2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷及答案(理科)
绵阳市2017届高三第三次诊断性考试数学精彩试题(理)含问题详解
市高中2014级第三次诊断性考试数学〔理工类〕第1卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每一小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，如此=)(B C A U ( )A ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． 〔0,1〕2. i 是虚数单位，如此=+ii12 ( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，如此当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( ) A ．1514 B 151． C. 53 D ．214. 等比数列}{n a 的各项均为正数，且4221=+a a ，73244a a a =，如此=5a ( )A ．161 B ．81C. 20D. 40 5. 正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且BM BC 3=，N 为DC 的中点，如此=•BN AM ( )A ．-6B ．12 C.6 D ．-126. 在如下列图的程序框图中，假如函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-),0(2),0)((log )(21x x x x f x如此输出的结果是( )A ．16B ．8 C.162 D ．827. 函数)cos(4)(ϕω+=x x f )0,0(πϕω<<>为奇函数，)0,(a A ，)0,(b B 是其图像上两点，假如b a -的最小值是1，如此=)61(f ( )A ．2B ． -2 C.23 D ．23-8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵〞的记载，“堑堵〞“堑堵〞被一个平面截去一局部后，剩下局部的三视图如下列图，如此剩下局部的体积是 ( )A ．50B ．759. 函数x m x m x f sin )2(2cos 21)(-+=，其中21≤≤m .假如函数)(x f 的最大值记为)(m g ，如此)(m g 的最小值为( )A ．41-B ．1 C.33- D ．13- F 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.O 为坐标原点，D 为C 上一点，x DF ⊥A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ,直线BE 与y 轴交于点N ，假如ON OM 23=，如此双曲线C 的离心率为〔 ) A ．3 B ．4 C.5 D ．611. 三棱锥ABC P -中，PA ，PB ，PC 互相垂直，1==PB PA ，M 是线段BC 上一动点，假如直线AM 与平面PBC 所成角的正切的最大值是26，如此三棱锥ABC P -的外接球外表积是( )A ．π2B ．π4 C. π8 D ．π1612. 函数3ln 2)(2+-=ax x x f ，假如存在实数]5,1[,∈n m 满足2≥-m n 时，)()(n f m f =成立，如此实数a 的最大值为( )A ．83ln 5ln - B ．43ln C. 83ln 5ln + D ．34ln 第2卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分为20分，将答案填在答题纸上〕yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥,5,02,0yxyxy，如此yx2+的最小值是．M的直线：021=-+-kykx与圆：9)5()1(22=-++yx相切于点N，如此=MN．nyxx)2(2-+的展开式中各项系数的和为32，如此展开式中25yx的系数为．〔用数字作答〕}{na的前n项和为nS，假如2a，5a，11a成等比数列，且)(211nmSSa-=),,0(*∈>>Nnmnm，如此nm+的值是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 在ABC∆中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acbca3)(22+=+. 〔Ⅰ〕求角B的大小；〔Ⅱ〕假如2=b，且AACB2sin2)sin(sin=-+，求ABC∆的面积.“年轻人〞〔20岁~39岁〕和“非年轻人〞〔19岁与以下或者40岁与以上〕两类，将一周使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户〞，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户〞.在“经常使用单车用户〞中有65是“年轻人〞.〔Ⅰ〕现对该市市民进展“经常使用共享单车与年龄关系〞的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全如下22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用单车用户120不常使用单车用户80合计 160 40 200〔Ⅱ〕将频率视为概率，假如从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人〞人数为随机变量X ，求X 的分布与期望. 〔参考数据：独立性检验界值表)(02k K P ≥0k其中，))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，d c b a n +++=〕19. 矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中1=AF ，2=AD ，3π=∠ADC ，点N 是线段AD的中点.〔Ⅰ〕试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ？假如存在，请证明//AF 平面MNC ，并求出MEBM的值；假如不存在，请说明理由；〔Ⅱ〕求二面角D CE N --的正弦值.)0,2(-E ，点P 是圆F ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段EP 的垂直平分线交FP 于点M ，点M 的轨迹记为曲线C . 〔Ⅰ〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕过F 的直线交曲线C 于不同的A ，B 两点,交y 轴于点N ，AF m NA =，BF n NB =，求n m +的值.21. 函数4ln )(-+=x x x p ，)()(R a axe x q x∈=.〔Ⅰ〕假如e a =，设)()()(x q x p x f -=，试证明)(x f '存在唯一零点)1,0(0ex ∈，并求)(x f 的最大值；〔Ⅱ〕假如关于x 的不等式)()(x q x p <的解集中有且只有两个整数，数a 的取值围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=ααsin 3,cos 31y x 〔α为参数〕.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1=ρ.〔Ⅰ〕分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕假如射线l 的极坐标方程)0(3≥=ρπθ，且l 分别交曲线1C 、2C 于A 、B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲函数633)(-+-=x a x x f ，12)(+-=x x g . 〔Ⅰ〕1=a 时，解不等式8)(≥x f ；〔Ⅱ〕假如对任意R x ∈1都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，数a 的取值围.市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答与评分标准一、选择题1-5: CDABA 6-10: ABDDC 11、12：BB二、填空题13. 0 14. 4 15.120 16. 9三、解答题17.解：〔Ⅰ〕 把ac b c a 3)(22+=+整理得，ac b c a =-+222,由余弦定理有acb c a B 2cos 222-+=212==ac ac , ∴3π=B .〔Ⅱ〕ABC ∆中，π=++C B A ，即)(C A B +-=π，故)sin(sin C A B +=， 由A A C B 2sin 2)sin(sin =-+可得A A C C A s 2sin 2)sin()sin(=-++, ∴++C A C A sin cos cos sin A C A C sin cos cos sin -A A cos sin 4=,整理得A A C A cos sin 2sin cos =. 假如0cos =A ，如此2π=A ，于是由2=b ，可得332tan 2==B c ， 此时ABC ∆的面积为33221==bc S . 假如0cos ≠A ，如此A C sin 2sin =， 由正弦定理可知，a c 2=，代入ac b c a =-+222整理可得432=a ，解得332=a ，进而334=c ，此时ABC ∆的面积332sin 21==B ac S . ∴综上所述，ABC ∆的面为332. 18.解：〔Ⅰ〕补全的列联表如下：于是100=a ，20=b ，60=c ，20=d ，∴4016080120)206020100(20022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 072.2083.2>≈， 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人〞占样本总数的频率为%10%10020020=⨯，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人〞的概率为0.1， ∵)1.0,3(~B X ,,3,2,1,0=X∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，001.01.0)3(3===X P ， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望3.01.03)(=⨯=X E .19.解：〔Ⅰ〕作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点.证明：连接PN ，∵N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴AF PN //，又⊂PN 平面MNC ，⊄AF 平面MNC ， ∴直线//AF 平面MNC . ∵AD PE //，BC AD //， ∴BC PE //， ∴2==PEBCME BM . 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知AD PN ⊥，又面⊥ADEF 面ABCD ，面 ADEF 面AD ABCD =，⊂PN 面ADEF ， 所以⊥PN 面ABCD . 故AD PN ⊥，NC PN ⊥.以N 为空间原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz N -， ∵3π=∠ADC ，2==DC AD ，∴ADC ∆为正三角形，3=NC ，∴)0,0,0(N ，)0,0,3(C ，)0,1,0(D ，)1,1,0(E ，∴)1,1,0(=NE ，)0,0,3(=NC ，)1,0,0(=DE ，)0,1,3(-=DC ，设平面NEC 的一个法向量),,(1z y x n =，如此由01=•n ，01=•n 可得⎩⎨⎧==+,03,0x z y 令1=y ，如此)1,1,0(1-=n . 设平面CDE 的一个法向量),,(1112z y x n =，如此由02=•n ，02=•n 可得⎩⎨⎧=-=,03,0111y x z 令11=x ，如此)0,3,1(2=n .如此46223,cos 212121==•=n n n n n n ， 设二面角D CE N --的平面角为θ，如此410)46(1sin 2=-=θ， ∴二面角D CE N --的正弦值为410. 20.解：〔Ⅰ〕由题意知，MP MF ME =+46=>==+EF r MF ，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为3=a ，短半轴长为52322=-=b ，∴曲线C 的方程为：15922=+y x . 〔Ⅱ〕由题意知)0,2(F ，假如直线AB 恰好过原点，如此)0,3(-A ，)0,3(B ，)0,0(N ， ∴)0,3(-=NA ，)0,5(=AF ，如此53-=m ， )0,3(=，)0,1(-=，如此3-=n ，∴518-=+n m . 假如直线AB 不过原点，设直线AB ：2+=ty x ，0≠t ，),2(11y ty A +，),2(22y ty B +，)2,0(tN -.