第1课 实数及其运算
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北师大版九年级数学下册--中考数学总复习 -第一个课时：实数及其运算 课件
将数 221000 用科学记数法表示为( B )
A. 2.21×106
B. 2.21×105
C. 221×103
D. 0.221×106
3. 实数 0.00037 用科学记数法表示为 33..77××1100－－44 ．
4. 估计 65的值在( D )
A. 5 和 6 之间 C. 7 和 8 之间
【例 8】实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中
正确的是( DD )
A. ac＞bc C. －a＜－b＜c
B. |a－b|＝a－b D. －a－c＞－b－c
知识点四：二次根式
9. (1)性质：(Ⅰ)
a2＝a(a≥0)(Ⅱ)
a ＝ a 2
(2)运算法则：(Ⅰ) a· b＝ ab(a≥0，b≥0)
00 ；若 x－y ＋
y＋2＝0，则 x、y 的值分
别为 －2、－2 .
13. 二次根式 x＋4有意义，则实数 x 的取值范围是 xx≥≥－－44 ． 14. 要使代数式 xx＋1有意义，则 x 的取值范围是 xx>>－－11 ．
15. 据报道，2019 年某城镇基建项目总投入计划 70500000 元，将
，…}，
负分数：{ －23，－0. 4
，…}，
无理数：{ π， 6， 1.101 001 000 1…
，…}.
7. 若将三个数，－ 3， 7， 17表示在数轴上，其中能被如图所
示的墨迹覆盖的数是 7 .
8. － 3的相反数是－3
，倒数是
－－
3 3
，绝对值是 3 .
9. 求下列各式的值： (1)± 49；
(Ⅱ) ba＝ ab(a≥0，b>0)
初中数学精品课件：实数及其运算
关的：π3，π－1 等；④规律型：1.3232232223…(每两 个“3”之间依次多一个“2”)等有规律但不循环的无 限小数．
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
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22 7
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0.3333333…
，
0
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1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：1实数及其运算
科学记数法
a× 10n 把一个数写成________ 的形式(其中1≤|a|＜ 10，n为整数)，这种表 示数的方法称为科学记 数法
近似数
一个近似数四舍五入到 哪一位，就说这个近似 数精确到哪一位
赣考解读
考点聚焦
赣考探究
第1讲┃ 实数及其运算
考点5 实数的运算
1．计算 2－(－3)的结果是( A ) A．5 B．1 C．－1 D．－5
南昌 江西(南昌)
负数的绝对值
实数的运算 科学记数法(千 万) 实数大小的比较 无理数的判断
考点聚焦
3
9 3 3 3
赣考探究
选择题
填空题 选择题 选择题 选择题
★★★
★★★★ ★★★★ ★★★ ★★★
2011
江西(南昌) 江西(南昌)
赣考解读
第1讲┃ 实数及其运算
Hale Waihona Puke 考 点 聚 焦考点1 实数的分类
1．在－1，0，1，2 这四个数中，既不是正数也不是负数 的是( B ) B．0 C．1 D．2 1 2．在－5，－0.1， ， 3这四个数中，无理数的是( D ) 2 1 A．－5 B．－0.1 C. D. 3 2 A．－1
2．计算 2³(－1)的结果是( B ) 1 A．－ B．－2 C．1 D．2 2 3．计算 6÷(－3)的结果是( B ) 1 A．－ B．－2 C．－3 D．－18 2
赣考解读
考点聚焦
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第1讲┃ 实数及其运算
【归纳总结】
内容 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值 相等时，和为0，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数 运算法则 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，再将两数的绝对值相乘．任何数同0相 乘，仍得0 除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数 运算性质 运算顺序 号，在同一级运算中，要按照从左到右的顺序进行运算
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
广西壮族自治区2025年中考数学一轮复习课件：第一章数与式第1节实数及其运算
1
0
零次幂 a ＝㉚___(a≠0)，遇到0次幂，写1即可
运算
法则
1
－p
－1
负整数 a ＝㉛____(a≠0，p为正整数)，特别地，a
＝ (a≠0)
指数幂 口诀：倒底数，反指数
－(＞),
去绝对
(＝),
｜a－b｜＝
值符号
㉜ － (＜)
－1的奇
(为偶数),
n
偶次幂 (－1) ＝ －(为奇数)
－4
－4
－4
数是___，比
3大的数是_______.
π和2
0
知识点7
实数的运算(掌握)(广西2024.19，2023.19；北部湾2022.
