点到直线的距离公式 最新版ppt课件
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B
.
1.知道点到直线的距离公式的推导过程. （重点） 2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离.
（难点）
.
思考1：如何计算点P(-3，5)到直线L:3x-4y-5=0的距
离呢？
提示：过点P作PH⊥L，垂足为 H，则点P到直线L的距离就是线 段PH的长．
通过求点H的坐标，用两点间 的距离公式求PH．
CF⊥AB于F.以BC所在直线为x F
P
轴，以BC的中垂线为y轴，建 B
立直角坐标系如图.
OC
x
E
.
设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB
方程为bxபைடு நூலகம்ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取
P(x0,0),使x0>a, 则点P到直线AB，AC的距离分别为
.
【变式练习】
求下列点到直线的距离： (1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y
答案: (1) 4 1 3 (2)
52
13
2
.
例2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点
到两腰的距离之差等于一腰上的高.
y
证明：在△ABC中，AB=AC，
P为BC延长线上一点，
A
PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， D
第2课时 点到直线的距离公式
.
工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请 问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线. 你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？
工厂
.
最短距离应是垂线段AB，所画的这条线段我们给它 起了一个名字，叫作——点到直线的距离！我们本 节课来研究它！
A 工厂
可得它的斜率是
A B
, 直线ＰＱ的方程是 yy0 BA(xx0),
即 B xA yB x 0A y 0,与AxByC0联立，解得
xB2x0A2ABB y02AC,yA2y0A2ABB x02BC
Q (B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ,A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C )
y
●p(3,5)
O
3x-4y-5=0
x
H
P ( 3 ,5 )
.
1．由PH⊥L，可知PH所在直线的斜率为 4
3
2．求出PH的方程即4x+3y-3=0.
3.由L和PH所在直线的方程 3x-4y-5=0，
4x+3y-3=0，
解得H点的坐标为
H 27 , 11 25 25
4．用两点间的距离公式，求出点P到L的距离
PH 3272511234 25 25 5
.
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ
的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样 求点P到直线l的距. 离?
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1
.
思路3：解直角三角形法
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为
Py
ll
yP
1
1
M O
Q
1=
x
Q
M
1=
-
x
O
过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM
锐角1与倾斜角有何关系？|PQ|=|PMcos 1 |
如果l的倾斜角是钝角呢？ cos 1 =|cos |
怎样用|PM|表示|PQ|？
PQ PM co sA0x B0y C
.
A2B2
由此我们得到，
点 P(x0, y0 ) 到直线 l:AxByC0的距离 d Ax0 By0 C . A2 B2
直线方程为 一般式
点到直线的距离公式
.
例1.(1)求原点到直线l1:5x-12y-9=0的距离； (2)求点P(-1,2)到直线l2:2x+y-10=0的距离 .分析：根据点到直线的距离公式求解．
Ax0 By0 C A2 B2 .
思路2：三角形的面积公式 一般地，对于直线
l : A x B y C 0 ( A 0 , B 0 ) 外 一 点 P ( x 0 ,y 0 ) ,
过 点 P 作 P Q l , 垂 足 为 Q , 过 点 P 分 别 作 y 轴 , x 轴 的 平 行 线 ,
|P Q |(x 0 B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ) 2 (y 0 A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C ) 2
A 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2B 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2
交 直 线 l于 点 Ｍ （ ｘ 0 ， ｙ 1 ） , Ｎ （ ｘ 1 ， ｙ 0 ） ． y
P(x0, y0 )
·
M (x0 , y1) Q
N ( x1, y0 )
O
x
l
.
由 A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 1 C 0 ,
y
得 x1ByA 0C,y1AxB 0C.
公式:
y
思路1：
直线 l的方程
P(x0, y0 )
垂线段法
直线 l的斜率
Q
O
l
l PQ
x
点P 的坐标 直线 P Q 的斜率
直线 l的方程
直线 P Q 的方程
交点
点 P 的坐标
点 Q的坐标
两点间距离公式
点 P , Q 之间的距离 P Q （ P 到l的距离） .
若直线不平行于坐标轴(即A ≠0且B≠0),由 AxByC0
.
|PQ|=|PMcos |
Py
1 Q
l 已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
∵PM∥Oy，∴x1=x0 将M(x0,y1)代入l的方程得
M O
x
y1
Ax0 C B
PM y0y1
y0
Ax0 C B
Ax0 By0 C B
又 co 1sco s11 tg 21 1B A 2 2
B A 2B2
P(x0, y0 )
所 以 PNx1x0
Ax0By0C. A
M (x0 , y1)
Q
PMy1y0
Ax0By0C B
l
O
N ( x1, y0 ) x
PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知
P M P N
P Q
P M P N A x 0 B y 0 C .
M N
P M 2P N 2
A 2 B 2
o
p(x0,y0)
Q(x0,y1)
x
y
Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ y0-y1
.
x=x1
PQ x0 -x1
练一练
5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是___3 ___.
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离
.
1.知道点到直线的距离公式的推导过程. （重点） 2.会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离.
（难点）
.
思考1：如何计算点P(-3，5)到直线L:3x-4y-5=0的距
离呢？
提示：过点P作PH⊥L，垂足为 H，则点P到直线L的距离就是线 段PH的长．
通过求点H的坐标，用两点间 的距离公式求PH．
CF⊥AB于F.以BC所在直线为x F
P
轴，以BC的中垂线为y轴，建 B
立直角坐标系如图.
