点到直线的距离公式教案
点到直线的距离教案
3.3.3点到直线的距离教学目标：(一)知识目标：点到直线的距离公式.(二)能力目标：理解点到直线距离公式的推导；点到直线距离公式的简单应用. (三)德育目标：认识事物之间在一定条件下的转化；用联系的观点看问题.教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：理解点到直线距离公式的推导.教学方法：探究讨论式在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生探究讨论点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，培养学生的发散性思维，进而逐一推导，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的能力.教学过程：(课前教师板书标题“点到直线的距离”)课题导入：前面两节课，我们一起研究学习了两直线平行和垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数手段研究几何问题的思想方法.这一节课，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离问题.思考题：(引导学生探究、讨论；每一种方法都要总结方法)求点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离().师：首先申明现成的公式暂时不能用，请大家想想看利用我们学过的知识可以怎样解决这个问题？ 做做看…(教师板书(2,1)P ，:210L x y +-=)…师：点到直线的距离是怎么定义的？做好的举手示意…(等到学生基本做好)师：答案是多少？…叫一个学生站起详细回答…师：还有没有其它方法？…好好想想，打开你的想象之门，看看还有没有其它的方法可以解决…同桌可以相互启发…师： 请大家总结一下⨯⨯⨯的解题方法，他是用什么方法解决这个问题的？是从哪个层面？师：好了！大家的方法层出不穷，这个题就先到这儿解法一：两点间距离法解：过点P 作直线:210L x y +-=的垂线1:20L x y -=，再求L 与1L 的交点21(,)55Q ，则点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离即为：PQ =解法二：最小值法解：设(,)M x y 是直线:210L x y +-=上的任意一点，则12y x =-，得：PM===当25x =时，即21(,)55M 时，minPM=，这个值就是点P 到直线L 的距离. 解法三：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在R t P Q A∆中，cos cos PQ AP APQ AP α=⋅∠=⋅=.解法四：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，在R t P Q B ∆中，cos sin PQ BP BPQ BP α=⋅∠=⋅==xx解法五：三角形法解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作直线1//L L ，有1:250L x y +-=，L 与1L 距离即为所求.设1L 、L 与y 轴分别交于点21,P Q ，则21(0,5),(0,1)P Q ，214P Q =，过点1Q 作11//PQ PQ交L 于1P ，则1121211cos PQ PQ P Q P Q P ==⋅∠21cos P Q α=⋅==解法六：面积法解：过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，过点P 作2//Ly 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在Rt ABP ∆中，AB =，由三角形面积公式可知d AB BP AP ⋅=⋅d ⇒=. 解法七：向量法 解：由方向向量的知识得与直线L 垂直的向量(2,1)n =.在直线L 上任取一点(1,1)Q -，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线L 的距离，有c o sd Q P θ=⋅，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴====. 进入主题：师：对照思考题，我们一起来看一个更具一般性的问题.在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ,直线l 的方程是++=0A x B y C ，求点P 到直线l 的距离.师：点和直线都以字母形式给出，象刚才一样，有这么多方法，我们是能够解决，如果每一次都这样求，会不会太麻烦？其中是否有一般性的结论？可以直接当公式来用.我们一起来推推看.师：首先大家说说解决这个问题有哪些思路？学生：刚才用到的两点间距离法、最小值法、三角形法、面积法、向量法应该都可以解决这个问题.师：很好！能够看清问题的本质，那我们就挑一种书本上没有详细解释的方法来试试……还有其它方法请同学们课后再思考一下.解决方案：方案一：根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.解题思路：一求垂线PQ的方程，二求Q点坐标，三求PQ长度.详细过程：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q.先考虑0A≠由PQ l⊥00:()PQBl y y x xA⇒-=-即00Bx Ay Bx Ay-=-，解方程组00Ax By CBx Ay Bx Ay++=⎧⎨-=-⎩20022B x ABy ACxA B--⇒=+即点Q 的横坐标，2220000022B x ABy AC A x B xx xA B----∴-=+0022()A Ax By CA B++=-+000022()()B Ax By CBy y x xA A B++-=-=-+d∴==；0A=要验证过才行.方案二：直接用两点间距离公式推导.解题思路：设出Q坐标，列出满足条件，由距离公式求出距离.详细过程：设点11(,)Q x y，则111010(0)Ax By Cy y BAx x A++=⎧⎪-⎨=≠⎪-⎩1010001010()()()()()0A x xB y y Ax By CB x x A y y-+-=-++⎧⇒⎨---=⎩(1)(2)(1)(2)平方相加2222222101000()()()()()A B x x B A y y Ax By C⇒+-++-=++22200101022()()()Ax By Cx x y yA B++⇒-+-=+d⇒=0A=也满足.