点到直线的距离公式PPT课件
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点到直线的距离公式)PPT全文课件
试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法一(几何法)：把圆的方程都化成标准形式,为 C 1:(x 1 )2(y4)225 C 2:(x2 )2(y2 )21 0
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
C 1 的圆心坐标是 (1, ,半4)径长 r1 5 ;
C 2 的圆心坐标是 ( 2 , 2,半) 径长 r2 1 0 ; 所以圆心距 C 1 C 2( 1 2 )2 T名师课件
练 1.圆x +y -2x=0与x +y +4y=0的位置关系是( C ) 点到直线的距离公式）PPT名师课件
22
22
习 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2.
B
点到直线的距离公式）PPT名师课件
三、两相交圆的公共弦所在的直线方程 点到直线的距离公式）PPT名师课件
1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所 在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2．当两圆相切时，以上方程表示两圆的公切线方程。 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求出弦长． 如图，首先求出圆心 O1 点到相交弦所在直线的距离 d，而 AC＝21l， ∴14l2＝r21－d2，即 l＝2 r21－d2，从而得以解决．
人教版·必修2·第四章《圆与方程》
4.2.2 圆与圆的位置关系
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
( x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y
-14(点到直线的距离公式)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
角为450，利用夹角公式求得l 旳
l1
M 斜率，进一步得 l 旳方程。)
T
Ө N
(KEY:7x+y-17=0 或x-7y+19=0.)
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A）
4.已知两直线3x 2 y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D）
A.4
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ
Ax0 By0 C2 A2 B2
点到直线的距离公式+平行线距离公式课件-选择性必修第一册
d
Ax0 By0 C
A B
2
2
注：1.A=0或B=0，此公式也成立，
但当A=0或B=0时一般不用此公式计算距离．
2.必须将直线方程化为一般式才能使用公式.
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0；②3x=2的距离
解：①根据点到直线的距离公式，得
d
2 1 1 2 10
例8 已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行
x＋2y－3＝0
直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________.
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1)，B(0，－1).
－1－1
所以 kAB＝
到直线 l2 的距离之比为 2: 1 ，则直线 l 的方程为_______.
答案： 2x 3 y 8 0 或 6 x 9 y 10 0
解析：直线 l1 的方程可化为 4 x 6 y 2 0 ，易知 l1 //l2 ，且直线 l 与直线 l1 ， l2 平行，
所以设直线 l 的方程为 4 x 6 y C 0 （ C 2 且 C 9 ），
|3×－1－0＋m| |m－3| 3 10
d＝
＝
＝ 5 .
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
10
3 ＋－1
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
例 3 已知 x＋y－3＝0，则 x－22＋y＋12的最小值为_____.
解析
设P(x，y)，A(2，－1)，
高中数学必修二《 点到直线的距离》ppt课件
.
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
新课探究
一、点到直线的距离
过点 P 作直线 l 的
垂线，垂足为 Q 点，线 段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
.
y
Q·
·P
O
x
问题1 当A=0或B=0时,直线为y=y1或 x=x1的形式.如何求点到直线的距离？
y y=y1
o
P (x0,y0)
Q(x0,y1) x
y (x1,y0)
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
练习2 求原点到下列直线的距离：
(1) 3x+2y-26=0 2 13 (2) y=x 0 练习3 （１）A(-2,3)到直线 9 3x+4y+3=0的距离为_____. 5
（２）B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为
______. 9
=0
所以l1:
Byx-Ay-Bx0+Ay0=0
P0(x0, y0)
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
太麻烦！
x1
B2x0
AB0yAC A2B2
换y1个A角BA 0度2xBB 思02y考BC ！
|P| Q (x 0x 1)2 (y0y 1)2
Q
O
x
l:AxByC0
.
Ax1+By1+C=0
B x1-Ay1-Bx0+Ay0=0
.
[思路二] 构造直角三角形求其高。
y
S Q
O
P(x0,y0)
R
x
L:Ax+By+C=0
.
y
S P(x0,y0)
Q
人教A版高中数学必修二3.3.3 点到直线的距离公式 教案课件(共16张PPT)
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教学目标
• 1、知识目标： （1）掌握点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。 （2）领会渗透于公式推导中的数学思想（如化归思想、数
形结合、分类讨论等数学思想），掌握用化归思想来研究数 学问题的方法。 • 2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结， 发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳 能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。 • 3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其 非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
小结
思考：通过本节课的学习，你学到了什么？ 体验到什么？掌握了什么？
提示：从知识、思想方法和研究方法 三个方面进行总结.
