直线 l 的距离相等得 |k－k21＋＋12|＝|k×（－k32）＋－1 1＋2|， 解得 k＝0 或 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝2 或 x－y＋2＝0.
所以点
M(－1，0)到
AD，AB，BC
的距离均为3
10 5.
由|3×（－112＋）3－2 0＋n|＝3 510， 得|n－3|＝6，解得 n＝9 或－3. 由|－1＋132＋×302＋m|＝3 510，得|m－1|＝6, 解得 m＝7 或－5(舍去), 所以其他三边所在的直线方程分别为 x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0， 3x－y－3＝0.
点到直线的距离公式
• 当堂检测：学法大视野P49.
结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
Ｃ1
B(3, 1)
-1
3
x
例2、已知直线l1: 2x-7y-8=0 , l2: 6x21y-1=0， 直线l1与l2是否平行？若平 行，求出两直线间的距离。
1、点P0(x0, y0),到直线l ：Ax+By+C=0 (A，B
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
2、两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0 之间的距离为
不同时为0)的距离为:
d| Ax0By0C| A2 B2
自主学习
3. 两平行直线l1: Ax+By+C1=0 , l2: Ax+By+C2=0
之间的距离为
d | C1 C2 | A2 B2
例ห้องสมุดไป่ตู้、
已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0), 求
ΔABC的面积。 y
3 A(1, 3)
d | C1 C2 | A2 B2
• 3、求点到直线的距离,直线方程不是一般 式时则应先把方程化为一般式，再利用距
离公式求距离。
• 4、（1）求两平行线间的距离可以转化 为点到直线的距离，也可以应用公式。
• （2）应用两平行线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
• 时，两直线方程必须是一般式，而且x,y 系数对应相等。
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
明确目标：
1、了解点到直线距离公式的推导方法； 2、掌握点到直线的距离公式； 3、能求两平行线间的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国名校高中数学优质学案汇编
3.3.3 点到直线的距离公式--3.3.4两条平行线之间的距离
三维目标：
知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到
直线的距离公式；
能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离
情感和价值：1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的
观点看问题
教学重点：点到直线的距离公式
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
教学方法：学导式
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程
一、情境设置，导入新课：
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充
要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离
公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一
节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线
l
的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，
使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点
间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否
全国名校高中数学优质学案汇编
用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：
00222111CyBxA
CyBxA
.
二、讲解新课：
1．点到直线距离公式：
点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：
22
00
BACByAxd
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为),(00yx，直线＝
0或B＝0时，以上公式0:CByAxl，怎样用点的坐标和直线的方
程直接求点P到直线l的距离呢?
学生可自由讨论。
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离
d
是点P到直线l的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今
解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
全国名校高中数学优质学案汇编
设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足
为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为
A
B
（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方
程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；
由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为
d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作
x
轴的平行线，交l于点),(01yxR；作y轴的平行线，交l于点),(20yxS，
由0020011CByAxCByxA得BCAxyACByx0201,.
所以，｜PＲ｜＝｜10xx｜＝ACByAx00
｜PS｜＝｜20yy｜＝BCByAx00
｜ＲS｜＝ABBAPSPR2222×｜CByAx00｜由三角形面
积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以2200BACByAxd
可证明，当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等
方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。
o
x
y
l
d
Q
S
R
P(x0,y0)
全国名校高中数学优质学案汇编
解：d=223125330
例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的
面积。
解：设AB边上的高为h，则
SABC=12ABh•
22311322AB，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
311331yX
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=21045211，
因此，SABC=1522522
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理
解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：教材练习第1，2题。
4．拓展延伸，评价反思。
（1） 应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，
全国名校高中数学优质学案汇编
2l：02CByAx，则1l与2
l
的距离为
22
21
BACCd
证明：设),(000yxP是直线02CByAx上任一点，则点P0到直线
01CByAx
的距离为
22
100
BACByAxd
又 0200CByAx
即200CByAx，∴d＝2221BACC
01032yx
的距离.
解法一：在直线1l上取一点P(４，0)，因为1l∥2l
例3 求两平行线1l：0832yx，2l：，所以点P到2l的距离等
于1l与2l的距离.于是131321323210034222d
解法二：1l∥2l又10,821CC.
由两平行线间的距离公式得
13
32
32)10(822
d
四、课堂练习：
已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。
且该直线过点（2，3），求该直线方程。
五、小结 ：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公
式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
13.求点P（2，-1）到直线2x＋3y－3＝0的距离.