方案三：过点P分别作x、y轴的平行线，交已知直线于R，S两点，从而构成一个直角三角形，用勾股定理求出RS，再利用三角形等积求d.解题思路：一求R 、S 坐标，二求PR 、PS ，三求RS 长度，四求距离d .详细过程：设0,0A B ≠≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交.过P 作x 轴的平行线，交l 于点10(,)R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点02(,)S x y .由100200Ax By C Ax By C ++=++=得0012,By C Ax Cx y A B----==0001Ax By C PR x x A ++⇒=-=；0002Ax By CPS y y B++=-=00RS By C ++，由三角形面积公式d RS PR PS ⋅=⋅得=d ；0,0A B ≠≠也满足.方案四：利用向量的有关知识推导.解题思路：一找直线l 的垂直向量n ，二在直线l 上任取点Q ，三求向量QP 在向量n上的投影的绝对值即为所求.详细过程：设0,0A B ≠≠，由方向向量的知识得与直线l 垂直的向量(,)n A B =.在直线l 上任取一点(,)Q x y ，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线l 的距离，有cos d QP θ=⋅ ，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴===； (因为++=0Ax By C ，所以--=Ax By C )0,0A B ≠≠也满足. 方案五：三角函数法.解题思路：构造一个易求斜边的直角三角形，利用斜边与直角边的关系求出直角边即点到直线的距离作y 轴的平行线PM 交直线l 于点01(,)M x y ，满足010Ax By C ++=01Ax Cy B+⇒=-0001Ax By CPM y y B++∴=-=，记MPQ β∠=，则始终有cos cos βα=，而222222211cos 1tan 1B A A B B αα===+++，cos α∴=，cos PQ PM β∴=⋅=；0,0A B ≠≠也满足.方案六：最小值法.解题思路：在直线上任取一点(,)Q x y ，则min d PQ =. 详细过程：设0,0A B ≠≠，在直线l 上任取一点(,)Q x y ，满足++=0Ax By C +⇒=-Ax Cy B，则PQ =当""2bx a=-时，mind PQ ==⇒=d 0,0A B ≠≠也满足.结论：点P 00(,)x y 到直线l ：++=0Ax By C的距离公式为=d .注意细节：假如P 在直线上呢？0d =照样适用；当A=0或B=0时，该公式也适用，当然此时可以不用该公式而直接求出距离.若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1x x ，则点P 到直线l的距离10d x x =-；若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1y y ，则点P 到直线l 的距离10d y y =-.师：有了这个公式，求点到直线的距离就十分方便了. 下面我们通过例题来熟悉一下这个公式.例题讲解：例1.求点(1,2)P -到下列直线的距离：(1)2100x y +-=；(2)32x =.解：d =25(1)33d =--=. 例 2.已知点(,6)A a 到直线342x y -=的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)4d =；(2)4d >解：(1)4d =2a ⇒=或463a =；(2) 4d =>2a ⇒<或463a >. 巩固练习：(其中3，4，5为备用题)1.求原点到下列直线的距离：(1)32260x y +-=；(2)x y =.答案：(1)(2)0.2.求点(1,1)B -到直线y =. 答案：12. 3.求点(,)P m n m --到直线1x ym n+=的距离.4.点P 为直线32260x y +-=上的任意一点，O 为坐标原点，求OP 的最小值.答案：5.点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足什么关系式？答案：3256650740x y x y -+=+=或. 师：好了，今天的课就到这儿，我们小结一下.课堂小结：通过本节课的学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并能简单应用公式解决问题；使用点到直线的距离公式时，应该注意以下几点：①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式再用公式；②若点在直线上，有0d=，公式仍然适用；③点P到平行于坐标轴的特殊直线的距离要能直接写出来.课后作业：名师1个课时；公式的推导(一题多解)(做书上)；书本54页13，15，16(做作业本上).板书设计：。
点到直线的距离公式 高中数学教案 第二章3-3
第二章2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式【素养导引】1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程.(数学抽象)2.会求点到直线的距离.(数学运算)3.掌握两点间的距离公式及应用.(数学运算)【问题1】已知点P0,0和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离?【问题2】点到直线的距离公式有哪些应用?点到直线的距离公式【思考与交流】能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.【解透教材】两种方法推导点到直线的距离公式,第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然;第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算.【基础小测】1.点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是()A.2B.22C.1D.12【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d =2.2.