点到直线的距离公式讲述
两条直线相交及点到直线的距离公式
作业
• 课本96页习题A组第5题 • 课本99页习题A组第1、3题
2、求经过两条直线x 3 y 3 0和3x 2 y 2 0的交点，且 （）与直线l1 : 3x 4 y 12 0平行的直线方程 1
（2）与直线l2 : x 5 y 6 0垂直的直线方程
3、求点p(1,2)到直线l : 2 x y 5 0的距离
两直线相交与 点到直线的距离公式
知识回顾
1、已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0、l2 : A2 x B2 y C2 0 那么l1与l2相交的交点坐标求解
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
算得x, y即得交点坐标(x, y)
4、已知点p (a, 1)到直线 x 2 y 8 0的距离 等于 5，求a的值
5、求平行直线l1 : 3x 4 y 12 0和l2 : 3 x 4 y 6 0 之间的距离
课堂小结
• 1、两条相交直线的交点的求法 • 2、点到直线的距离公式
课堂练习课本96页、9ຫໍສະໝຸດ 页 练习2、点到直线的距离公式
已知直线l : Ax By C 0, 直线外一点p( x0 , y0 )
设p到l的距离为d Ax0 By0 C A B
2 2
注：直线方程必须化为一般式才可用公式
例题讲解
1、求两条直线l1 : 2 x 3 y 7 0与l2 : 5 x 2 y 8 0 的交点坐标
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么 想要了解点到直线的距离公式的⼩伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“点到直线的距离公式是什么”，本⽂仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！ 点到直线的距离公式 点到直线的距离，即过这⼀点做⺫标直线的垂线，由这⼀点⾄垂⾜的距离。
设直线L的⽅程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为： 考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义 从直线外⼀点到这条直线的垂线段⻓度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系 点与直线只有两种位置关系：⼀种是点在直线上，⼀种是点在直线外。
点是最简单的形，是⼏何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
过⼀点可以画⼏条直线 直线由⽆数个点构成。
直线是⾯的组成成分，并继⽽组成体。
没有端点，向两端⽆限延⻓，⻓度⽆法度量。
经过⼀个点可以画⽆数条直线。
经过两个点可以画⼀条直线。
直线与线段和射线的区别 1、直线⽆端点，⻓度⽆限，向两⽅⽆限延伸。
2、射线只有⼀个端点，⻓度⽆限，向⼀⽅⽆限延伸。
3、线段有两个端点，⻓度有限。
点到直线的距离公式的推导过程
点到直线的距离公式的推导过程要推导点到直线的距离公式，我们先将直线表示为一个一般式方程：Ax + By + C = 0，其中A、B和C为常数。
现在设点P的坐标为(x0, y0)。
我们需要找到直线上距离点P最近的点Q，假设Q的坐标为(x1, y1)。
首先，我们知道点Q在直线上，所以满足直线的一般式方程，即：Ax1 + By1 + C = 0。
这个方程可以表示点Q所在的直线。
然后，我们知道点Q到点P的距离是最短的。
所以，向量PQ垂直于直线。
我们可以使用向量的内积来表示垂直关系。
根据向量的内积定义，垂直向量的点积为0，即向量PQ与直线的法向量垂直。
直线的法向量为向量(A, B)。
所以，向量PQ与直线法向量垂直，可以得到(PQ) · (A, B) = 0，展开为 (x1 - x0, y1 - y0) · (A, B) = 0。
进一步展开内积，我们有：(x1 - x0)A + (y1 - y0)B = 0。
因为点Q在直线上，满足直线方程 Ax1 + By1 + C = 0，所以可以将y1表示为 (-C - Ax1) / B。
将y1带入上述垂直条件的方程，我们可以得到：(x1 - x0)A + (-C - Ax1 - y0B) = 0。
展开方程，我们得到：(A^2 + B^2)x1 = Ax0 + By0 + C。
最后，将x1表示为 Ax0 + By0 + C / (A^2 + B^2)。
到目前为止，我们推导出直线上距离点P最近的点Q的x坐标。
接下来，我们可以使用Q的坐标(x1, y1)和P的坐标(x0, y0)，利用欧几里得距离公式求得点P到直线的距离。
点P到Q的距离可以表示为：d = √((x1 - x0)^2 + (y1 - y0)^2)。
将x1和y1带入，我们可以得到最终的点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)。
这就是点到直线的距离公式的推导过程。
点到直线的距离公式推导过程
点到直线的距离公式推导过程在解析几何中，我们经常遇到求点到直线的距离的问题。
本文将详细讲解点到直线的距离公式的推导过程。
设直线L的方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x0, y0)。
我们的目标是求点P到直线L的距离。
为了推导距离公式，我们可以构造直线L'与直线L垂直，并通过点P。