布置作业 课本P.59 13,14,16
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人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大； 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难， 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极， 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己， 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子， 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能
点到直线的距离公式课件可编辑全文
1y 3 x 1 2x 4
44
答案:(1) 18/5 (2)7
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离.
答案: 0.9
小结
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要 熟记公式的结构.应用时要注意直线的方程 化为一般式.
2.两条平行线间的距离可化为点到直线的距 离去求.
学以致用：
D 点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离 d＝|m2＋22m＋7|＝m＋122＋6≥ 62＝3 2， ∴d有最小值3 2，故选D．
学以致用：
3.垂直于直线
x＋3y－5＝0
且与点
P(－1,0)的距离是3
10的直线 5
l
的
方程为________．
3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线 的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
5 因为 m2＋n2 是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直 线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是 m2＋n2 的最小 值．根据点到直线的距离公式可得d＝ 225＋12＝ 5．故答案为 5．
d
y0
C B
By C 0 B
y
P
d
x0
C A
Ax C 0 A
y
Q
P
Q
o
x
o
x
L
求点P（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距 离。其中A ≠0且yB≠0
➢解题思路Ⅰ: ➢①求垂线方程
·Q l ' P·
➢②求交点坐标
o
x
➢③求两点间的距离
l
44
答案:(1) 18/5 (2)7
二.求两平行直线3x+4y+2=0和 6x+8y-5=0的距离.
答案: 0.9
小结
1.今天我们学习了点到直线的距离公式,要 熟记公式的结构.应用时要注意直线的方程 化为一般式.
2.两条平行线间的距离可化为点到直线的距 离去求.
学以致用：
D 点P(2m，m2)到直线x＋y＋7＝0的距离 d＝|m2＋22m＋7|＝m＋122＋6≥ 62＝3 2， ∴d有最小值3 2，故选D．
学以致用：
3.垂直于直线
x＋3y－5＝0
且与点
P(－1,0)的距离是3
10的直线 5
l
的
方程为________．
3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线 的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，
5 因为 m2＋n2 是点P(m，n)与原点O间的距离，所以根据直 线的性质，原点O到直线2x＋y＋5＝0的距离就是 m2＋n2 的最小 值．根据点到直线的距离公式可得d＝ 225＋12＝ 5．故答案为 5．
d
y0
C B
By C 0 B
y
P
d
x0
C A
Ax C 0 A
y
Q
P
Q
o
x
o
x
L
求点P（x0 ，y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距 离。其中A ≠0且yB≠0
➢解题思路Ⅰ: ➢①求垂线方程
·Q l ' P·
➢②求交点坐标
o
x
➢③求两点间的距离
l
2.3.3点到直线的距离公式课件(人教版)
点P 直线l
0
No Image
No Image
x
合作探究
问题2： 已知任意点 P x0, y0 ，直线 l : Ax By C 0，
如何求点P 到直线 l 的距离？
yl
么？
点到直线的距离定义是什
Q
如何求 PQ 的长度 ？
如何求点Q 的坐标呢 ？
O
x
如何求垂线 PQ 的方程?
d = PQ x x0 2 y y0 2
AC
x0
= B2x0 ABy0 AC ( A2x0 B2x0 ) A2 B2
= A Ax0 By0 C
A2 B2
y
y0
A2 y0
ABx0 A2 B2
BC
y0
A2 y0
ABx0
BC (A2 y0 A2 B2
B2 y0 )
B
Ax0 A2
By0 B2
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程.
(2) 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰
的距离之和等于一腰上的高.
(3) 求经过点 P 3，5 ,且与原点距离等于3的直线 l的方程.
(4) 已知直线过点 P 3，4且与点 A 2，2 ，B 4，-2等距离，
则直线 l的方程为.
(5) 直线 3x-4y-27=0上到点 P 2，1 距离最近的点的坐标
By0 B2
ห้องสมุดไป่ตู้
C
d = PQ x x0 2 y y0 2
=
A( Ax0 By0 （A２+B２）
C
)
2
B
Ax0 By0
2.3.3点到直线的距离公式 课件
-4-2
1
=- ,
3
此时直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 即x+3y-5=0.
3
当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.
综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.
13
典型例题
求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程
解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,
A +B
2
2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，
利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一
般式.