原点O到直线x+y-4=0上的点M的距离|OM|的最小值为()A.10B.22C.6D.2【解析】选B.原点O到直线x+y-4=0上的点M的距离|OM|的最小值为点O到直线的距离,故|OM|min=22.3.点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于.【解析】直线x+2=0,即x=-2为平行于y轴的直线,所以点(5,-3)到x=-2的距离d=|5-(-2)|=7.答案:74.点(5,-3)到直线y+2=0的距离为.【解析】点(5,-3)到直线y+2=0的距离d=|-3+2|=1.答案:1学习任务一点到直线的距离公式(数学运算)1.点(3,1)到直线3x-4y+2=0的距离是()A.45B.75C.425D.254【解析】选B.根据题意,点(3,1)到直线3x-4y+2=0的距离d=75.2.已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),则点M到直线NF的距离为()A.5B.23C.22D.33【解析】选B.因为已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),易知NF的斜率k=-3,故NF的方程为y=-3(x-1)即3x+y-3=0.所以M到NF=23.3.点P(5,-1)到直线3+4=1的距离为,到直线x=2的距离为.【解析】把直线3+4=1化为一般式,得4x+3y-12=0,所以点P(5,-1)到直线3+4=1到直线x=2的距离为5-2=3.答案:13【思维提升】求点到直线距离的关注点(1)解题步骤:先把直线化成一般式方程,再利用点到直线的距离公式.(2)特殊情况:①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=|y0-b|;④点P(x0,y0)到直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.学习任务二点到直线的距离公式的应用【典例】(1)已知点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m等于()A.34B.43C.-43D.-34(2)已知点P2,到直线2x-y+3=0的距离不小于25,求实数m的取值范围.【解析】(1)选D.根据题意,点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则有d解可得m=-34.(2)由题意可得≥25,化为7-≥10,解得m≤-3或m≥17.【思维提升】关于点到直线的距离公式的应用(1)一个点到过定点的直线的最大距离即这个点到定点的直线之间的距离;(2)利用点到直线的距离公式,可以求未知量的值、范围.【即学即练】1.点(4,a)到直线3y-4x=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.-3,B[3,4]CD[10,+∞)【解析】选C.点(4,a)到直线3y-4x=0的距离d变形为|3a-16|≤15即-15≤3a-16≤15,解得13≤a≤313,所以a2.设直线l1:3x-y-1=0与直线l2:x+2y-5=0的交点为A,求A到直线l:x+by+2+b=0的距离的最大值.【解析】联立直线l1:3x-y-1=0与直线l2:x+2y-5=0的方程,解得交点A(1,2),所以A到直线l:x+by+2+b=0的距离d32(b≠0),当且仅当b=1时取等号,当b=0时,d=3<32,故A到直线l:x+by+2+b=0的距离的最大值为32.。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案一、教学目标：1.知识目标：了解点到直线的距离的概念和计算公式。
2.能力目标：学会运用点到直线的距离公式解决实际问题。
3.情感目标：培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，增强对数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1.重点：理解点到直线的距离的概念和计算公式。
2.难点：如何将点到直线的距离公式运用到实际问题中。
三、教学过程：1.导入新知识：教师通过实例引导学生回顾如何计算点到直线的距离。
即，点离直线的距离等于点到直线上任意一点所在的垂直平面的距离。
2.点到直线的距离公式的推导：教师通过几何证明或向量证明的方式，推导出点到直线的距离公式。
3.生命周期函数的说明：教师解释什么是函数，如何用函数表示点到直线的距离。
4.点到直线距离公式的使用：教师给出一些实际题材的例子，如房屋平面图中特定点离直线的距离、飞机在空中的高度等，要求学生运用点到直线的距离公式解决问题。
5.练习与讨论：教师布置一些相关的练习题，让学生独自或小组合作解答，并讨论解题思路和方法。
6.示范与操练：教师随机抽一道题目，为学生演示解题过程，并请学生依次完成该题目的解答。
7.温故知新：教师总结重要知识点和思路，帮助学生复习和巩固所学的知识。
8.拓展应用：教师设计一些能够拓展学生思维的应用题，要求学生分析问题并运用点到直线的距离公式解决。
9.讲评与总结：教师和学生共同讨论和总结此次学习的内容，强化学生对点到直线的距离公式的理解和应用。
四、教学评价：1.学生的课堂表现，包括参与讨论、解答问题的积极性和准确性。
2.学生完成的练习题和应用题答案的准确性和深入性。
3.学生在讲评环节的思维能力和解决问题的方法。
五、教学反思：本节课通过引入实例、推导公式、训练练习和应用题拓展等方式，帮助学生掌握了点到直线的距离的计算公式。
同时，通过讨论和解析问题，提高学生的数学思维能力。
但是，需要对练习和应用题的设计进行修改，增加一些开放性和质量较高的题目，以提高学生的解决问题的能力。
点到直线的距离教案
点到直线的距离教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解点到直线的距离的定义；（2）学会使用点到直线的距离公式；（3）能够运用点到直线的距离解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例直观感受点到直线的距离；（2）引导学生发现点到直线的距离与垂线段的关系；（3）引导学生运用点到直线的距离解决几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的空间想象力；（2）培养学生解决问题的能力；（3）激发学生对数学的兴趣。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）点到直线的距离的定义；（2）点到直线的距离公式的运用。
