关于完备格成分理论中两个问题的探讨

第28卷 第4期陕西师范大学学报(自然科学版)Vol.28 No.4 2000年12月Journal of Shaanx i Nor mal University(Natural Science Edition)Dec.2000文章编号:1001 3857(2000)04 0010 05关于完备格成分理论中两个问题的探讨裴道武(陕西师范大学数学系,陕西西安710062)摘 要:研究了完备格成分理论中两个尚未解决的问题:()在非分配的完备格中,有限宽元素的成分也是有限宽的吗?(!)什么样的映射能保持颗粒表示性质或颗粒性质?通过构造反例证明了在非分配的完备格中,有限宽元素的成分不必是有限宽的;还证明了完备格间的同构映射能保持颗粒表示性质和颗粒性质,通过反例证明了同构映射的条件不能减弱,从而解决了以上两上问题.关键词:完备格;成分;颗粒格;颗粒表示格;同构中图分类号:O153 1 文献标识码:A为了在拓扑学和代数学之间建立进一步的联系,王国俊教授在完备格中引入了成分理论,并证明了拓扑空间是局部连通的充分必要条件是其开集格为颗粒表示格[1,2].文献[1]还提出了一些值得研究的问题,其中的两个问题是:问题1 在非分配的完备格中,有限宽元素的成分也是有限宽的吗?问题2 什么样的映射能保持颗粒表示性质或颗粒性质?本文对这两个问题展开讨论.在引入一些必要的预备知识后,将通过构造反例证明在非分配的完备格中,有限宽元素的成分不必是有限宽的,并证明完备格间的同构映射能保持颗粒表示性质和颗粒性质,进一步通过反例证明同构映射的条件不能减弱,从而解决了以上两个问题.1 预备知识本文使用的概念和记号见文献[1,2,3].定义1[1,2] 设L是完备格,a,b∀L.()若c∀L,使得b#c=a,b∃c=0,则称a宽于b,记作a(W)b;(!)若b%a,且!x∀L,当b%x%a时,总有x(W)b,则称b是a的一个成分.a的全体成分之集记为comp(a);(&)若|comp(a)|<∋,则称a是有限宽的.定义2[1,2] 设L是完备格,a∀L.()若comp(a)={0,a},且a(0,则称a是L的一个颗粒.L的全体颗粒之集记为G(L);收稿日期:2000 06 15作者简介:裴道武(1956 ),男,江苏阜宁人,陕西师范大学博士研究生,副教授(!)若L 的每个非零元都有颗粒成分,则称L 是颗粒格;(&)若L 的每个非零元都可以表示为它的所有颗粒成分之并,则称L 为颗粒表示格.明显地,0,a ∀comp (a),且a =#com p (a).命题1[1,2] 设L 是完备的分配格,a,b,c ∀L ,则( )b ∀comp (a)当且仅当a(W )b ;(!)b ∀comp (a)当且仅当存在惟一的b ),s.t.b #b )=a,b ∃b )=0;(&)当b ∀comp (a),且c ∀comp (b)时,c ∀com p (a).文献[1,2]已指出,对于命题1中的( ~&),L 是分配格的条件是不可少的.命题2[1,2] 设L 是完备的分配格,a ∀L .若a 是有限宽的,则!b ∀comp (a),b 也是有限宽的.注1 若L 不是分配格,命题2还成立吗?这就是尚未解决的问题1,我们将在下一节通过例子予以回答.命题3[1,2] 设A ={m /2n |m =0,1,∗;n =1,2,∗},U 为(0,1)上的通常拓扑,V 是U 在X =(0,1)\A 上的限制,则V 关于∀是完备格,且是无颗粒格.注2 文献[1]中对于问题2,即,什么样的映射能保持颗粒表示性质或较弱的颗粒性质,指出frame 态射(即保任意并和有限交的映射)不保持颗粒(表示)性质(见下一节的例5).下面将进一步讨论这个问题.2 主要结果命题4 任何非平凡完备链L 既是颗粒格,又是颗粒表示格.事实上,非平凡完备链中的任何非零元都是颗粒.命题5 任何非平凡有限格均存在颗粒.图1 非颗粒表示格的有限颗粒格Fig.1 A non granule representablefinite gr anule lattice 事实上,在非平凡有限格中,任何覆盖最小元0的元都是颗粒.命题6 存在有限格L ,使得L 是颗粒格,但L 不是颗粒表示格.证明 设L 由图1给出,则L 是颗粒格,但L 不是颗粒表示格.现在对于上一节提出的两个问题进行详细的讨论.定理1 非分配的完备格中的有限宽元素的成分不必是有限宽的.证明 设格L 由图2给出.可以验证,L 是完备格,但不是分配格,且com p (1)={0,a,b,c,d ,1},从而1是有限宽的.但是作为1的成分,a 不是有限宽的.因为com p (a)={0,c,a ,x 1,y 1,x 2,y 2,∗}.这样就解决了上一节提出的问题1.下面讨论有关颗粒格及颗粒表示格的映射性质问题.