第1讲 实数及其运算
第1讲 实数及其运算
16．计算： 12＋(π－1)0×|－2|－tan60°.
解：原式＝2 3＋1×2－ 3＝2＋ 3
17．若0＜x＜1，则x－1，x，x2的大小关系是( A．x－1＜x＜x2 B．x＜x2＜x－1
8．设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a＋b所有值的和． 解：|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b≤0，可知a＝－4，b＝－2或2，所以a＋b＝
－4－2＝－6或a＋b＝－4＋2＝－2，－6＋(－2)＝－8，a＋b所有值的和是－
8
9．(原创题 )如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是( C)
解： 周二、周五、周六
－3 4．实数 －27的立方根是___________ ． 5．下列各组数中，把两数相乘，积为正的是( 1 A．2和－2 B．－2和 2 3 C. 3和 3 D. 3和－ 3
C
)
6．关于 8的叙述正确的是( D ) A．在数轴上不存在表示 8的点 B. 8＝ 2＋ 6 C. 8＝±2 2 D．与 8最接近的整数是3
第1讲
实数及其运算
数
学
B 1．(2017·杭州)－22＝( ) A．－2 B．－4 C．2 D．4 2．(2017·北京 )实数a，b，c，d 在数轴上的对应点的位置如图所示 ，则正确 的结论是(
C)
A．a>－4 B．bd>0
C．|a|>|b| D．b＋c>0
3．(2017· 绍兴)计算：(2 3－π)0＋|4－3 2|－ 18.
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点包括以下几个方面：
1.实数的定义：实数是有理数和无理数的总称，包括有理数、无
理数、正数、负数等。
实数具有完备性，即任何实数都可以用
十进制无限小数或无限循环小数来表示。
2.实数的性质：实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，
包括交换律、结合律、分配律等。
此外，实数还具有一些重要
的性质，如任何非零实数的平方都是正数、绝对值的概念等。
3.实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在运算过程中，需要注意运算的优先级，先乘除后加减，括号
可以改变运算顺序。
此外，实数的运算还有一些重要的性质和
定理，如乘法交换律、结合律、分配律等。
4.实数的应用：实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在代数中，实数可以用来表示长度、面积、体积等量；
在物理中，实数可以用来描述速度、加速度、力等物理量；在
工程中，实数可以用来计算各种参数和性能指标等。
总之，实数及其运算知识点是数学中的重要内容，对于数学、物理、工程等领域的学习和应用都具有重要意义。
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
高考实数及其运算知识点
高考实数及其运算知识点高考是每个学生人生中重要的一步，在备战高考的过程中，实数及其运算是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基础概念，也是高中数学的重点内容之一。
本文将从实数的定义、实数的分类、实数的运算及实数的应用等方面进行探讨。
一、实数的定义与分类实数是指包括有理数和无理数在内的一切数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数、循环小数等。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，如π和根号2等。
实数是实数集合的元素，用符号R表示，即R={x | x是实数}。
实数可以分为有序实数和无序实数。
有序实数是指可以在数轴上比较大小的实数，如整数、分数等。
无序实数是指无法在数轴上比较大小的实数，如无理数。
实数在数轴上呈现出密集性，即在任意两个不相等的实数之间，总存在着其他实数。
二、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算都遵循一定的运算规律和性质。
1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
2. 减法运算：实数的减法可以通过加法运算转化为负数与另一个数的加法。
3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