如此,2(1+=ty NA )21t y +，),(11y ty AF --=，,2(2+=ty NB )22ty +，),(22y ty BF --=，由m =，得)(211y m t y -=+，从而121ty m --=； 由n =，得)(222y n t y -=+，从而221ty n --=；故=+n m 121ty --)21(2ty --+)11(2221y y t +--=212122y y y y t +⨯--=. 联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,159,222y x ty x 整理得02520)95(22=-++ty y t ， ∴9520221+=+t t y y ，9525221+=t y y ， ∴=+n m 212122y y y y t +⨯--518582252022-=--=⨯--=t t . 综上所述，518-=+n m . 21.〔Ⅰ〕证明：由题意知x exe x x x f --+=4ln )(，于是=+-+='xe x e x xf )1(11)(xexe x e x e x x x x )1)(1()1(1-+=+-+令x exe x -=1)(μ，)0(0)1()(><+-='x e x e x x μ， ∴)(x μ在)0(∞+上单调递减.又01)0(>=μ，01)1(1<-=e e eμ，所以存在)1,0(0ex ∈，使得0)(0=x μ， 综上)(x f 存在唯一零点)1,0(0ex ∈.解：当),0(0x x ∈，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在),0(0x 单调递增； 当),(0+∞∈x x ，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在),(0+∞x 单调递减； 故00000max 4ln )()(xe ex x x xf x f --+==， 又01)(000=-=x eex x μ，001x x e e =，00ln 11ln 0x ex x --==， 故)ln 1(ln )(00max x x x f --+=615140-=--=•--ex ex . 〔Ⅱ〕解：)()(x q x p >等价于xaxe x x >-+4ln .x axe x x >-+4ln x x xe x x xe x x a 4ln 4ln -+=-+<⇔， 令x xe x x x h 4ln )(-+=，如此x ex x x x x h 2)5)(ln 1()(-++='， 令5ln )(-+=x x x ϕ，如此011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在),0(+∞上单调递增. 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴存在),0(t t ∈，使得0)(=t ϕ.∴当),0(t x ∈，)(0)(0)(x h x h x ⇒>'⇒<ϕ在),0(t 单调递增；当),(+∞∈t x ，)(0)(0)(x h x h x ⇒<'⇒>ϕ在),(+∞t 单调递减. ∵03)1(<-=e h ，0222ln )2(2<-=eh ，0313ln )3(3>-=e h ， 且当3>x 时，0)(>x h ， 又e h 3)1(=，>-=222ln 2)2(e h 3313ln )3(e h -=，44ln 2)4(e h =， 故要使不等式)()(x q x p >解集中有且只有两个整数，a 的取值围应为≤≤-a e 3313ln 222ln 2e-. 22.解：〔Ⅰ〕将1C 参数方程化为普通方程为3)1(22=+-y x ，即02222=--+x y x ， ∴1C 的极坐标方程为02cos 22=--θρρ.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为122=+y x . 〔Ⅱ〕将3πθ=代入1C ：02cos 22=--θρρ整理得022=--ρρ， 解得21=ρ，即21==ρOA .∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆， ∴射线)0(3≥=ρπθ与2C 相交，即12=ρ，即12==ρOB . 故11221=-=-=ρρAB .23.解：〔Ⅰ〕当31≤x 时，x x f 67)(-=，由8)(≥x f 解得61-≤x ，综合得61-≤x ，当231<<x 时，5)(=x f ，显然8)(≥x f 不成立， 当2≥x 时，76)(-=x x f ，由8)(≥x f 解得25≥x ，综合得25≥x ， 所以8)(≥x f 的解集是),25[]61,(+∞--∞ . 〔Ⅱ〕633)(-+-=x a x x f a x a x -=---≥6)63()3(， 112)(≥+-=x x g ， ∴根据题意16≥-a ，解得7≥a ，或5≤a .。
2017届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2017届四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学（理）试题一、选择题1．已知全集，，，则 ( )A. B. C. D. （0,1）【答案】C【解析】由题意得，集合，，所以，所以，故选C.2．已知是虚数单位，则 ( )A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】由题意得，故选D.3．某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，看见不是黄灯的时间为秒，所以不是黄灯的概率为，故选A.4．等比数列的各项均为正数，且，，则 ( )A. B. C. 20 D. 40【答案】B【解析】设等比数列的公比为，由，则，所以，又因为数列的各项均为正数，所以，又因为，所以，解得，所以，故选B.5．已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则 ( )A. -6B. 12C. 6D. -12【答案】A【解析】由题意得，建立如图所示的直角坐标系，因为为的中点，则，所以，所以，故选A.6．在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是( )A. 16B. 8C.D.【答案】A【解析】由题意得，当时，第1次循环得：，，第2次循环：，，第3次循环：，，第4次循环：，，故选A.7．已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则 ( )A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】由题意得为奇函数，所以，所以，所以，又，是其图像上两点，若的最小值是，所以，解得，所以，所以，即，所以，故选B.8．已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】由题意得设，即，所以二次函数开口向下，对称轴为，所以函数的最大值为，因为，所以，所以的最小值为.9．已知是双曲线：的右焦点，，分别为的左、右顶点. 为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】由题意得，因为轴，设，则在中，，所以，又中，，所以，又由，即，解得，所以.10．三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，过点作，连接，则为直线与平面所成最大角，设，则中，，所以，解得，此时可把该三棱锥补成一个长方体，所以长方体的对角线长等于球的直径，即，所以球的表面积为，故选B.点睛：本题主要考查了的直线与平面所成的角的应用和组合体的性质等知识点，解答此类问题的关键在于正确作出几何体的结构图，找到线面角的最大值，确定的长，进而利用组合体得到球的直径，计算球的表面积.11．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，定义域为，则，当时，恒成立，不符合要求，当时，由，得，因为存在时，成立，所以，此时在上递增，在单调递减，由于，①当，即是，只需，即，所以；②当，即时，只需，即，所以综上所述，所以实数的最大值为.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，解答的关键在于正确的理解题设条件，转化为函数的单调性与极值（最值）的应用，其中根据值之间的关系是解答本题的难点.二、填空题12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是 ( )A. 50B. 75C. 25.5D. 37.5【答案】D【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为，故选D.13．若实数满足则的最小值是__________．【答案】2【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设，则，当直线过原点时，目标函数取得最小值，此时最小值为.14．过定点的直线：与圆：相切于点，则________．【答案】4【解析】由直线，即，直线经过点，又圆，则圆心坐标，半径为所以，所以.15．已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为__________．（用数字作答）【答案】120【解析】由题意得，令，则，解得，即展开式的通项为，令，则，又二项式的展开式中项为，所以展开式中的系数为.点睛：本题主要二项展开式的通项的应用，本题解答的关键在于把三项式转化为二项式，再利用二项式的展开式的通项，找到的系数，其中合理转化为二项式问题时解答的难点.16．设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是__________．【答案】9【解析】由题意得，因为成等比数列，得，即，解得，又，所以，整理得，因为且为整数，所以且，所以点睛：本题主要考查了等差、等比数列的通项公式以及数列的求和问题，其中利用题设条件，利用等差数列的求和公式得出是解答的关键，再根据且为整数进行整体赋值和代换是解答的难点.三、解答题17．在中，，，分别是内角，，的对边，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理有，即可得到.（Ⅱ）在中，利用两角和与差的三角函数，得到，再由正弦定理，得，即可求得，进而，利用三角形的面积公式求解三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）把整理得，,由余弦定理有,∴.（Ⅱ）中，，即，故，由已知可得,∴,整理得.若，则，于是由，可得，此时的面积为.若，则，由正弦定理可知，，代入整理可得，解得，进而，此时的面积.∴综上所述，的面为.18．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望.（参考数据：其中，，）【答案】（1）有85%的把握（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.于是，，，，∴，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵,∴，，∴的分布列为∴的数学期望.19．已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，得，进而得到直线平面，利用平行线的性质.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，进而得到面，得到，，以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的大小.试题分析：（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.证明：连接，∵是的中点，是的中点，∴，又平面，平面，∴直线平面.∵，，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又面面，面面，面，所以面.故，.以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∵，，∴为正三角形，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，则由，可得令，则.设平面的一个法向量，则由，可得令，则.则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为.20．已知点，点是椭圆：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，，利用椭圆的定义，即可得到椭圆的标准方程.（Ⅱ）由题意知，当直线恰好过原点，可求得.当直线不过原点，设直线：，得到，联立方程组，利用根与系数的关系和韦达定理，得到.试题解析：（Ⅰ）由题意知，，故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，∴曲线的方程为：.（Ⅱ）由题意知，若直线恰好过原点，则，，，∴，，则，，，则，∴.若直线不过原点，设直线：，，，，.则，，，，由，得，从而；由，得，从而；故.联立方程组得：整理得，∴，，∴.综上所述，.21．函数，.（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，求得，令，，进而判定出函数的单调性，求得函数的最大值.（Ⅱ）由题意等价于，令，求得，令，则，即在上单调递增，求得，，的值，进而得到实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知，于是令，，∴在上单调递减.