定理2 设f 是完备格L 1与L 2间的同构映射,即f 满足以下四个性质:(P1)f 是单射;(P2)f 是满射;(P3)f 保序;(P4)f -1保序.第4期裴道武:关于完备格成分理论中两个问题的探讨11图2 非分配的完备格Fig.2 A non distributive complete lat tice 那么( )a 0∀com p (a )当且仅当f (a 0)∀comp (f (a));(!)a ∀G (L 1)当且仅当f (a)∀G (L 2);(&)L 1是颗粒格当且仅当L 2是颗粒格;(+)L 1是颗粒表示格当且仅当L 2是颗粒表示格.进一步,条件(P1)~(P4)对于以上结论的成立都是不可少的.证明 由f 是同构映射可知,对于( ~+),只需证明必要性.以下设b =f (a),b 0=f (a 0).( )设a 0∀comp (a),由(P3)知,b 0% b.对于任何b 1∀L 2,当b 0%b 1%b 时,记a 1=f -1(b 1),则有a 0%a 1%a.由a 0∀comp (a )知,a 1(W )a 0,即 a 2∀L 1,使得a 0#a 2=a 1,a 0∃a 2=0.记b 2=f (a 2),则有 b 0#b 2=f (a 0)#f (a 2)=f (a 1),b 0∃b 2=f (a 0)∃f (a 2)=f (0)=0.这表明b 1(W )b 0,从而b 0∀comp (b).(!)设a ∀G (L 1),则a (0,comp (a )={a,0}.若b =f (a)#G (L 2),由于b (0,故 b 0∀L 2,使得0<b 0<b,且b 0∀comp (b ).记a 0=f -1(b 0),由已证的( )可知,a 0∀comp (a ),且0<a 0<a.这是不可能的.(&)设L 1是颗粒格,b 是L 2的任一个非零元.下面证明comp (b),G (L 2)(∃即可.事实上,a =f -1(b )是L 1中的非零元.由L 1是颗粒格知, a 0∀comp (a ),G (L 1),记b 0=f (a 0).由a 0∀comp (a)及已证的( )知,b 0∀comp (b).又由a 0∀G (L 1)及已证的(!)知,b 0∀G (L 2).因此,b 0∀comp (b ),G (L 2).(+)设L 1是颗粒表示格,!b ∀L 2,b (0,则有a =f-1(b)∀L 1,a (0.由假设知,a =#{x |x ∀G (L 1),comp (a)},从而b =f (a)=#{f (x )|x ∀G (L 1),comp (a)}.由已证的( ),(!)知,G (L 2),comp (b)={f (x )|x ∀G (L 1),com p (a)}.于是b =#{y |y ∀G (L 2),comp (b )}.由b 的任意性知,L 2是颗粒表示格.最后,为了完成定理的证明,给出几个例子表明定理2中的条件(P1)~(P4)缺一不可.例1(舍去(P1),自然地,也无(P4)) L 1和L 2由图3给出.映射f :L 1−L 2定义为f (0)=0,f (1)=1,f (a)=f (b)= c.12 陕西师范大学学报(自然科学版)第28卷图3 具有不同成分性质的格Fig.3 Lattices with different component pro perties 显然,f 满足(P2)和(P3),但不满足(P1).而a ,b ∀com p (1),c =f (a)#comp (1);1#G (L 1),1∀G (L 2).此例表明,若f 不是单射,则定理2中的( ),(!)不再成立.例2(舍去(P2),自然地,也无(P4))L 1和L 2仍由图3给出.作映射g :L 2−L 1如下:g (0)=0, g (1)=1, g(c)= a.显然,g 满足(P1)和)P3),但不满足(P2).由例1知,定理2中的( ),(!)亦不成立.例3(舍去(P3)) L 3和L 1由图3给出.作映射f :L 3−L 1如下:f (0)=0, f (1)=1, f (d )=a , f (e)=b.则f 满足(P1),(P2)和(P4),但不满足(P3).易证d #comp (1),a =f (d )∀comp (1); 1∀G (L 3),1#G (L 1).因此,定理2中的( ),(!)仍不成立.例4(舍去(P4)) L 1和L 3仍由图3给出.作映射g =f -1.则g 满足(P1),(P2)和(P3),但不满足(P4).由例3知,定理2中的( ),(!)均不成立.值得注意的是,图3中的L 1,L 2和L 3均是颗粒表示格.以下通过例子表明,舍去(P1)~图4 具有不同颗粒性质的格F ig.4 L attices w ith different granule proper ties (P4)中的任意一个,定理2中的(&),(+)也不成立.