OC
x
E
.
设A(0,b),B（-a,0),C(a,0)(a>0,b>0),则直线AB
方程为bxபைடு நூலகம்ay+ab=0,直线AC方程为bx+ay-ab=0,取
P(x0,0),使x0>a, 则点P到直线AB，AC的距离分别为
.
【变式练习】
求下列点到直线的距离： (1)(0,0),3x-2y+4=0 (2)(2,-3),x=y
答案: (1) 4 1 3 (2)
52
13
2
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例2.用解析法证明：等腰三角形底边延长线上一点
到两腰的距离之差等于一腰上的高.
y
证明：在△ABC中，AB=AC，
P为BC延长线上一点，
A
PD⊥AB于D，PE⊥AC于E， D
第2课时 点到直线的距离公式
.
工厂在公路的一侧，准备修一条水泥路和公路连接，请 问怎样修才能使工厂距离公路最近，请画出所修的路线. 你认为哪种方案最节省材料？你的理由是什么？
工厂
.
最短距离应是垂线段AB，所画的这条线段我们给它 起了一个名字，叫作——点到直线的距离！我们本 节课来研究它！
A 工厂
可得它的斜率是
A B
, 直线ＰＱ的方程是 yy0 BA(xx0),
即 B xA yB x 0A y 0,与AxByC0联立，解得
xB2x0A2ABB y02AC,yA2y0A2ABB x02BC
Q (B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ,A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C )
y
●p(3,5)
O
3x-4y-5=0
x
H
P ( 3 ,5 )
.
1．由PH⊥L，可知PH所在直线的斜率为 4
3
2．求出PH的方程即4x+3y-3=0.
3.由L和PH所在直线的方程 3x-4y-5=0，
4x+3y-3=0，
解得H点的坐标为
H 27 , 11 25 25
4．用两点间的距离公式，求出点P到L的距离
PH 3272511234 25 25 5
.
如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l的垂线段PQ
的长度，其中Q是垂足.
y
P
l
Q
o
x
思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样 求点P到直线l的距. 离?
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
y
y=y1
.
思路3：解直角三角形法
P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, AB≠0,倾斜角设为
Py
ll
yP
1
1
M O
Q
1=
x
Q
M
1=
-
x
O
过P作PM⊥x轴交l于M，构造直角△PQM
锐角1与倾斜角有何关系？|PQ|=|PMcos 1 |
如果l的倾斜角是钝角呢？ cos 1 =|cos |
怎样用|PM|表示|PQ|？
PQ PM co sA0x B0y C
.
A2B2
由此我们得到，
点 P(x0, y0 ) 到直线 l:AxByC0的距离 d Ax0 By0 C . A2 B2
直线方程为 一般式
点到直线的距离公式
.
例1.(1)求原点到直线l1:5x-12y-9=0的距离； (2)求点P(-1,2)到直线l2:2x+y-10=0的距离 .分析：根据点到直线的距离公式求解．
Ax0 By0 C A2 B2 .
思路2：三角形的面积公式 一般地，对于直线
l : A x B y C 0 ( A 0 , B 0 ) 外 一 点 P ( x 0 ,y 0 ) ,
过 点 P 作 P Q l , 垂 足 为 Q , 过 点 P 分 别 作 y 轴 , x 轴 的 平 行 线 ,
|P Q |(x 0 B 2 x 0 A 2 A B B y 0 2 A C ) 2 (y 0 A 2 y 0 A 2 A B B x 0 2 B C ) 2
A 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2B 2(A (x A 0 2 B B y 2 0 ) 2C )2
交 直 线 l于 点 Ｍ （ ｘ 0 ， ｙ 1 ） , Ｎ （ ｘ 1 ， ｙ 0 ） ． y
P(x0, y0 )
·
M (x0 , y1) Q
N ( x1, y0 )
O
x
l
.
由 A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 1 C 0 ,
y
得 x1ByA 0C,y1AxB 0C.
公式:
y
思路1：
直线 l的方程
P(x0, y0 )
垂线段法
直线 l的斜率
Q
O
l
l PQ
x
点P 的坐标 直线 P Q 的斜率
直线 l的方程
直线 P Q 的方程
交点
点 P 的坐标
点 Q的坐标
两点间距离公式
点 P , Q 之间的距离 P Q （ P 到l的距离） .
若直线不平行于坐标轴(即A ≠0且B≠0),由 AxByC0
.
|PQ|=|PMcos |
Py
1 Q
l 已知P(x0,y0),设M(x1,y1)
∵PM∥Oy，∴x1=x0 将M(x0,y1)代入l的方程得
M O
x
y1
Ax0 C B
PM y0y1
y0
Ax0 C B
Ax0 By0 C B
又 co 1sco s11 tg 21 1B A 2 2
B A 2B2
P(x0, y0 )
所 以 PNx1x0
Ax0By0C. A
M (x0 , y1)
Q
PMy1y0
Ax0By0C B
l
O
N ( x1, y0 ) x
PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知
P M P N
P Q
P M P N A x 0 B y 0 C .
M N
P M 2P N 2
A 2 B 2
o
p(x0,y0)
Q(x0,y1)
x
y
Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ y0-y1
.
x=x1
PQ x0 -x1
练一练
5
(1)点P(-1,2)到直线3x=2的距离是___3 ___.
4 (2)点P(-1,2)到直线3y=2的距离是___3 ___.
.
下面设A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离