又，，所以存在，使得，综上存在唯一零点.解：当，，于是，在单调递增；当，，于是，在单调递减；故，又，，，故.（Ⅱ）解：等价于.，令，则，令，则，即在上单调递增.又，，∴存在，使得.∴当，在单调递增；当，在单调递减.∵，，，且当时，，又，，，故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，进而得到的极坐标方程，再得极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入解得，即，进而得到，即可求得的值.试题解析：（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，∴的极坐标方程为.将极坐标方程化为直角坐标方程为.（Ⅱ）将代入：整理得，解得，即.∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线与相交，即，即.故.23．选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）时，解不等式；（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2），或.【解析】试题分析：（Ⅰ）去掉绝对值号，分类讨论，解求解不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值不等式得，，得，即可求解实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，当时，，显然不成立，当时，，由解得，综合得，所以的解集是.（Ⅱ），，∴根据题意，解得，或.。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R xC ．01,2≤+-∈∀x x R xD ．01,0200≤+-∈∃x x R x【答案】D【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D. 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：1)21(<x ，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元【答案】B【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ）A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位D ．12π个单位 【答案】A【解析】试题分析：因为()sin 222sin(2)3f x x x x π=+=+，所以可将x y 2sin 2=的图象向左平移3=26ππ，选A.考点：三角函数图像变换【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝k π(k∈Z)；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k∈Z)；函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k∈Z). 8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =【答案】D9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ）A ．7B ．87 C ．45 D ．14 【答案】A【解析】 试题分析：23412345113111111(),()2(),(2)2()1,2()2,2()4,242222222a f a f f a f f a f a f ======+======，所以3451247a a a ++=++=，选A.考点：函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系10.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1【答案】C考点：余弦定理11.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，n =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56B ．512C ．524D ．548【答案】C【解析】 试题分析：232555AP AC DP DA DC =⇒=+,设DP xDM yDN =+,则1x y +=，又DP mxDA ynDC =+,所以3232,15555mx ny m n ==⇒+=，因此3219412423(23)()(12)(1255555n m m n m n m n m n +=++=++≥+=，当且仅当23m n =时取等号，选C. 考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【答案】A二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件-3与垂直，则=x .【答案】1【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒=考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13考点：等差数列15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .【答案】e【解析】 试题分析：2(1ln )()a x f x x -'=，所以244(12)1()1a f e a e e-'==-⇒=，因此)(x f 的极值点是1ln 0,x x e -== 考点：导数几何意义，函数极值【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =【解析】试题分析：由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5t x t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5t x x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t t t t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t = 考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+考点：求三角函数解析式，给值求值【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）12-=n n a （2）)643[∞+， 【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥n n 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n n n n n n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ． 试题解析：(1)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ，两式相减得122--=n n n a a a ，化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值【方法点睛】给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心.（1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.【答案】（1（2）552sin =B 【解析】考点：向量投影，正弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k(2)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得x x k sin <．…………7分 令x x x h sin )(=，则2sin cos )(xx x x x h -='， 令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴g(x)在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分 ∴0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xx x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a．（2）m ≥e 3．②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='xme x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e ， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得11a -<<．…………10分考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。
四川省绵阳市届高三第一次诊断性考试理数试题及答案超清
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题;每小题5分;共60分.在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=xxA;}05|{2<-∈=xxZxB;则=BAA．}2,1{B．}3,2{C．}3,2,1{D．}4,3,2{2.已知命题p：01,2>+-∈∀xxRx;则p⌝为A．1,2>+-∉∀xxRx B．01,2≤+-∉∃xxRxC．1,2≤+-∈∀xxRx D．01,2≤+-∈∃xxRx3.九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专着;书中有如下问题：今有女子善织;日增等尺;七日织二十八尺;第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺;则第九日所织尺数为A．8 B．9 C．10 D．114.若实数yx，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-1yyxyx;则yxz+=2的最大值为A．0B．1C．2D．235.设命题p：1)21(<x;命题q：1ln<x;则p是q成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间;绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物;他有三张商场的优惠券;商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价;三张优惠券的优惠方式不同;具体如下：优惠券A：若商品标价超过100元;则付款时减免标价的10%；优惠券B：若商品标价超过200元;则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元;则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ;并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多;则他购买的商品的标价应高于A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象;可将x y 2sin 2=的图象向左平移A ．6π个单位B ．3π个单位C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+;βθ2sin 22sin =;则 A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos = C ．02cos 22cos =+αβ D ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+;当)1,0[∈x 时;x x x f +-=2)(;设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈;则=++543a a aA ．7B ．87C ．45D ．1410.在ABC ∆中;81cos =A ;4=AB ;2=AC ;则A ∠的角平分线D A 的长为A ．22B ．32C ．2D ．111.如图;矩形ABCD 中;2=AB ;1=AD ;P 是对角线AC 上一点;25AP AC =;过点P 的直线分别交DA 的延长线;AB ;DC 于N E M ,,.若DA m DM =;DC n DN =)0,0(>>n m ;则n m 32+的最小值是A ．56B ．512C ．524D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方;则实数a 的取值范围是 A ．)(2,+∞ B ．)(1,+∞ C ．),213(+∞- D ．),212(+∞-二、填空题每题4分;满分20分;将答案填在答题纸上13.