2. 教学难点：（1）点到直线的距离的直观理解；（2）在实际问题中运用点到直线的距离公式。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）点到直线的距离的相关知识；（2）教学课件或黑板；（3）实例和练习题。
2. 学生准备：（1）掌握直线、点和垂线的基本概念；（2）了解垂线段的概念。
四、教学过程：1. 导入：（1）利用实例引入点到直线的距离的概念；（2）引导学生观察和思考点到直线的距离与垂线段的关系。
2. 新课讲解：（1）介绍点到直线的距离的定义；（2）讲解点到直线的距离公式；（3）通过图示和实例解释点到直线的距离的求法。
3. 课堂练习：（1）出示练习题，让学生独立完成；（2）讲解答案，分析解题思路。
4. 拓展与应用：（1）引导学生运用点到直线的距离解决实际问题；（2）出示几何问题，让学生运用点到直线的距离公式解决。
五、课后作业：1. 巩固知识点：（1）复习点到直线的距离的定义和公式；（2）回顾课堂练习的解题思路。
2. 提高练习：（1）解决一些有关点到直线的距离的应用问题；（2）进行一些有关点到直线的距离的证明题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及与合作学习中的表现，评价学生的学习态度和合作精神。
2. 练习完成情况评价：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对点到直线的距离知识的理解和运用能力。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案教案标题：点到直线的距离公式教案教学目标：1. 理解点到直线的距离公式的概念和应用。
2. 掌握使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
3. 运用点到直线的距离公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、白板、黑板、白板笔、教学PPT、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 使用一张图片或实物，向学生展示一个点和一条直线，并提问：如何计算点到直线的距离？2. 让学生思考并讨论这个问题，引导他们思考点到直线的距离公式的可能性。
知识讲解：1. 通过教学PPT或黑板，向学生介绍点到直线的距离公式的概念和推导过程。
2. 解释公式中的各个符号的含义，如点的坐标、直线的一般方程等。
3. 提供示例，演示如何使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
示例练习：1. 提供一些简单的示例问题，让学生尝试使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
2. 引导学生思考并解决问题中可能遇到的困难和问题。
3. 鼓励学生在小组内互相讨论和交流解题思路和答案。
拓展应用：1. 提供一些实际生活中的问题，让学生运用点到直线的距离公式解决问题。
2. 引导学生分析问题，确定如何应用点到直线的距离公式进行计算。
3. 鼓励学生在小组内分享和讨论解题思路和答案。
总结归纳：1. 总结点到直线的距离公式的应用和计算方法。
2. 强调学生掌握并理解该公式的重要性和实际应用价值。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用点到直线的距离公式。
评估活动：1. 提供一些评估题目，让学生独立完成并提交答案。
2. 评估学生对点到直线的距离公式的理解和应用能力。
教学延伸：1. 鼓励学生在课余时间进一步研究和应用点到直线的距离公式。
2. 推荐相关的教学资源和参考书籍，帮助学生深入学习和理解该知识点。
教学反思：1. 教师对本节课的教学进行总结和反思，分析学生的学习情况和问题。
2. 根据学生的反馈和表现，调整教学策略和方法，进一步优化教学效果。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案教学目标：1. 理解点到直线的距离定义；2. 知道点到直线的距离公式及其推导过程；3. 能够熟练运用点到直线的距离公式求解相关题目。
教学重点：1. 点到直线的距离定义；2. 点到直线的距离公式的推导过程。
教学难点：能够熟练运用点到直线的距离公式求解相关题目。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学PPT等教学工具；2. 学生准备纸、铅笔和计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）教师可以通过以下问题导入：怎样计算一个点到一条直线的距离呢？请学生思考并提出自己的见解。
二、讲解点到直线的距离定义（5分钟）教师通过PPT展示点到直线的距离定义，并解释清楚每个术语的含义。
例如，点$P(x_0,y_0)$ 到直线$Ax+By+C=0$的距离定义为点P到直线上一点$Q(x,y)$的最短距离。
三、推导点到直线的距离公式（15分钟）教师通过几何解析法详细讲解点到直线的距离公式的推导过程。
具体步骤如下：1. 假设点P到直线的距离为d，直线上的一点为Q；2. 连接PQ，假设直线的斜率为k，直线上点Q的坐标为$(x,y)$；3. PQ的斜率为$\frac{y-y_0}{x-x_0}$，与直线的斜率k相乘得到-1，即$\frac{y-y_0}{x-x_0}\cdot k=-1$；4. 化简上式得到$y=kx+kx_0-y_0$；5. PQ的长度为$d=\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$；6. 代入$y=kx+kx_0-y_0$得到$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
四、概念讲解（5分钟）教师讲解点到直线的距离公式中的一些常见概念和符号，例如，|x|表示x的绝对值，A、B、C分别表示直线的系数。
五、例题演练（20分钟）教师通过多个例题的演练来帮助学生掌握点到直线的距离公式的运用。
学生可以通过纸和铅笔分步解题，最后用计算器求得具体数值。
六、巩固练习（10分钟）教师布置一些类似的练习题，要求学生用点到直线的距离公式来解答。
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]