3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图
形，数形结合，使问题更清晰.
16
2 5
0
4、P（2，—3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______
5
5.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是______.
3
4
6.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是______.
3
10
典型例题
例2：用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一
腰上的高。
证明:建立如图直角坐标系,设P (x,0),x∈( a, a )
1
S | AB | h
2
h
C
O
B
x
化为一般式 x y 4 0
h
| 1 0 4 |
12 12
1
5
S 2 2
5
2
2
还有其他方
法吗？
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设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) · (B,-Aa)
=AB-BA=0
l
n
M(x0y0)
所以n⊥ v,故称n为直线l的法向量.
O
与n同向的单位向量
n0|n n|(
A, A2B2
B) A2B2
-
P(x,y) x
3
所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量PM 在n0
方向上射影的长度.
d | Ax0 By0 c|
A2 B2
-
5
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
21121
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5 .
-
6
例2
若向量
uuur AB
u u ur =(2,3), A C =(1,k), k∈ R，ΔABC为
uuur Q AP ∥a
(x 1 )3 (y2 )0
即 x3y70
所求直线的方程为 x3y70
-
9
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.
u u ur 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则P Q =(x-1,y+1).
uuur QPQn
uuur PQ•n0
即 4(x 1 )3 (y 1 )0 所求直线的方程为 4x3y70
-
10
小结： （1） 点M(x0,y0) 到直线l:ax+by+c=0的距离等于向 量 PM 在l的单位向量n0上射影的长度,； （2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件 可求直线方程.
-
11
uuuur d | PM • n |
| (x0 x, y0 y) • (
A, A2 B2
B )| A2 B2
| A(x0 x) B( y0 y) | A2 B2
| Ax0 By0 ( Ax By) |
A2 B2
-
4
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)
故
直角三角形，求k的值.
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.
A
x
-
7
uuu r
uuu r
uuu r
解 :向 量 AB(2,3),AC(1,k),BC(1,k3)
u A u B u ru B u C u r时 ,-2+3(k-3)=0,k=1 3 1,
C
u B u C u ru A u C u r时 ,-1+k(k-3)=0,k=3313, y
7.1 点到直线的距离公式
-
1
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C| A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
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2
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
B
u A uB uru A uC ur时 ,2+3k=0,k=-3 2.
A
x
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8
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
u件
写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则
uuur AP
=(x+1,y-2).
n·v=(A,B) · (B,-Aa)
=AB-BA=0
l
n
M(x0y0)
所以n⊥ v,故称n为直线l的法向量.
O
与n同向的单位向量
n0|n n|(
A, A2B2
B) A2B2
-
P(x,y) x
3
所以,点M(x0y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离等于向量PM 在n0
方向上射影的长度.
d | Ax0 By0 c|
A2 B2
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5
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
21121
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5 .
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6
例2
若向量
uuur AB
u u ur =(2,3), A C =(1,k), k∈ R，ΔABC为
uuur Q AP ∥a
(x 1 )3 (y2 )0
即 x3y70
所求直线的方程为 x3y70
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9
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程.
u u ur 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则P Q =(x-1,y+1).
uuur QPQn
uuur PQ•n0
即 4(x 1 )3 (y 1 )0 所求直线的方程为 4x3y70
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10
小结： （1） 点M(x0,y0) 到直线l:ax+by+c=0的距离等于向 量 PM 在l的单位向量n0上射影的长度,； （2）利用直线的法向量,用两向量垂直的充要条件 可求直线方程.
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11
uuuur d | PM • n |
| (x0 x, y0 y) • (
A, A2 B2
B )| A2 B2
| A(x0 x) B( y0 y) | A2 B2
| Ax0 By0 ( Ax By) |
A2 B2
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4
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(Ax+By)
故
直角三角形，求k的值.
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.
A
x
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7
uuu r
uuu r
uuu r
解 :向 量 AB(2,3),AC(1,k),BC(1,k3)
u A u B u ru B u C u r时 ,-2+3(k-3)=0,k=1 3 1,
C
u B u C u ru A u C u r时 ,-1+k(k-3)=0,k=3313, y
7.1 点到直线的距离公式
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1
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C| A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
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2
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
B
u A uB uru A uC ur时 ,2+3k=0,k=-3 2.
A
x
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8
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
u件
写出方程.
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则
uuur AP
=(x+1,y-2).