19，2021.19，2020.19)
1.常见的实数运算
运算
法则
a n＝
乘方
··⋯·
(其中a是底数，n是指数)
个
(为偶数),
(－a)n＝
－ (为奇数)
负实数
【温馨提示】无理数的常见类型：①开方开不尽的数，如 3， 5等；②π
π
及化简后含有π的数，如 ，π－2等；③部分特殊角的三角函数值，如
2
sin 45°，tan 60°等；④有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000
1…(每相邻两个1之间依次多一个0)等.
2.正负数的意义(2022版新课标新增，理解)
(3)倒数等于它本身的数是⑱________
【对点训练】
1
3.(1)5的相反数是_____，绝对值是___，倒数是____；
5
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－5
1
1
1
(2)－ 的相反数是____，绝对值是____，倒数是_____.
0
零次幂 a ＝㉚___(a≠0)，遇到0次幂，写1即可
运算
法则
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－p
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负整数 a ＝㉛____(a≠0，p为正整数)，特别地，a
＝ (a≠0)
指数幂 口诀：倒底数，反指数
－(＞),
去绝对
(＝),
｜a－b｜＝
值符号
㉜ － (＜)
－1的奇
(为偶数),
n
偶次幂 (－1) ＝ －(为奇数)
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数是___，比
3大的数是_______.
π和2
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知识点7
实数的运算(掌握)(广西2024.19，2023.19；北部湾2022.
19，2021.19，2020.19)
1.常见的实数运算
运算
法则
a n＝
乘方
··⋯·
(其中a是底数，n是指数)
个
(为偶数),
(－a)n＝
－ (为奇数)
负实数
【温馨提示】无理数的常见类型：①开方开不尽的数，如 3， 5等；②π
π
及化简后含有π的数，如 ，π－2等；③部分特殊角的三角函数值，如
2
sin 45°，tan 60°等；④有规律的无限不循环小数，如0.101 001 000
1…(每相邻两个1之间依次多一个0)等.
2.正负数的意义(2022版新课标新增，理解)
(3)倒数等于它本身的数是⑱________
【对点训练】
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3.(1)5的相反数是_____，绝对值是___，倒数是____；
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(2)－ 的相反数是____，绝对值是____，倒数是_____.
实数的运算(41张PPT)数学
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答案
解析
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答案
解析
解析 由题意知b2－10＝0，2a＋b2＝0，
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2b
解析 由数轴知b＜0＜a，且|b|＞|a|，则a－b＞0，所以原式＝a－(a－b)＋b＝a－a＋b＋b＝2b.故答案为2b.
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②原式＝|－4|＝4，符合题意；③原式＝－3，不符合题意；④原式＝－0.8，不符合题意；⑤原式＝3，符合题意；⑥原式＝3，不符合题意.故选C.
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5.以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是( )
解析 若围成长方形，设长为20厘米，则宽为10厘米，长方形面积为200平方厘米；若围成正方形，正方形边长为60÷4＝15(厘米)，面积为225平方厘米；
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②原式＝|－4|＝4，符合题意；③原式＝－3，不符合题意；④原式＝－0.8，不符合题意；⑤原式＝3，符合题意；⑥原式＝3，不符合题意.故选C.
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5.以下是小明的计算过程，请你仔细观察，错误的步骤是( )
解析 若围成长方形，设长为20厘米，则宽为10厘米，长方形面积为200平方厘米；若围成正方形，正方形边长为60÷4＝15(厘米)，面积为225平方厘米；
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实数及其运算教案
实数及其运算教案一、教学目标知识与技能：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的四则运算规则，能够熟练进行实数的加、减、乘、除运算。
3. 能够运用实数及其运算解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例和问题，培养学生的观察、分析、归纳能力。
2. 运用小组合作、讨论等方法，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高对数学学科的兴趣。
2. 培养学生团队协作、积极参与的精神。
二、教学内容第一节：实数的定义及分类1. 实数的定义：实数是包含有理数和无理数的数集。
2. 实数的分类：有理数和无理数。
第二节：实数的四则运算1. 实数的加法：同号相加，异号相减。
2. 实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 实数的乘法：符号相同，积为正；符号不同，积为负。
4. 实数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
三、教学重点与难点重点：1. 实数的定义及分类。
2. 实数的四则运算规则。
难点：1. 实数的乘除运算。
2. 运用实数及其运算解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、问答法、实例分析法进行教学。
2. 使用多媒体课件、黑板、实物等教学手段，辅助学生理解实数及其运算。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活实例，引导学生认识实数及其重要性。
2. 讲解实数的定义及分类，让学生通过实例理解有理数和无理数的特点。
3. 讲解实数的四则运算规则，并通过例题演示运算过程。
4. 组织学生进行小组讨论，运用实数及其运算解决实际问题。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对实数定义、分类和四则运算规则的理解程度。
2. 课堂练习：评价学生运用实数及其运算解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍实数在数学中的应用，如坐标系、函数等。
2. 探讨实数运算在科学研究和实际生活中的意义。
实数及其运算
实数及其运算实数是数学中最基本、最完备的数系之一，它包括整数、有理数和无理数。
一、整数整数包括正整数、负整数和零。
1. 正整数：正整数由自然数（1, 2, 3, ...）及其负数构成，用正号或省略正号表示，例如：+1，+2，+3，...2. 负整数：负整数由自然数加上负号构成，例如：-1，-2，-3，...3. 零：零用0表示。