设直线L'的方程为Bx - Ay + D = 0，其中D为常数。
由直线L和L'垂直的条件可得：A *B + B * (-A) = 0化简得到：D = Ax0 + By0我们知道，直线L'与直线L平行，因此两条直线的法向量也平行。
直线L的法向量为(n1, n2)，直线L'的法向量为(n1', n2')。
我们可以通过法向量的关系求解直线L'的法向量。
由于直线L和L'平行，所以它们的法向量比例相等：n1 / n1' = n2 / n2'根据直线L的方程可得：A = n1,B = n2代入直线L'的方程可得：n1' = B, n2' = -A设点Q(x1, y1)为直线L与L'的交点。
根据直线L'的方程可得：Bx1 - Ay1 + D = 0因此：x1 = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * D) / (A^2 + B^2)y1 = (A^2 * y0 - A * B * x0 - B * D) / (A^2 + B^2)将上述结果代入点到直线的距离公式可得：distance = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)综上所述，我们成功推导出点到直线的距离公式。
通过求解直线L'的方程，找到与直线L垂直的直线L'的交点，然后利用该交点和点到直线的距离公式，我们可以方便地求解点到直线的距离。
点到直线的距离公式对于解析几何的问题具有重要的应用价值。
点到直线的距离 公式
点到直线的距离 公式
距离是指两点之间的长度，而直线是一条无限延伸的线段。
点到直线的距离是指从给定点到直线上最近的点的距离，这是一个常见的几何问题。
为了计算点到直线的距离，我们可以使用距离公式。
在平面几何中，点到直线的距离公式可以表示为：
d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)
其中，(x, y) 是表示给定点的坐标，A、B和C是表示直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数。
这个公式来源于向量的性质。
点到直线的距离等于从该点到垂直于直线的向量的长度。
在直线上任意选取一点，连接给定点与该点形成一向量，然后将该向量与直线的法向量进行垂直投影，即可得到垂线段。
垂线段的长度即为点到直线的距离。
通过使用距离公式，我们可以轻松地计算点到直线的距离。
首先，我们需要确定给定直线的一般方程 Ax + By + C = 0 的系数 A、B和C。
然后，将坐标 (x, y) 替换到公式中，根据公式计算得出点到直线的距离 d。
需要注意的是，如果 A^2 + B^2 的值为0，表示直线不存在，此时无法计算点到直线的距离。
点到直线的距离公式在数学和几何等领域具有广泛的应用。
它可以用于解决线性代数、计算几何和物理等问题。
无论是在学术研究还是实际应用中，点到直线的距离公式都是非常有用的工具。
它帮助我们理解和分析点和直线之间的关系，为解决各种几何问题提供了方便和准确的计算方法。
线段内部点和点到直线距离的计算规则
线段内部点和点到直线距离的计算规则一、线段内部点的定义：线段内部点是指在线段上的点，不包括线段的端点。
二、点到直线的距离计算规则：1.点到直线的距离是指从该点到直线上的垂线段的长度。
2.点到直线的距离计算公式为：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)，其中，A、B、C分别是直线Ax + By + C = 0的系数，(x1, y1)是点的坐标。
三、线段内部点到线段的距离计算规则：1.线段内部点到线段的距离是指从该点到线段上的垂线段的长度。
2.线段内部点到线段的距离计算公式为：d = |(x2 - x1)(y1 - y0) - (x1 -x0)(y2 - y1)| / √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)，其中，(x0, y0)是线段内部点的坐标，(x1, y1)和(x2, y2)是线段的两个端点的坐标。
四、点到直线距离的性质：1.点到直线的距离是唯一的。
2.点到直线的距离与直线的斜率无关。
3.点到直线的距离与点的坐标有关。
五、线段内部点到线段距离的性质：1.线段内部点到线段的距离是唯一的。
2.线段内部点到线段的距离与线段的两个端点的坐标有关。
3.线段内部点到线段的距离与线段的斜率无关。
六、应用举例：1.计算直线2x + 3y - 6 = 0上一点(3, 2)到直线的距离。
2.计算线段AB中点M(2, 3)到线段AB的距离，其中A(1, 2)，B(5, 6)。
线段内部点和点到直线距离的计算规则是几何学中的基本知识，掌握这些知识对于理解和解决几何问题具有重要意义。
通过对这些规则的理解和应用，可以更好地解决实际问题。
习题及方法：1.习题：计算直线2x + 3y - 6 = 0上一点(3, 2)到直线的距离。
答案：将点(3, 2)的坐标代入直线方程，得到23 + 32 - 6 = 0，计算得到12 + 6 - 6 = 12。
所以，点(3, 2)到直线的距离是12。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式要推导点到直线的距离公式，我们可以使用几何、向量和三角学的一些基本原理和定理。
下面是一种常见的推导方法：1.假设我们有一个点P(x1,y1)和一条直线L，直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A，B和C是常数。