4. 除法运算：实数的除法可以通过乘法运算转化为一个数与另一个数的乘法。
实数的运算性质为实数的运算提供了便利，同时也为解决实际问题提供了基础。
三、实数的应用实数的应用广泛存在于各个领域，如物理、化学、生物等。
1. 物理应用：实数在物理学中有着重要的应用，如测量物体的质量、长度、时间等都需要用到实数。
2. 化学应用：在化学实验中，实数常用来表示物质的质量、浓度等。
3. 生物应用：实数可以用来表示生物的数量、体重等，如在植物生长实验中，用实数表示植物的高度。
实数的应用不仅限于科学领域，还可以应用于经济、统计学等各个领域，为问题的解决提供了数学工具和方法。
总结起来，实数及其运算是高中数学中的重要内容，也是高考数学中的重点和难点。
了解实数的定义与分类、掌握实数的运算，以及应用实数解决实际问题，对提高数学能力和应对高考具有重要意义。
实数及其运算
实数及其运算实数及其运算是基本数学概念之一。
它指的是用来表示标准数学定义下的实数的数字和它们的运算。
实数在数学界被定义为无穷的离散的，有理的或者无理的数集合。
实数通常包括所有的Rational numbers（有理数）以及Irrational numbers（无理数）。
实数及其运算可以使用加、减、乘、除和指数运算（求幂）组成。
加法是两个实数或多个实数之和，即a+b=c (a, b, c 都是实数)。
减法是两个实数或多个实数之差，即a−b=c (a, b, c 都是实数)。
乘法是两个实数或多个实数的乘积，即a×b=c (a,b,c 都是实数)。
除法是两个实数或多个实数的商，即a÷b=c (a, b, c 都是实数)。
指数运算是实数的求幂，即a^b=c (a, b, c 都是实数)。
实数还可以能使用反函数来进行运算。
例如，对于正弦函数，你可以使用arcsin(x)去计算x的反函数。
同样的，你可以使用arctan(x)去计算tan(x)的反函数。
在图形学中，可以使用实数及其运算来分析图像，确定曲线的方程，以及计算结果。
例如，你可以使用几何学的定义，例如直线，圆圈和抛物线，来确定图像中的几何形状，以及它们的运算。
实数及其运算也可以定义不同的函数，例如正弦函数，余弦函数，正切函数，和其他函数。
例如，你可以使用它们来确定某个曲线的函数表示，以及如何根据函数值求出该曲线上特定点的坐标。
实数及其运算在数学和工程领域都有重要的应用，它们可以用来计算给定参数的函数值，解决方程，以及用各种数学模型来分析数据。
它们也可用来分析各种统计学模型，并能够得出准确的结论。
2020中考复习第01课时实数及其运算
用科学记数法表示为
考点聚焦
考向四 实数的大小比较与运算
例4 [2019·南京]实数a,b,c满足a>b且 [答案] A
ac<bc,它们在数轴上的对应点的位置
[解析]因为a>b且ac<bc,所以c<0.
可以是 (
选项A符合a>b,c<0条件,故满足条件的
)
对应点位置可以是A.
选项B不满足a>b,选项C,D不满足c<0,
第 1 课时
实数及其运算
第一单元
数与式
2020年中考复习
考点聚焦
考点一 实数的概念及分类
1.按定义分
有理数
整数
分数:① 有限
② 循环
实数
无理数
正无理数
负无理数
小数或无限
小数
无限③ 不循环 小数
考点聚焦
2.按大小分
(1)实数可分为正实数、0和负实数.0既不是正数,也不是负数.
(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的
考点聚焦
考点二
实数的有关概念
1.数轴:规定了原点、④ 正方向 和⑤ 单位长度 的直线.数轴上的点与实数一
一对应.
图1-1
2.相反数:a的相反数是⑥
-a
,0的相反数是0.
3.倒数:乘积是⑦ 1 的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.
考点聚焦
4.绝对值:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离,叫做数 a 的绝对值,记作|a|,
ba
(a+b)+c=⑳ a+(b+c) ,
(ab)c=㉑ a(bc)
分配律 a(b+c)= ㉒ ab+ac
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3
【对应训练】 1 ．(2017·菏泽)生物学家发现了一种病毒 ，其长度约为0.00000032mm，数 据0.00000032用科学记数法表示正确的是( A．3.2×107 B．3.2×108 ) C
C．3.2×10－7
D．3.2×10－8
2．(2017.重庆A)“渝新欧”国际铁路联运大通道全长11000千米，成为服务 1.1×104 “一带一路”的大动脉之一，将数11000用科学记数法表示为__________.