整数运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法：整数加法遵循整数的符号规则，即同号相加得正，异号相加得负。
例如：(+3) + (+4) = +7，(-5) + (+2) = -3。
2. 减法：减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：(+3) - (+4) = (+3) + (-4) = -1。
3. 乘法：整数乘法遵循整数的符号规则，同号得正，异号得负。
例如：(+3) × (+4) = +12，(-3) × (-4) = +12，(+3) × (-4) = -12。
4. 除法：整数除法有整除和带余除法两种形式。
整除结果为整数，带余除法结果为分数或小数。
例如：7 ÷ 3 = 2（整除），7 ÷ 2 = 3.5（带余除法）。
二、有理数有理数包括整数和分数。
1. 整数：整数是有理数的一种，包括正整数、负整数和零。
2. 分数：分数由整数除以非零整数得到，分子可以为正整数或负整数，分母为正整数。
例如：1/2，-3/4，5/6等。
有理数运算包括加法、减法、乘法和除法，运算规则与整数类似。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数比值的数，无法写成分数形式的数。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（开根号2）、e（自然对数的底数）等。
无理数与有理数的运算可通过近似值进行。
总结：实数是包括整数、有理数和无理数的数系，它涵盖了所有的实际数值。
实数运算包括整数运算、有理数运算，以及无理数的近似计算。
熟练掌握实数及其运算，可以在数学问题中灵活应用，深化对数学的理解和运用能力。
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于识别无理数．
知能迁移1 (1)下列五个实数：3 －8，0，tan 45°，－|－3|，
(1)－1.其中正数的和为
2
A．4
B．5
C．6
D．7
(A)
解析：(3－π)0＋tan45°＋ ( 1)－1＝1＋1＋2＝4，这三个正数的
和等于4，选A.
2
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是
A. 2 B. 3 C．π 3
2
4．(2011·宁波)下列各数中，是正整数的是
A．－1 B. 2 C．0.5 D. 2
(B )
解析：选项中只有2既是正数，又是整数．
5．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875
人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为
A．1.37×109 B．1.37×107
4．运用分类讨论思想，全面解答问题
在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把
实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的
思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全
面地把代数式的值一一求出来，如：
已知abc≠0，且M＝ |a＋| |b＋| |c＋| abc，根据a、b、c的不同
( A)
C．1.37×108 D．1.37×1010
解析：1370536875＝1.370536875×109≈1.37×109.
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类 【例 1】 (1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
A．0 B．1 C．－2 D．－3.5
(C )
解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．
2．注意基本技能的掌握及正确的运算 在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列 变形和计算错误．这些技能包括：分数的通分与约分、运算的 灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用 科学记数法表示数等．
3．利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴 正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来， 把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究．
即 a－p＝ a1p(a≠0，p为正整数) ．
4.实数的大小比较： _正__数___大于零，_负__数___小于零，_正__数___大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比__左_边___的 点所表示的数__大___． 差值法比较：
a－b＞0⇔a＞b a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
a b c |abc|
取值，M有
( B)
A．唯一确定的值
B．三种不同的值
C．四种不同的值
D．八种不同的值
基础自测
1．(2011·金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为
基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据
是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( A )
，无理数的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(B )
解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．
探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循
环小数．初中常见的无理数共分三种类型： (1)含根号且开不尽方的数； (2)化简后含π(圆周率)的式子； (3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助
D．－1
(B )
解析：0< 3 < 9 ，只有 3是0到3之间的无理数，选B.
第一章 数与式
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类 按实数的定义分类：
实数
有理数
整数 分数
正整数 零
负整数 正分数 负分数
自然数 有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
正实数 零 负实数
2．实数的有关概念 (1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线 叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． (2)相反数：只有_符__号___不同，而_绝__对__值__相同的两个数称 为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝__0___. (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商___，叫做 这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝__1___.
5.实数的运算： 实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算 乘除 ，最后算 _加__减___．如果有括号，先算_小__括__号__，再算中__括__号__，最后算 _大__括__号_．同级运算应 从左到右,按顺序进行 .