若向量)0,1(=a ;)1,2(=b ;)1,(x c =满足条件b a -3与c 垂直;则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中;831=+a a ;且4a 为2a 和9a 的等比中项;则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x e y 41-=平行;则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数;且0≥x 时;3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ;不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立;则实数t 的取值范围是 .三、解答题 本大题共6小题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象部分如图所示.1求函数)(x f 的解析式；2若），（30πα∈;且34)(=παf ;求αcos . 18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ;已知)(12*N n a S n n ∈-=.1求数列}{n a 的通项公式；2若对任意的*N n ∈;不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立;求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中;角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,;已知12=c ;64=b ;O 为ABC ∆的外接圆圆心.1若54cos =A ;求ABC ∆的面积S ；2若点D 为BC 边上的任意一点;1134DO DA AB AC-=+;求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.1判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数;并证明你的结论；参考数据：4.12≈;4.26≈2若存在)2,4(ππ∈x ;使得x kx x f cos )(2+>成立;求实数k 的取值范围. 21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ;e e x g x-=)(. 1讨论)(x f 的单调区间；2若1=a ;且对于任意的),1(+∞∈x ;)()(x f x mg >恒成立;求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答;如果多做;则按所做的第一题记分. 22.本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点;x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系;已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. 1求曲线C 的直角坐标方程；2若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 511521t 为参数;设点)1,1(P ;直线l 与曲线C 相交于B A ,两点;求||||PB PA +的值.23.本小题满分10分选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. 1若1=a ;求不等式0)(≥x f 的解集；2若方程()f x x =有三个实数根;求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t =三、解答题17、答案1)6sin(2)(ππ+=x x f 26215+ 解析试题分析：1由图像最值关系确定振幅2=A ;由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ;解得πω=;最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ;可得223ππϕπ+=+k ;62ππϕ+=k 又2πϕ<;可得6πϕ=2先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα;再根据给值求值;将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=;最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα;]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin )6sin(6cos )6cos(ππαππα+++=6215+ 考点：求三角函数解析式;给值求值 18、答案112-=n n a 2)643[∞+， 解析试题分析：1由和项求通项;要注意分类讨论：当1n =时;11a S =；当1n =时;11a S =解得11=a ；当2n ≥时;1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列;并求出等比数列通项2先化简不等式;并变量分离得k ≥nn 292-;而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题;即k ≥nn 292-的最大值;而对数列最值问题;一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=;则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ;所以数列先增后减;最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．2由(1)n k S +≥29n -;整理得k ≥nn 292-; 令n n n b 292-=;则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ; ………………………8分 n=1;2;3;4;5时;0221111>-=-++n n n nb b ;∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6;7;8;…时;0221111<-=-++n n n nb b ;即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ; ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分 考点：由和项求通项;根据数列单调性求最值 19、答案1144252552sin =B试题解析：1由54cos =A 得53sin =A ; ∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 2由AC AB DA DO 4131+=-; 可得AC AB AO 4131+=;于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131; ……………………………………5分即OAC AO AC OAB AO AB AO ∠∠=41312;①又O 为△ABC 的的外接圆圆心;则AB OAB AO 21∠OAC AO ∠AC 21;②…………………………7分 将①代入②得到28161AC AB AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=AO ．……………………………………………………………10分 由正弦定理得10422sin ===AO R B b ; 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影;正弦定理 20、答案1有且只有1个零点2π22<k解析试题分析：1判定函数零点个数从两个方面;一是函数单调性;二是函数零点存在定理;先求函数导数()cos f x x x '=;确定函数在2;3上是减函数;即函数在2;3上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ;03cos 3sin 3)3(<+=f ;由零点存在性定理;得函数在2;3上至少一个零点;综上可得函数在2;3上有且仅有一个零点2先将不等式变量分离得：x x k sin <;再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：xxk sin <的最大值;然后利用导数求函数x xx h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：1x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+=';∴)32(，∈x 时;0cos )(<='x x x f ;∴函数)(x f 在2;3上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ; ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ; 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ;∴03cos 3sin 3)3(<+=f ;由零点存在性定理;)(x f 在区间2;3上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ;即π22<k ． ………12分考点：函数零点;利用导数研究不等式有解21、答案1a ≥0时;)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时;)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a．2m ≥e 3．2先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>;再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值;利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值;但这样方法要用到洛必达法则;所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值;先求导数=')(x h x x me x 21--;再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时;导函数非正;所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减;注意到(1)=0h ;)(x h <h1= 0;不满足条件．当m>0时;讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系;即确定导函数符号规律;注意到(1)=0h ;(),()p x q x 皆为单调递增函数;所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥;从而导函数符号为正;即满足条件201ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ; 令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ;则=')(x h x xme x 21--;令=')1(h 0;即03=-me ;可解得m=e 3．①当m ≤0时;显然=')(x h 021<--x xme x ;此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减; ∴)(x h <h1= 0;不满足条件． ……………………………………………6分②当em 30<<时;令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，．显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增;∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增;于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方;此时)()(x q x p <;即0)(<'x h ;故)(x h 在)1(∞+，单调递减;又0)1(=h ;故0)(<x h ;不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交;设第一个交点横坐标为x0; 当)1(0x x ，∈时;)()(x q x p <;即0)(<'x h ;故)(x h 在)1(0x ，单调递减;又0)1(=h ;故当)1(0x x ，∈时;0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0;不满足条件．……9分③当m ≥e 3时;令x xme x x 21)(--=ϕ;则21)(2-+='x me x xϕ．