![《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/85309ad8f605cc1755270722192e453611665b59.png)
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]第一篇：《点到直线的距离》的说课稿一、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”。
（2）教学方法：问题解决法、讨论法等。
本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用。
我选择的是问题解决法、讨论法等。
通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体。
二、教学用具的选用在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率。
三、关于教学过程的设计“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明。
（一）[创设情境提出问题]1、这一环节要解决的主要问题是：创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．2、具体教学安排：多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”。
（二）[自主探索推导公式]1、这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。
点到直线的距离公式(教案)
一、点到直线的距离公式（两平行线之间的距离）
二、教学目标：探究并掌握点到直线的距离公式，两平行线之间的距离公式；体会由求平行线之间的距离到求点到直线的距离的转化过程。
三、教学重点：点到直线之间的距离公式的推导与应用
四、教学难点：公式的推导过程，以及转化思想。
五、教学支持手段：
六、教学过程：
1、回顾与引入：
问题1：①上节课我们学习了两点之间的距离公式，是什么？
②初中的时候我们学习过点到直线的定义是什么？
问题2：那么，在引入坐标后，如果已知一点坐标和一直线的方程，如何求该点到直线的距离呢？
2、探索新知：
问题3：已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P0到直线l的距离呢？
推导简图：
点到直线之间的距离公式：
问题4：你能通过点到直线之间的距离，得出求两平行线之间距离的方法吗？你能完成110页B组第三题的证明吗？
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3、例题精讲：
问题5：例1：求点P0（-1,2）到直线l：3x=2的距离。
问题6：例2：已知点A（1,3），B（3,1），C（-1,0），求三角形ABC的面积
变式训练：106页
4、目标检测：
：
5、课堂小结：
问题7：本节课你学到哪些知识？
6、作业：110页
必做题目：
①
②
选做题：③。
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点到直线的距离公式教案
江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠
一、教案背景
1.教材。
本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。
点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。
相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。
同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。
2.学生。
本课时的教学对象是职业高中学生。
作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。
他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。
但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。
二、课时分析
针对以上分析，对本课时作如下定位。
1.教学目标：
（1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。
（2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。
（3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。
2.重点：点到直线的距离公式。
3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。
三、教学方法
1.教法。
本课教法以讲授为主。
采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。
通过
从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。
对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。
2.学法。
本课学法以练习为主。
在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解，
巩固知识。
学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。
四、教学过程
（一）知识准备
1.两点间的距离公式。
2.直线方程的一般形式。
3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。
4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。
设计目标：复习已有知识，为新课作准备。
（二）问题提出
什么是点到直线的距离？
设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。
（三）问题解决
1.当直线平行于坐标轴时的情况。
例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d：
(1) y=7；(2) x +1=0．
=7
解：通过图象可得：
（1） d =7−(-3)=10
（2） 直线方程可化为x =−1.