试题 写出满足以下条件的实数：(1)倒数；(2)相反数；(3)立方；(4)立方根；
(5)算术平方根． 一个数的以上概念等于它本身的数． 1或－； 1 0 ；(3)________ 1或－1 (1)________ ；(2)________ 1 ． (4)________ ；(5)________ 1或－1
正实数 实数0 负实数
π 2 1. 以下六个实数：－9.3， ， 4，6， ，0，其中无理数是________ ， 2 2 3
π
4 6 整数是________ ，分数是________ ．
考点2实数的相关概念(2016.1，2013.1)
名称 定义 性质
数轴
正方向 、 规定了__________ 原点 、__________ __________ 单位长度 的直线
成都到西安只需3小时，上午游武侯区，晚上看大雁塔将成为现实，用科学 记数法表示647亿为( ) C
A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×1011 【分析】本题考查带单位的较大数的科学记数法 ，首先将题中的数字单位 转化为数字，1亿＝1×108，即647亿＝647×108，化为一个数据，再根据科 学记数法中n和a的确定方法进行确定．
考点 4 实数的大小比较(2017.1，2015.1，2014.1) 1．数轴比较法：将两数表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 2．代数比较法：正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝 对值大的数反而小． 3．作差比较法：若 a－b＞0，则 a＞b；若 a－b＜0，则 a＜b，若 a－b＝0，则 a＝b. a a a 4．求商比较法：若 b＞0，则 ＞1↔a＞b； ＝1↔a＝b； ＜1↔a＜b. b b b 5．平方比较法：a＞b＞0↔ a＞ b.
考点1实数的相关概念
2 【例 1】－ 的倒数是( B ) 3 2 A ．－ 3 【对应训练】 1．(2017· 泸州)－7 的绝对值是( A ) 1 A ．7 B ．－7 C. 7 1 D．－ 7 3 B．－ 2 3 C. 2 2 D. 3
考点2科学记数法
【例2】(2017·成都)总投资647亿元的西域高铁预计2017年11月竣工，届时
数轴上的点与实数一一对 应
相反数
符号 不同的两个数 只有______ ，即实数a的相反数是－a
(1)若a、b互为相反数，则a ＋b＝0；(2)在数轴上，表 示相反数的两个数的点位 于原点________ 两侧 ，且到原 点的距离相等
绝对值
在数轴上表示数a的点与原 距离 ，记作|a| 点的______
考点2科学记数法 3 ． (2017· 河南 2 题 3 分 )2016 年， 我国国内生产总值达到 74.4 万亿元 ， 数据 “74.4万亿”用科学记数法表示为( B ) (导学号 95604001)
A．74.4×1012 B．7.44×1013
C．74.4×1013 D．7.44×1014
4．(2016·河南2题3分)某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095用科
3
3 －1 ． 11．(2016· 河南 9 题 3 分)计算：(－2) － 8＝______
0
12．(2015· 河南 9 题 3 分)计算：(－3)0 ＋3－1 ＝______． 3 1 ． 13．(2014· 河南 9 题 3 分)计算： 27－|－2|＝______
4 3
1 14．(2013· 河南 9 题 3 分)计算：|－3|－ 4________.