∵x ∈)1(∞+，;∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e; 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增; 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ;即0)(>'x h ;∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增;∴0)1()(=>h x h 成立． 综上;实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分 考点：利用导数求函数单调区间;利用导数求参数取值范围22、答案124y x =2解析试题分析：1根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =2根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-所以将直线参数方程代入曲线方程24y x =;利用韦达定理代入化简得结果试题解析：1由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=;化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分2联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+;整理得015562=--t t ; ……………………………………………………7分 ∵01521<-=⋅t t ;于是点P 在AB 之间;∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分 考点：极坐标方程化为直角坐标方程;直线参数方程几何意义23、答案1)21[∞+-，211a -<< 试题解析：1∵1=a 时;111)(+--+=x x x f ; ∴当x ≤-1时;1)(-=x f ;不可能非负．当-1<x<1时;12)(+=x x f ;由)(x f ≥0可解得x ≥21-;于是21-≤x<1． 当x ≥1时;3)(=x f >0恒成立．∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分 2由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ．令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题及答案(超清)
四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}3,2{ C ．}3,2,1{ D ．}4,3,2{2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R x C ．01,2≤+-∈∀x x R x D ．01,0200≤+-∈∃x x R x3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．114.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 5.设命题p ：1)21(<x，命题q ：1ln <x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元7.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ） A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位8.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ） A ．αβcos 2cos = B ．αβ22cos 2cos =C ．02cos 22cos =+αβD ．αβ2cos 22cos =9.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=++543a a a （ ） A ．7 B ．87 C ．45D ．1410.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．111.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若m =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．54812.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞-二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=a ，)1,2(=b ，)1,(x c =满足条件-3与垂直，则=x . 14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .15.函数x x a x f ln )(=的图象在点))(,(22e f e 处的切线与直线x ey 41-=平行，则)(x f 的极值点是 .16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若），（30πα∈，且34)(=παf ，求αcos .18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对任意的*N n ∈，不等式92)1(-≥+n S k n 恒成立，求实数k 的取值范围.19.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ∆的外接圆圆心. （1）若54cos =A ，求ABC ∆的面积S ； （2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134DO DA AB AC -=+，求B sin 的值.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论；（参考数据：4.12≈，4.26≈）（2）若存在)2,4(ππ∈x ，使得x kx x f cos )(2+>成立，求实数k 的取值范围.21.已知函数1ln )(2-+=ax x x f ，e e x g x-=)(. （1）讨论)(x f 的单调区间；（2）若1=a ，且对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=. （1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.四川省绵阳市2017届高三第一次诊断性考试理数试题答案一、选择题1、A2、D3、B4、C5、B6、B7、A8、D9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题13、1 14、 13 15、e 16、3t ≤-或1t ≥或0t = 三、解答题17、【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）6215+ 【解析】试题分析：（1）由图像最值关系确定振幅2=A ，由最值点与相邻零点之间横坐标距离为四分之一周期得213165424=-==ωπT ，解得πω=，最后根据最值坐标求初始角：由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，62ππϕ+=k 又2πϕ<，可得6πϕ=（2）先根据34)(=παf 得32)6sin(=+πα，再根据给值求值，将欲求角化为已知角]6)6cos[(cos ππαα-+=，最后根据同角三角函数关系以及两角差余弦公式求结果：35)32(1)6cos(2=-=+πα，]6)6cos[(cos ππαα-+=6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=6215+考点：求三角函数解析式，给值求值n 64【解析】试题分析：（1）由和项求通项，要注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当1n =时，11a S =解得11=a ；当2n ≥时，1n n n a S S -=-化简得12-=n n a a ；最后根据等比数列定义判断数列}{n a 为等比数列，并求出等比数列通项（2）先化简不等式，并变量分离得k ≥nn 292-，而不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即k ≥nn 292-的最大值，而对数列最值问题，一般先利用相邻两项关系确定其增减性：令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ，所以数列先增后减，最后根据增减性得最值取法：n b 的最大值是6436=b ．(2)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥nn 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n nn nn n b b ， ………………………8分 n=1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴54321b b b b b <<<<．………10分n=6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ．∵b 5=321<6436=b ， ∴n b 的最大值是6436=b ．∴实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分考点：由和项求通项，根据数列单调性求最值5试题解析：(1)由54cos =A 得53sin =A ，∴5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分(2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131， ……………………………………5分即OAC OAB ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠，OAC ∠，②…………………………7分将①代入②得到28161+=1288114461⨯+⨯=401624=+=解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b ， 可解得552sin =B ．…………12分 考点：向量投影，正弦定理20、【答案】（1）有且只有1个零点（2）π22<k【解析】试题分析：（1）判定函数零点个数从两个方面，一是函数单调性，二是函数零点存在定理，先求函数导数()cos f x x x '=，确定函数在(2，3)上是减函数，即函数在(2，3)上至多一个零点．再研究区间端点函数值的符号：02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，得函数在(2，3)上至少一个零点，综上可得函数在(2，3)上有且仅有一个零点（2）先将不等式变量分离得：xxk sin <，再根据不等式有解问题转化为对应函数最值：x xk sin <的最大值，然后利用导数求函数xx x h sin )(=在)2,4(ππ∈x 上最大值试题解析：(1)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ，∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数． ……2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos -≈+-=--=-=<ππππ，∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分∴ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． ………12分 考点：函数零点，利用导数研究不等式有解21、【答案】（1）a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a -，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．（2）m ≥e3．（2）先化简不等式：2()ln 10x m e e x x ---+>，再变量分离转化为求对应函数最值：2ln 1x x x m e e +->-的最大值，利用导数求函数2ln 1x x x y e e+-=-最值，但这样方法要用到洛必达法则，所以直接研究=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x 单调性及最值，先求导数=')(x h x xme x 21--，再研究导函数符号变化规律：当m ≤0时，导函数非正，所以)(x h 在)1(∞+，上单调递减，注意到(1)=0h ，)(x h <h(1)= 0，不满足条件．当m>0时,讨论x x q xme x p x 2)(1)(=-=，大小关系，即确定导函数符号规律，注意到(1)=0h ，(),()p x q x 皆为单调递增函数，所以3(1)(1)p q m e≥⇒≥，从而导函数符号为正，即满足条件(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e 3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减，又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件． 