专题—实数及其运算
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
实数的有关概念和性质以及实数的运算
实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
实数集通常用黑正体字母 R 表示。
而表示 n 维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。
在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即a-b=a+(-b)3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。
③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
即（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。
5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。
6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。
实数及其基本运算
实数及其基本运算实数是数学中最基本也是最重要的数。
实数是一种可数的量，它可以被用来度量各种不同物体的大小、长度、数量和其他属性。
它们也用于各种数学运算，例如加、减、乘、除和幂等运算。
在本文中，我们将探讨实数及其基本运算，以帮助读者更好地理解这一概念。
实数的定义实数是由所有有理数和无理数组成的集合。
有理数是可表示为两个整数的比率的数字，而无理数则不能表示为两个整数的比率。
例如，π和√2就是无理数，但3和-5是有理数。
实数集包括所有做图和测量中使用的数字，包括小数和整数。
实数和整数之间的关系整数是实数的一个子集，它包括所有正整数，负整数和零。
整数可以用于数学运算中的加、减、乘和除运算。
实数则包括整数和小数，例如3.5和-2.6。
小数可以表示为整数和分数的比率，例如1/2或3/4，或者是无限循环的小数，例如1/3或π。
实数的性质实数具有许多重要的性质。
它们是可交换和可结合的，这意味着它们可以按任意顺序进行数学运算。
它们还是可分配的，这意味着两个数的乘积可以分别加、减去，并且两个数的和或差的积相等。
实数集还有一个重要的性质就是密度性，这意味着在任意两个实数之间，我们总能够找到另一个实数。
实数的基本运算实数具有许多基本的运算，包括加、减、乘和除。
这些运算可以用于解决各种数学问题，例如计算周长、面积、体积等。
下面是一些基本的实数运算：加法运算在实数加法中，两个实数的和是两个实数相加的结果。
例如，如果a = 3和b = 5，则a + b = 8.实数加法满足以下性质：- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 交换律：a + b = b + a- 存在一个加法单位元素0，使得a + 0 = a- 对于每一个实数a，存在一个加法逆元素-b，使得a + (-b) = 0减法运算在实数减法中，两个实数的差是第一个数减去第二个数的结果。
例如，如果a = 3和b = 5，则a - b = -2.实数减法满足以下性质：- 减法的定义：a - b = a + (-b)- 减法没有交换律：a - b ≠ b - a乘法运算在实数乘法中，两个实数的乘积是两个实数之间的相乘结果。
中考数学专题-实数的有关概念与计算-(解析版)
实数的有关概念与计算姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·安徽中考真题）9-的绝对值是（）A．9B．9-C．19D．19-【答案】A【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可【详解】解：9-的绝对值是：9故选:A【点睛】本题考查绝对值的定义，正确理解定义是关键，熟记负数的绝对值是它的相反数是重点2．（2021·浙江金华市·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（）A．先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30%D．先提价25%，再降价25%【答案】B【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可．【详解】设原件为x元，∵先打九五折，再打九五折，∵调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元，∵先提价50%，再打六折，∵调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元，∵先提价30%，再降价30%，∵调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元，∵先提价25%，再降价25%，∵调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故选B【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键．3．（2021·山东泰安市·中考真题）下列各数：4-， 2.8-，0，4-，其中比3-小的数是（ ） A ．4-B ．4-C ．0D ． 2.8-【答案】A【分析】根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可．【详解】解：∵∵﹣4∵=4，4＞3＞2.8，∵﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∵﹣4∵，∵比﹣3小的数为﹣4，故选：A ．【点睛】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键．4．（2021·四川南充市·中考真题）数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等，则m 为（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．1- 【答案】D【分析】由数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等且2m m +>，可得m 和2m +互为相反数，由此即可求得m 的值．【详解】∵数轴上表示数m 和2m +的点到原点的距离相等，2m m +>，∵m 和2m +互为相反数，∵m +2m +=0，解得m =-1．故选D ．【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m 和2m +互为相反数是解决问题的关键． 5．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列数轴表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【分析】数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断．【详解】解：A 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；B 、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误；C 、没有原点，故表示错误；D 、符合数轴的定定义，故表示正确；故选D ．