例5[1](舍去(P1)) 设L 是(0,1)上通常拓扑的开集格,因而是颗粒表示格,M 是由命题3给出的完备格.映射f 定义为f :L −M ,f (u )=u ,X ,u ∀L ,则f 满足(P2),(P3),但不满足(P1).由命题3知,M 是无颗粒格.因此,如果f 不满足(P1),那么定理2中的(&),(+)不再成立.例6(舍去(P2)) 设L 1是例5中的子格{L ,∃},则L 1关于∀是完备格,且是颗粒表示格.再取g =f |L 1:L 1−M ,则g 满足(P1),(P3),但不满足(P2).由例5知,M 是无颗粒格.因此,当舍去条件(P2)时,定理2中的(&),(+)不再成立.例7(舍去(P3)) 设L 1和L 2由图4给出.根据命题4可得,L 1是颗粒格,且是颗粒表示格.但可以验证L 2是无颗粒格.作映射f :L 1−L 2如下:f (0)=0, f (1)=1, f (a i )=b i , i ∀N .则f 满足(P1),(P2)和(P4),但不满足(P3).因此,如果舍去(P3),则定理2中的(&),(+)不 第4期裴道武:关于完备格成分理论中两个问题的探讨13再成立.例8(舍去(P4)) 设L 1和L 2仍由图4给出.作映射g =f -1,则g 满足(P1),(P2)和(P3),但不满足(P4).由例7知,定理2中的(&),(+)不再成立.这样,我们就完全回答了问题2.参考文献:[1]Wang G J.T heor y of compo nents in g ranular lattices[C].Proc of I nternat Symp.on Domain T heory,1999,105~106.[2]Wang G J.T heor y of Granular lattices and its applications[J].Comput M ath Appl,2000,39:1~9.[3]Bir khoff G.L attice theor y.T hir d edition[M].N ew Yor k:Amer M at h Soc Colloq Publ,1967..责任编辑 张惠民/Solutions to two problems in componenttheory of complete latticesPEI Dao wu(Departm ent of M athem atics,Shaanxi Normal University,710062Xi )an,Shaanxi,China)Abstract :The following tw o open problems in the com ponent theory of complete lattices are studied:(1)In a non distributive com plete lattice,is it true that any com ponent of an element w ith finite w idth is also finite wide?(2)What functions between complete lattices can preserve the granule representable property or granule property ?T hrough constructing a counterexam ple it is showed that there is a non distributive com plete lattice in which a component of some element with finite w idth is not finite w ide.Furthermore,it is showed that an isomorphism betw een complete lattices can preserve the g ranule representable property and granule property ,and counterex amples are g iven to show that the condition of isomorphism can not be weakened.So the tw o open problems list above are completely solved.Key words:complete lattice;component;granular lattice;g ranule representable lattice;isomorphism 14 陕西师范大学学报(自然科学版)第28卷。