若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x>1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x0，当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减，又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴)(x h 不可能恒大于0，不满足条件．……9分③当m ≥e 3时，令x xme x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ． ∵x ∈)1(∞+，，∴21)(2-+='x me x x ϕ>2-x me ≥0123>=-⋅e e， 故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e e me x ϕϕ，即0)(>'x h ， ∴)(x h 在)1(∞+，上单调递增，∴0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e 3．………………………………………12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围22、【答案】（1）24y x =（2）【解析】试题分析：（1）根据sin ,cos y x ρθρθ==将曲线极坐标方程化为直角坐标方程：24y x =（2）根据直线参数方程几何意义得12PA PB t t +=-入曲线方程24y x =，利用韦达定理代入化简得结果试题解析：(1)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为24y x =．………………………………………………………4分(2)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+， 整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分∵01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间， ∴1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23、【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<<试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．当-1<x<1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x<1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立． ∴不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(2)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a ． 令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分 于是由题意可得11a -<<．…………10分 考点：绝对值定义。
四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试理科数学试题(word版含答案)
四川省绵阳市2017级高三第三次诊断性测试（理科）数学试题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1), B {( x, y) |, x+y=1),则A 』B 中元素的个数是2.已知复数z 满足(1 i) z | J3 i |,则z=3.已知 x log 3 2 1,则 4x =性存在关联，具体调查数据统计如下A. 与非。
型血相比，。
型血人群对 COVID-19相对不易感，风险较低B. 与非A 型血相比，A 型血人群对 COVID-19相对易感，风险较高C. 与A 型血相比，非 A 型血人群对 COVID-19都不易感，没有风险D. 与。
型血相比，B 型、AB 型血人群对 COVID-19的易感性要高, 2,n5.在二项式（x —）的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 x A. -360 B. -160 C.160 D.3606.已知在^ ABC 中， sinB=2sinAcosC,则^ ABC 空旦A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.已知两个单位向量 a, b 的夹角为120 °,若向量 c= =2a-b,贝U a - c=5 A.-23 B.-2C.2D.3要求的。
A.0B.1C.2D.3 、选择题：本大题共12小题，每小题2 21.设集合 A {( x, y) | x y A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2iA.4B.6C. 4log 32D.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示:A 、B 、O 、AB 血型与 COVID-19易感武汉市3694名正常人血型占比 武汶市1775名COV1DT9患春血型占比根据以上调查数据，则下列说法错误的是年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图 .若将此大教堂外形2x— 1(a 0,b >0)上支的一部分，且上焦点到上顶点的距离为 b2,到渐近线距离为2 J 2,则此双曲线的离心率为5 13.已知 cos — sin — ---------- ,贝 1 sin a2 2 514.若曲线f(x)=e xcosx-mx,在点(0, f(0))处的切线的倾斜角为2215.已知F 1, F 2是椭圆C ：% 七 1(a b 0)的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点，F 1PF 2 120 ,且 a bVF 1PF 2的面积为4^3,则b=16. 在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则 该容器的高应为三、解答题：共70分。
四川绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学试题解析版(16页)
秘密★启用前【考试时间：2019年10月31日15:00-17：00】注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学否满足元素的互异性．2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ）A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ） A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(= 【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
2017级绵阳三诊数学理科答案
绵阳市高中2017级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． CBDCB BACAD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．4514．2 15．2 16．3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）由123n n a S +=，得123n n n S S S +−=，∴ 153n n S S +=，即153n n S S +=． ……………………………………………………4分 ∵ 111S a ==，∴ 数列{S n }是一个首项为1，公比为53的等比数列， 故15()3n n S −=． ……………………………………………………………………8分（2）由113()5n n n b S −==， ………………………………………………………9分 得1231()55355()3225215nn n n T b b b −=++⋅⋅⋅+==−<−． ……………………………12分 18．（1）证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ．∵ 正方形ABCD ，F 为BD 中点， 又E 为BS 中点， ∴ EF ∥SD ．又SD ⊄平面AEC ，EF ⊂平面AEC ，∴ SD ∥平面AEC ．…………………………4分（2）取BC 的中点为O ，连接OF 并延长，显然OF ⊥OC ． 在等边三角形SBC 中，易得SO ⊥BC ，∵ 侧面SBC ⊥底面ABCD ，且侧面SBC ∩底面ABCD =BC ， ∴ OS ⊥平面ABCD ． ∴ OS ⊥OF ，OS ⊥OC ，于是可以O 为原点，分别以OF 、OC 、OS 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系O -xyz ，如图． …………………………………………………………6分得A (2，-1，0)，C (0，1，0)，1(02，E −，D (2，1，0)，S (0，0，)，∴ CD =(2，0，0)，CS =(0，-1，，1(220)(2)22，，，，，AC AE =−=−．设平面CDS 的一个法向量为m ()，，x y z =，则200，，x y =⎧⎪⎨−=⎪⎩解得x =0，令1z =，则y = 所以m (01)=． ……………………………………………………………8分 设平面ACE 的法向量为n 111()，，x y z =．∴1111122012022，，x y x y z −+=⎧⎪⎨−++=⎪⎩令x 1=1，则y 1=1，z 1=， 所以n (11=． ……………………………………………………………10分∴cos 0||||，⋅<>===>⋅m n m n m n ．∴ 平面ACE 与平面SCD所成锐二面角的余弦值为． ……………12分 19．解：（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则3()8P A =，∴ 随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为2211120333335355485()()()()()88888512C C C ++=．………………………………………4分 （2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[4080)，，[80120)，，[120160)，， [160200)，的概率分别为18，14，12，18． …………………………………5分设物流公司每天的营业利润为Y ．若租赁1辆车，则Y 的值为2000元；若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，其分布列为：故71()40001600370088E Y =⨯+⨯=元；…………………………………………7分 若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，其分布列为：故511()6000360012004800848E Y =⨯+⨯+⨯=元； ……………………………9分若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，其分布列为：故1111()80005600320080047008248E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元； …………………11分因为4800＞4700＞3700＞2000，所以为使该物流公司每天的营业利润最大，该公司应租赁3辆车． ………12分 20．解：（1）当a =4时，22ln 64)(+−−=xx x x f ，x >0， 得2222)1)(12(2264264)(xx x x x x x x x f −−=+−=+−='． …………………………2分 ∴ 函数)(x f 在1(0)2，和(1)，+∞上单调递增，在1(1)2，上单调递减， ∴ 当21=x 时，函数()f x 取得极大值1()6ln 22f =； 当x =1时，函数()f x 取得极小值(1)4f =．……………………………………5分（2）2222)1)(2(2)2(22)(xx ax x x a ax x x a a x f −−=++−=++−='． 当a ≤0时，得)(x f 在(1，e)上递减，f (x )<f (1)=a ≤0， 故)(x f 在(1，e)上没有零点；当a ≥2时，得)(x f 在(1，e)上递增，f (x )>f (1)=a ≥2， 故)(x f 在(1，e)上没有零点； 当0<a ≤2e ，即2e ≥a时，得)(x f 在上(1，e)递减， 要使)(x f 在(1，e)上有零点，则(1)02(e)e 0e ，，f a f a a =>⎧⎪⎨=−−<⎪⎩解得20e(e 1)a <<−；……………………………………………………………8分当22e a <<，即21e a <<时，得()f x 在2(1)，a 上递减，在2(e)，a上递增， 由于0)1(>=a f ，2224(e)(e 1)(e 1)20e e e ef a =−−>−−=−>． 