[ 难点正本 疑点清源 ]
1．正确理解实数相关的概念 在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种 判断和列式错误．这些概念包括：正数、负数、有理数、无理 数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝 对值、数轴、零指数、负整数指数等．
B．－3 C．＋3 D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
2．(2011·衢州)数－2的相反数为
A．2 B. 1 C．－2 D．－ 1
2
2
(A)
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－”号．
3．(2011·义乌)－3的绝对值是
A．3 B．－3 C．－ 1 3
D. 1 3
(A)
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫 做这个数的绝对值．
a (a>0) |a|＝ 0 (a=0)
－a (a<0) |a|是一个非负数，即|a|___≥_0____.
(5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成±a×10n(1≤a＜10,n是整数) 的 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的 数字都叫做这个近似数的有效数字．
(6)平方根，算术平方根，立方根： 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作_±___a___； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__3__a __．
3.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，
知能迁移1 (1)下列五个实数：3 －8，0，tan 45°，－|－3|，
(1)－1.其中正数的和为
2
A．4
B．5
C．6
D．7
(A)
解析：(3－π)0＋tan45°＋ ( 1)－1＝1＋1＋2＝4，这三个正数的
和等于4，选A.
2
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是
A. 2 B. 3 C．π 3
2
4．(2011·宁波)下列各数中，是正整数的是
A．－1 B. 2 C．0.5 D. 2
(B )
解析：选项中只有2既是正数，又是整数．
5．(2011·陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875
人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为
A．1.37×109 B．1.37×107
4．运用分类讨论思想，全面解答问题
在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把
实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的
思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全
面地把代数式的值一一求出来，如：
已知abc≠0，且M＝ |a＋| |b＋| |c＋| abc，根据a、b、c的不同
( A)
C．1.37×108 D．1.37×1010
解析：1370536875＝1.370536875×109≈1.37×109.
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类 【例 1】 (1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
A．0 B．1 C．－2 D．－3.5
(C )
解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有－2符合．
2．注意基本技能的掌握及正确的运算 在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列 变形和计算错误．这些技能包括：分数的通分与约分、运算的 灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用 科学记数法表示数等．
3．利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴 正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来， 把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究．
即 a－p＝ a1p(a≠0，p为正整数) ．
4.实数的大小比较： _正__数___大于零，_负__数___小于零，_正__数___大于一切负数； 在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比__左_边___的 点所表示的数__大___． 差值法比较：
a－b＞0⇔a＞b a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
a b c |abc|
取值，M有
( B)
A．唯一确定的值
B．三种不同的值
C．四种不同的值
D．八种不同的值
基础自测
1．(2011·金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为
基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据
是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( A )
，无理数的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
(B )
解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数．
探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循
环小数．初中常见的无理数共分三种类型： (1)含根号且开不尽方的数； (2)化简后含π(圆周率)的式子； (3)有规律但不循环的无限小数．掌握常见无理数类型有助
D．－1
(B )
解析：0< 3 < 9 ，只有 3是0到3之间的无理数，选B.
第一章 数与式
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类 按实数的定义分类：
实数
有理数
整数 分数
正整数 零
负整数 正分数 负分数
自然数 有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数
正实数 零 负实数
2．实数的有关概念 (1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线 叫做数轴．数轴上所有的点与全体实数一一对应． (2)相反数：只有_符__号___不同，而_绝__对__值__相同的两个数称 为互为相反数．若a、b互为相反数，则a＋b＝__0___. (3)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的__商___，叫做 这个数的倒数．若a、b互为倒数，则ab＝__1___.
5.实数的运算： 实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算 乘除 ，最后算 _加__减___．如果有括号，先算_小__括__号__，再算中__括__号__，最后算 _大__括__号_．同级运算应 从左到右,按顺序进行 .
[ 难点正本 疑点清源 ]
1．正确理解实数相关的概念 在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种 判断和列式错误．这些概念包括：正数、负数、有理数、无理 数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝 对值、数轴、零指数、负整数指数等．
B．－3 C．＋3 D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
2．(2011·衢州)数－2的相反数为
A．2 B. 1 C．－2 D．－ 1
2
2
(A)
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－”号．
3．(2011·义乌)－3的绝对值是
A．3 B．－3 C．－ 1 3
D. 1 3
(A)
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫 做这个数的绝对值．
a (a>0) |a|＝ 0 (a=0)
－a (a<0) |a|是一个非负数，即|a|___≥_0____.
(5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成±a×10n(1≤a＜10,n是整数) 的 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的 数字都叫做这个近似数的有效数字．
(6)平方根，算术平方根，立方根： 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作_±___a___； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根； 如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作__3__a __．
3.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，即 a0＝1(a≠0) ； 任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，