正整数 0 整数 有理数 负整数 实 数
自然数
正分数 有限小数或无 分数 负分数 限循环小数
正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
2．根据需要，我们也可以按符号进行分类：
8．(2015· 河南 1 题 3 分)下列各数中最大的数是( A ) A．5 B. 3 C．π D．－8
9．(2014· 河南 1 题 3 分)下列各数中，最小的数是( D ) A ．0 1 B. 3 1 C．－ 3 D．－3
考点4实数的运算 6 ．(导学号 95604002) 10．(2017· 河南 11 题 3 分)计算：2 － 4＝______
6．(2014·河南2题3分)据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约3875.5亿
元，若将3875.5亿用科学记数法表示为3.8755×10n，则n等于( A．10 B．11 C．12 D．13 ) B
考点3实数的大小比较
7．(· 河南 1 题 3 分)下列各数中比 1 大的数是( A ) A．2 B．0 C．－1 D．－3
|a|＝
a（a＞0） 0（a＝0） －a（a＜0）
倒数
乘积 为1的两个数互为倒 ______ 数，非零实数a的倒数为 1 ______ a
(1)ab＝1⇔a、b互为倒数； (2)0没有倒数；(3)倒数等于 本身的数是1或－1
考点3 科学记数法及有效数字(2017.2，2016.2，2015.3，2014.2) 1．大数的科学记数法：把一个绝对值大于10的实数记为a×10n的形式(其中 1≤|a|＜10，n是正整数)． 2．小数的科学记数法：把一个绝对值小于1的实数记为a×10n的形式(其中 1≤|a|＜10，n是负整数)． 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位． 3．一个近似数，_____________
考点5 平方根、算术平方根、立方根
考点6 实数的运算(2017.11，2016.9，2015.9，2014.9，2013.9)
1．零指数幂：a ＝1(a≠0)； 1 －p 2．负整数指数幂：a ＝ p (a≠0，p 为整数)； a a－b（a>b） 3．去绝对值符号：|a－b|＝0（a＝b） ； b－a（a<b）
0
1，n为偶数 4．－1 的奇偶次幂：(－1) ＝ ； － 1 ， n 为奇数
n
正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为
正数．
5．实数的运算顺序是先算平方和开方，再算乘除，最后算__________， 中括号 加减 如果有括号 ， 先算小括号 ， 再算 ____________ ，最后算 ____________ ，
易错分析 对实数的相关概念理解不全造成错误，倒数会改变数的大小，
相反数会改变数的符号，立方根只有一个，算术平方根只有一个且为正数．
2 试题 计算： －8＋|－3|＋(－2)0 ＝________.
易错分析 解决本题应区分清楚， 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数 ； 任何数的 绝对值都为非负数； 任何非零实数的 0 次幂为 1.
从左到右 大括号 同级运算按照 _____________的顺序进行计算．
考点1 实数的相关概念
1 1．(2016· 河南 1 题 3 分)－ 的相反数是( B ) 3 1 1 A．－ B. C．－3 D．3 3 3 2．(2013· 河南 1 题 3 分)－2 的相反数是( D ) 1 A．－ 2 B．－2 1 C. 2 D．2
1.256×107 ； (2) 数 据 2.(1) 数 据 12560000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ________________ 3.79×10－6 0.00000379 用科学记数法表示为 __________________ ； (3)3.141592 精确到 3.142 ． 3.14 ，精确到0.001为________ 0.01为________ 有计数(量)单位的科学记数法：先把计数(量)单位转化为数字，再用科学记 数法表示，常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm ＝10－3m，1 μm＝10－6m，1 nm＝10－9m等．
用科学记数法表示一个数时， 首先要掌握科学记数法的表示形式 a×10n，
然后确定a和n的值：a的值：1≤a<10，n的值的确定要从以下两个方面考虑 ：
(1)若原数大于10时，则n的值是原数的整数位数减1得到的数；或者将原数
变为a时，小数点向左移动的位数； (2)若原数大于0小于1时，n是负整数，n的绝对值是原数从左到右第一个不 为0的数前面所有0的个数(包含小数点前的0)．
数学
河南专用
第一章 数与式
第1讲 实数及其运算
实数及其运算近五年河南中招考试必考内容，共考查14次， 题型为选择题或填空题，分值为6～9分，常考的知识点有： 实数的相关概念(2次)、科学记数法(4次)、实数的大小比较
(3次)、实数的 运算(5次)．
考点1实数的分类(2015.1，2014.1)
学记数法表示为( A．9.5×10－7 ) A
B．9.5×10－8
C．0.95×10－7 D．95×10－8
5．(2015·河南3题3分)据统计2014年我国高新技术产品出口总额40570亿元， 将数据40570亿用科学记数法表示为( A．4.0570×109 B．0.40570×1010 C．40.570×1011 D．4.0570×1012 )D