令22ln )2(2)2()(+−+−==a aa a f a g =2ln 24)2ln 1(ln )2(−++−+a a a ，令=)(a h 2ln 2ln )(−+='aa a g ， 则0221)(22<−=−='aa a a a h ， ∴)(a h 在2(2)e，上递减，故01)2()(>=>h a h ，即0)(>'a g ，∴ )(a g 在2(2)e，上递增，故24()()20e eg a g >=−>，即0)2(>a f ，∴ )(x f 在(1，e)上没有零点．………………………………………………………11分 综上所述，当20e(e 1)a <<−时，)(x f 在(1，e)上有唯一零点；当0a ≤或2e(e 1)a −≥时，)(x f 在(1，e)上有没有零点．………12分21．解：（1）设直线l 的方程为x =ty +1，若t =0，则l 的垂直平分线与x 轴重合，与题意不合．若t ≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点E (x 0，y 0)． 联立方程214x ty y x =+⎧⎨=⎩，，整理得y 2-4ty -4=0， 由韦达定理得y 1+ y 2=4t ，y 1y 2=-4． …………………………………………2分 ∴ y 0=2t ，x 0=ty 0+1=2t 2+1， 即E (2t 2+1，2t )．故线段MN 的垂直平分线的方程为y -2t =-t (x -2t 2-1)，令y =0，则Q (2t 2+3，0)． ……………………………………………………4分 即|FQ |=|(2t 2+3)-1|=8， 解得t=，综上所述，直线l的斜率1k t ==． ………………………………………6分（2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于0MF MP ⋅>．设M 211()4，y y ，F (1，0)， P (x 0，0)，则2211011()(1)44，，，y y MP x y MF y =−−=−−，故 224222111101103((1)(1)441644）y y y y MF MP x y y x ⋅=−−+=++−>0恒成立． ………8分令214y t =，则t >0，原式等价于203(1)0t t t x ++−>对任意的t >0恒成立，即200(3)0t x t x +−+>对任意的t >0恒成立． 令200()(3)h t t x t x =+−+．①Δ=(3-x 0)2-4x 0=201090x x −+<， 解得1< x 0<9；…………………………………………………………………………10分②00302(0)0≥，≤，≥，x h ∆⎧⎪−⎪⎨⎪⎪⎩ 解得0≤x 0≤1． 又x 0≠1，故0≤x 0<1．综上所述，x 0的取值范围是[01)(19)，，． ……………………………………12分22．解：（1）由题意得，半圆C 1的极坐标方程为π8cos (0)2≤≤ρθθ=，圆C 2的极坐标方程为(0π)≤≤ρθθ=． …………………………………4分 （2）由（1）得，∣MN ∣=∣M N ρρ−∣=ππ8cos133−=， ……………5分 显然当P 点到直线MN 的距离最大时，△PMN 面积最大．此时P 点为过C 2且与直线MN 垂直的直线与圆C 2的一个交点，如图， 设PC 2与直线MN 垂直于点H ， 在Rt △OHC 2中，22πsin 6HC OC =，……7分 ∴ 点P 到直线MN 的最大距离为22C d HC r =+=+=………………9分 ∴ △PMN面积的最大值为11122MN d ⋅=⨯=……………………10分 23．解：（1）当x ≤-1时，()215≤f x x x =−−−，解得21≤≤x −−；当12x −<<时，()2135≤f x x x =−++=，满足题意；……………………………3分 当x ≥2时，()215≤f x x x =−++，解得23≤≤x ．综上所述，不等式()5≤f x 的解集为{23}≤≤x x −． ………………………………5分（2）由()21f x x x =−++≥(2)(1)1x x −−+=，即()f x 的最小值为1，即m =3．……………………………………………………6分1111111()(49)49349a b c a b c a b c++=++++ 14499(3)34949b a b c c a a b c b a c=++++++1(33≥+ =3．当且仅当a =4b =9c =1时等号成立， …………………………………………………9分 所以cb a 91411++最小值为3． ……………………………………………………10分1。
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2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）2．（5分）已知i是虚数单位，则||=（）A．1 B．2 C．2 D．3．（5分）某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A．B．C．.D．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．405．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣126．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A．16 B．8 C．216D．287．（5分）已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣8．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A．50 B．75 C．25.5 D．37.59．（5分）已知函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f （x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）A．﹣ B．1 C．3﹣D．﹣110．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π12．（5分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m ≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若实数x、y满足，则x+2y的最小值是．14．（5分）过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=．15．（5分）已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为．（用数字作答）16．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（S m﹣S n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．18．（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望． （参考数据：其中，K 2=，n=a +b +c +d ）19．（12分）已知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N 时线段AD 的中点．（Ⅰ）试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线AF ∥平面MNC ？若存在，请证明AF ∥平面MNC ，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N ﹣CE ﹣D 的正弦值．20．（12分）已知点E （﹣2，0），点P 时圆F ：（x ﹣2）2+y 2=36上任意一点，线段EP 的垂直平分线交FP 于点M ，点M 的轨迹记为曲线C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过F 的直线交曲线C 于不同的A 、B 两点，交y 轴于点N ，已知=m，=n，求m +n 的值．21．（12分）函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe x（a∈R）．（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，），并求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C 1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．23．已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，2）D．（0，1）【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，∴A=（0，2），∵全集U=R，B={x|x≥1}，∴∁U B=（﹣∞，1），则A∪（∁U B）=（﹣∞.2），故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，则||=（）A．1 B．2 C．2 D．【解答】解：=，则||=．故选：D．3．（5分）某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）A．B．C．.D．【解答】解：由题意知本题是一个那可能事件的概率，试验发生包含的事件是总的时间长度为30+5+40=75秒，设黄灯为事件A．满足条件的事件是红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒．根据等可能事件的概率得到：出现黄灯的概率P（A）===，故看见不是黄灯的概率是1﹣=，故选：A．4．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=4，a42=4a3a7，则a5=（）A．B．C．20 D．40【解答】解：设公比为q，则q＞0，由题意得：，解得，∴a 5=2×=，故选A．5．（5分）已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且BC=3BM，N为DC的中点，则=（）A．﹣6 B．12 C．6 D．﹣12【解答】解：以A为原点建立坐标系，如图所示：则A（0，0），B（6，0），M（6，2），N（3，6），∴=（6，2），=（﹣3，6），∴=﹣18+12=﹣6．故选A．6．（5分）在如图所示的程序框图中，若函数f（x）=，则输出的结果是（）A．16 B．8 C．216D．28【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=﹣16≤0，执行循环体，b=log16=14＜0，a=log4=﹣2＜0，不满足条件a＞4，执行循环体，b=log2=﹣1＜0，a=log1=0，不满足条件a＞4，执行循环体，b=2°=1＞0，a=21=2，不满足条件a＞4，执行循环体，b=22=4＞0，a=24=16，满足条件a＞4，退出循环，输出a的值为16．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则f（）=（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【解答】解：∵函数f（x）=4cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=﹣4sinωx．A（a，0），B（b，0）是其图象上两点，若|a﹣b|的最小值是1，则•=1，∴ω=π，f（x）=﹣4sinπx，则f（）=﹣4sin=﹣2，故选：B．8．（5分）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）A．50 B．75 C．25.5 D．37.5【解答】解：由已知得到几何体为直三棱柱截去一个四棱锥，如图：体积为=37.5；故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，其中1≤m≤2，若函数f （x）的最大值记为g（m），则g（m）的最小值为（）A．﹣ B．1 C．3﹣D．﹣1【解答】解：函数f（x）=mcos2x+（m﹣2）sinx，化简可得：f（x）=m（1﹣2sin2x）+（m﹣2）sinx=m﹣msin2x+（m﹣2）sinx=m ﹣[msin2x+（2﹣m）sinx]，令y=msin2x+（2﹣m）sinx，∵1≤m≤2，开口向上，对称轴sinx=，∴≤sinx≤0．故当sinx=时，f（x）取得最大值为g（m）=﹣m×（）2+（m﹣2）×=．由=，（当且仅当，即m=时取等号）故得g（m）的最小值为：．故选：D．10．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，设A（﹣a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，﹣3m）．则直线AM：，直线BN：．∵直线AM，BN的交点D（c，y），∴，则，∴双曲线的离心率为5．故答案为：C．