2.从点P到直线L的距离可以通过连接点P和直线L上的一点Q(x,y)来计算。
3.通过类似几何的方式，我们可以将向量OP表示为点O(0,0)到点P(x1,y1)的向量，即OP=<x1,y1>。
4.同样地，我们可以将向量OQ表示为点O(0,0)到点Q(x,y)的向量，即OQ=<x,y>。
5.因为点Q在直线L上，所以我们可以用直线L的一般方程来表示点Q，即Ax+By+C=0。
由于Q(x,y)属于直线L，所以代入方程后等式成立。
6.因此，我们可以得出以下等式：Ax+By+C=0。
7.为了求得点Q，我们可以解这个等式组，即解联立方程组：Ax +By + C = 0和y = mx + n，其中m是直线的斜率，n是直线在y轴上的截距。
8.将y = mx + n代入Ax + By + C = 0，可以得到Ax + B(mx + n) + C = 0。
9.将等式进一步化简得到(A+Bm)x+(Bn+C)=0。
10.由于点Q在直线L上，所以该等式要成立。
根据向量的性质，即两个向量相等当且仅当它们的相应分量相等，我们可以得出以下等式组：(A+Bm)x=-(Bn+C)11.由于x≠0，我们可以除以x，得到(A+Bm)/x=-(Bn+C)/x。
12.记d为点P到直线L的距离，根据点到直线的定义，点P到直线L的距离是点P到其在直线L上的垂直距离。
13.根据三角形的性质，我们可以得到sinθ = d/，OP，其中θ是向量OP与向量OQ之间的夹角。
14.因为OP = <x1, y1>和OQ = <x, y>，所以可以得出，OP， =sqrt(x1^2 + y1^2)，OQ， = sqrt(x^2 + y^2)。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式在解析几何中，点到直线的距离是一个重要的概念。
点到直线的距离公式可通过不同的方法进行推导，下面将介绍十二种常见的方法。
方法一：利用向量法设直线上一点为A，直线上一点到点的向量为向量a，直线上一点到点的向量的单位向量为向量u，则点到直线的距离d等于向量a与向量u的叉乘的模长除以向量u的模长。
方法二：利用几何推理法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点到直线的长度沿着法向量方向的投影长度。
方法三：利用几何推理法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，则点到直线的距离d等于点A到点的函数值与点的坐标之间的差的绝对值除以根号下1+k^2方法四：利用向量运算法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于向量PA与向量u的向量积PA*u的模长除以u的模长。
方法五：利用面积法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A、B、C构成的三角形的面积除以AB的长度。
方法六：利用面积法二设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线方程Ax+By+C=0的距离。
方法七：利用斜率法一设直线上已知点为A，直线的斜率为k，直线的截距为b，点的坐标为(x0, y0)，点到直线的距离d等于点到直线ax - y + b = 0的距离，其中a=-1/k。
方法八：利用斜率法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，斜率的倒数为k'，直线的截距为b，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线y-k'x-b=0的距离。
方法九：利用格拉姆公式法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A到(AP-PB)与u的向量积的模长除以u的模长，其中P为直线上任意一点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
＝ 15 . 4
小Байду номын сангаас：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
26
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0
(提示：Ｍ(
9 4
,0),N(0,
3
2 ),
MN
3
13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
M
P(2,2)到直线MN的距离d=
11 2 13
,
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 ❖ A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作y轴的平行线,交l与点S x0, y2
Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d Q
x1
By0 C A
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
3.3.2点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D）
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26