d =2−(-1)=3
结论：点到平行于坐标轴的直线的距离等于对应的坐标值的差的绝对值。
学生练习：求点A (-1,2)到下列直线的距离：
（1）x =5; (2)y −4=0；（3）2x −1=0; (4)3y +1=0
设计目标：通过图象，使学生理解“点到直线的距离”问题在解析几何下的形式，掌握问题在特殊情况下的解法，树立解决问题的信心。
2. 一般情况下的问题。
例：求点A (-2,3)到直线l :x +2y −10=0的距离。
思考：如图，所求距离即线段AD 的长度。
求法：1.先求直线AD 的方程。
2.求直线AD 与l 的交点D 的坐标。
3.求线段AD 的长度。
说明：解法与公式推理。
除这种解法外，还有三角函数法
（课本解法）和面积法等，但这个方法涉及知识点最少、最近，学生易于理解、接受。
为了节省时间，只说明解题方法，不演示解题过程，对学生要求只了解即可。
3. 问题解决。
过程比较复杂，有一个简便的方法：使用公式。
点P （x 0，y 0)到直线l ：A x +B y +C=0的距离为： d =2200B
A C By Ax +++||
公式分析：略。
体验公式中点的坐标与直线的方程间的关系。
解：应用点到直线的距离公式得：
d
=32． 又如：求点A （2，-3）到直线y =5x −2的距离。
解：先化方程为一般形式：5x −y −2=0.
代入公式：d
==
学生练习：课内练习4，1，2
设计目标：使学生认识公式，掌握公式，体验公式在解决问题时的作用。
（四）综结与作业。
五、教学反思
1.本课把课本例10拆分为二分别引导，效果良好。
2.代公式求距离的学生练习效果没有达到预期，说明部分学生对公式理解还不到位，还需
加强代公式的练习，同时还需注意学生练习的时间。
六、教案设计思路说明
职业高中的教学改革，无论是国外发展较早的行为导向教学（/question/183876878.html），还是最近发展较大的任务驱动教学（/view/1170229.htm）等等，都非常强调学生的主体性，强调学生在动手操作的过程中形成知识技能。
最近，国家教育部印发的中等职业学校七门公共基础课程教学大纲（/newsInfo.aspx?pkId=46109）中，也突出了对学生基本技能方面的要求。
把提高学生的动手操作能力放在职高教改的首要地位，这不仅是职业高中的教学目标的要求，也切合职高学生的实际情况：他们在基本技能方面的提升空间要比思维能力方面的提升空间要大得多。
作为职业高中的文化课程，也应该在提升学生的基本技能方面下功夫。
在这个前提下，本课时降低了学生思维方面的目标要求，不采用启发式的教学方法和探究式的学习方法，对作为课本重要内容的公式推理过程，只作略讲。
这样安排，原因是学生较低的思维水平和综合运用知识的能力，目的是增加学生动手练习的时间。
让学生做他们能做的事，是调动学生学习积极性的基本要求，反复的练习也是学生尤其是职高学生掌握知识的重要途径。
所以，本课时力求使学生练习贯穿始终，充分发挥学生的主体作用，避免学生听而不闻、过堂即忘的不良情况的发生。
较低的起点和要求，频繁的学生练习，是这堂课在设计时的理念，也是我在职高数学教学中的尝试。
一家之言，望大家指正。