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC互相垂直，PA=PB=1，M是线段BC 上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．8πD．16π【解答】解：M是线段BC上一动点，连接PM，∵PA、PB、PC互相垂直，∴∠AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PM⊥BC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时，PM=，在Rt△PBC中，PB•PC=BC•PM⇒PC=⇒PC=．三棱锥P﹣ABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=4π．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2+3，若存在实数m、n∈[1，5]满足n﹣m ≥2时，f（m）=f（n）成立，则实数a的最大值为（）A．B． C．D．【解答】解：由f（m）=f（n）⇒2lnn﹣an2+3=2lnm﹣am2+3，∴a=．令n=m+t，（t≥1），则a=，（m∈[1，5]，t≥2）显然g（m）═，在m∈[1，+∞）单调递减，∴a≤g（1）=，（t≥1）令h（t）=g（1）=，（t≥2），h′（t）=∵t≥2，∴2ln（t+1）＞1，则t2+2t﹣2ln（t+1）（t+1）2＜0，∴令h（t）=g（1）=，（t≥2），单调递减，∴∴实数a的最大值为．故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若实数x、y满足，则x+2y的最小值是2．【解答】解：依题意作出实数x、y满足的可行性区域，标函数z=x+2y可看做斜率为﹣的动直线在y轴上的纵截距．数形结合可知，当动直线过点A时，目标函数值最小z=2+0=2．故答案为：214．（5分）过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|=4．【解答】解：直线：kx﹣y+1﹣2k=0过定点M（2，1），（x+1）2+（y﹣5）2=9的圆心（﹣1，5），半径为：3；定点与圆心的距离为：=5．过定点M的直线：kx﹣y+1﹣2k=0与圆：（x+1）2+（y﹣5）2=9相切于点N，则|MN|==4．故答案为：4．15．（5分）已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为120．（用数字作答）【解答】解：由题意，（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么（2x2+x﹣y）5=[（2x2+x）﹣y]5，=，通项公式T r+1展开式中含有x5y2，可知r=2．那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为=120．故答案为120．16．（5分）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2，a5，a11成等比数列，且a11=2（S m﹣S n）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是9．【解答】解：设公差d不为0的等差数列{a n}，a2，a5，a11成等比数列，可得a52=a2a11，即为（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），化简可得a1=2d，a11=2（S m﹣S n），即有12d=2[ma1+d﹣na1﹣d]，12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），即有（m﹣n）（m+n+3）=12，由于m＞n＞0，m，n∈N*，可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，若m=2，3，n=1则方程不成立；若m=3，4，n=2，则方程不成立；若m=4，5，n=3，则方程不成立；若m=5，n=4，则方程成立；m=6，n=4则方程不成立．故m+n=5+4=9．故答案为：9．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2=b2+3ac．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵（a+c）2=b2+3ac，∴可得：a2+c2﹣b2=ac，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．…6分（Ⅱ）∵sinB+sin（C﹣A）=2sin2A，∴sin（C+A）+sin（C﹣A）=2sin2A，∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，∴cosA=0，或sinC=2sinA，=•b•c==；∴当cosA=0时，A=，可得c==，可得S△ABC当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2，解得：a=，c=，S=acsinB=××=．…12分△ABC18．（12分）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X ，求X 的分布列与期望． （参考数据：其中，K 2=，n=a +b +c +d ）【解答】解：（Ⅰ）补全的列联表如下：于是a=100，b=20，c=60，d=20，…（4分）∴K2=≈2.083＞2.072，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为=10%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，∵X～B（3，0.1），X=0，1，2，3，∴P（X=0）=（1﹣0.1）3=0.729，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=0.13=0.001，∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3．…（12分）19．（12分）已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点．…（2分）证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴PN∥AF，又PN⊂平面MNC，AF⊄平面MNC，∴直线AF∥平面MNC．…（5分）∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC，∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN ⊂面ADEF，所以PN⊥面ABCD．…（8分）故PN⊥ND，PN⊥NC．…（9分）以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，∵∠ADC=，AD=DC=2，∴△ADC为正三角形，NC=，∴N（0，0，0），C（，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），∴=（0，1，1），=（，0，0），=（0，0，1），=（，﹣1，0），设平面NEC的一个法向量n1=（x，y，z），则由n1•=0，n1•=0可得令y=1，则n1=（0，1，﹣1）．设平面CDE的一个法向量n2=（x1，y1，z1），则由n2•=0，n2•=0可得令x1=1，则n2=（1，，0）．则cos＜n1，n2＞=，设二面角N﹣CE﹣D的平面角为θ，则sinθ=，∴二面角N﹣CE﹣D的正弦值为．…（12分）20．（12分）已知点E（﹣2，0），点P时圆F：（x﹣2）2+y2=36上任意一点，线段EP的垂直平分线交FP于点M，点M的轨迹记为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过F的直线交曲线C于不同的A、B两点，交y轴于点N，已知=m，=n，求m+n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，|ME|+|MF|=|MP|+|MF|=r=6＞|EF|=4，故由椭圆定义知，点M的轨迹是以点E，F为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a=3，短半轴长为b==，∴曲线C的方程为：．…（4分）（Ⅱ）由题知F（2，0），若直线AB恰好过原点，则A（﹣3，0），B（3，0），N（0，0），∴=（﹣3，0），=（5，0），则m=，=（3，0），=（﹣1，0），则n=﹣3，∴m+n=．…（2分）若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，A（ty1+2，y1），B（ty2+2，y2），N（0，﹣）．则=（ty1+2，y1+），=（﹣ty1，﹣y1），=（ty2+2，y2+），=（﹣ty2，﹣y2），由，得y1+=m（﹣y1），从而m=；由，得y2+=n（﹣y2），从而n=；故m+n=+（）==﹣2﹣．…（8分）联立方程组得：，整理得（5t2+9）y2+20ty﹣25=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=，∴m+n=﹣2﹣═=﹣2﹣=．综上所述，m+n=．…（12分）21．（12分）函数p（x）=lnx+x﹣4，q（x）=axe x（a∈R）．（Ⅰ）若a=e，设f（x）=p（x）﹣q（x），试证明f′（x）存在唯一零点x0∈（0，），并求f（x）的最大值；（Ⅱ）若关于x的不等式|p（x）|＞q（x）的解集中有且只有两个整数，求实数a的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题知f（x）=lnx+x﹣4﹣ex•e x，于是，令μ（x）=1﹣ex•e x，则μ′（x）=﹣e（x+1）e x＜0（x＞0），∴μ（x）在（0，+∞）上单调递减．又μ（0）=1＞0，=1﹣＜0，所以存在x0∈（0，），使得μ（x0）=0，综上f（x）存在唯一零点x0∈（0，）．…（3分）当x∈（0，x0），μ（x）＞0，于是f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）单调递增；当x∈（x0，+∞），μ（x）＜0，于是f′（x）＜0，f（x）在（x0，+∞）单调递减．故f（x）max=f（x0）=lnx0+x0﹣4﹣ex0e，又，e=，x0=ln=﹣1﹣lnx0，故=﹣5﹣1=﹣6．…（6分）（Ⅱ）解：|p（x）|＞q（x）等价于|lnx+x﹣4|＞axe x．⇔a＜||，…（7分）令h（x）=＜，则h，令φ（x）=lnx+x﹣5，则φ＞0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增．又φ（3）=ln3﹣2＜0，φ（4）=ln4﹣1＞0，∴存在t∈（3，4），使得φ（t）=0．…（9分）∴当x∈（0，t），φ（x）＜0⇒h′（x）＞0⇒h（x）在（0，t）单调递增；当x∈（t，+∞），φ（x）＞0⇒h′（x）＜0⇒h（x）在（t，+∞）单调递减．∵h（1）=﹣＜0，h（2）=，h（3）=，且当x＞3时，h（x）＞0，又|h（1）|=，|h（2）|=＞|h（3）|=，|h（4）|=，故要使不等式式|p（x）|＞q（x）解集中有且只有两个整数，a的取值范围应为：．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）将C1的参数方程化为普通方程为（x﹣1）2+y2=3，即x2+y2﹣2x﹣2=0，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．将C2的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1．（Ⅱ）将（ρ≥0），代入C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．整理得ρ2﹣ρ﹣2=0，解得：ρ1=2，即|OA|=2．∵曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线θ=（ρ≥0）与C2相交，则ρ2=1，即|OB|=1．故|BA|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1=1．23．已知函数f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|，g（x）=|x﹣2|+1．（Ⅰ）a=1时，解不等式f（x）≥8；（Ⅱ）若对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|3x﹣1|+|3x﹣6|，当x≤时，不等式为：7﹣6x≥8，解得x≤﹣，∴x≤﹣，当＜x＜2时，不等式为：5≥8，无解，当x≥2时，不等式为6x﹣7≥8，解得x≥，∴x≥，综上，f（x）≥8的解集是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（Ⅱ）∵对任意x1∈R都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，∴f min（x）≥g min（x），∵f（x）=|3x﹣a|+|3x﹣6|≥|3x﹣a﹣（3x﹣6）|=|6﹣a|，g（x）=|x﹣2|+1≥1，∴|6﹣a|≥1，解得a≥7，或a≤5．。