【点睛】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可．6．（2021·四川泸州市·中考真题）2021的相反数是（ ）A ．2021-B ．2021C ．12021- D ．12021【答案】A【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【详解】解：2021的相反数是：-2021．故选：A ．【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．7．（2021·四川乐山市·中考真题）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作2+，支出5元记作（ ）．A ．5元B ．5-元C ．3-元D ．7元【答案】B【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意得：支出5元记作5-元故选：B ．【点睛】本题考查了正数和负数的知识；解题的关键是熟练掌握正负数的性质，从而完成求解． 8．（2021·浙江中考真题）实数2-的绝对值是（ ）A ．2-B ．2C ．12 D ．12-【答案】B【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：实数-2的绝对值是2，故选：B ．【点睛】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．9．（2021·江苏连云港市·中考真题）3-相反数是（ ）A ．13B ．3-C ．13-D ．3【答案】D【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数称为相反数．【详解】解：3-的相反数是3．故选：D ．【点睛】本题考查了相反数的意义．只有符号不同的两个数为相反数，0的相反数是0．10．（2021·甘肃武威市·中考真题）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为（ ） A ．8510⨯B ．9510⨯C ．10510⨯D ．85010⨯【答案】B【分析】结合科学计数法的表示方法即可求解．【详解】解：50亿即5000000000，故用科学计数法表示为9510⨯，故答案是：B ．【点睛】本题考察科学计数法的表示方法，难度不大，属于基础题。
专题02 实数的运算(三大题型,50题)(解析版)
专题02实数的运算（三大题型，50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、用数轴上的点表示实数，中档题20题，难度三星1．如图，若5x =，则表示2211(1)x x x x -+÷-的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】C 【分析】首先对原式进行化简，然后代入x 的值，最后根据5 2.236≈即可判断．【详解】原式=2211()x x x x x-+-÷=()211x xx x -- =1x -当5x =时，原式=51-∵5 2.236≈∴51 1.236-≈故选C ．【点睛】本题考查了分式的乘除法化简，无理数的估算，无理数的估算是难点，关键是要熟记一些常用的完全平方数，和一些常用无理数的近似值．2．若实数p ，q ，m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足0p q m n +++=，则绝对值最小的数是（）A ．pB ．qC ．mD ．n【答案】C 【分析】根据0p q m n +++=，并结合数轴可知原点在q 和m 之间，且离m 点最近，即可求解．A．a b>B．π+A．πB．1【答案】B【分析】根据数轴与实数的一一对应关系解答即可．A ．a b-+B ．a b +C ．a 【答案】21π--【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【答案】32-或32+【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵点A 表示的数为3，点B 表示的数为4，∴1AB =，此时C '表示的数为：32-；当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使得点C 落在数轴上的点C '处时，如图：此时C '表示的数为：32+；【答案】2π2+【分析】先求出圆的周长为2π，再利用数轴的性质求解即可得．【详解】解：由题意可知，将圆沿数轴向右转动一周，转动的距离为∴点A 向右移动了2π个单位长度，【答案】280905--+/809052【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第移动25个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________；(2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示10的点；并简洁地说明理由．(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示理由．【答案】(1)10（3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为所以，其边长为5，在数轴上截取5==，CDOC OK则点K表示的数为5，点D表示的数【点睛】本题主要考查正方形的性质以及网格，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．20．阅读下面的文字，解答问题．大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．二、实数的大小比较，中档题15题，难度三星π-<-<根据数轴上点的特点可得： 1.5333．在数轴上表示数0，π-303π-<-<<．2【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，能利用数轴比较实数的大小是解此题的关键，注意：。
专题实数的运算计算题(共45小题)
七年级下册数学《第六章 实 数》 专题 实数的运算计算题（共45小题）1．（2022秋•招远市期末）计算： （1）（√5）2+√(−3)2+√−83；（2）（﹣2）3×18−√273×（−√19）．【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可求出值； （2）原式利用乘方的意义，算术平方根及立方根定义计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝5+3+（﹣2） ＝8﹣2 ＝6；（2）原式＝（﹣8）×18−3×（−13） ＝（﹣1）﹣（﹣1） ＝﹣1+1 ＝0．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2022•庐江县二模）计算：√0.04+√−83−√1−925． 【分析】先计算被开方数，再开方，最后加减． 【解答】解：原式＝0.2﹣2−√1625 ＝0.2﹣2−45 ＝0.2﹣2﹣0.8 ＝﹣2.6．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握开方运算是解决本题的关键． 3．（2022春•上思县校级月考）计算： （1）−12+√16+|√2−1|+√−83； （2）2√3+|√3−2|−√643+√9．【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案；（2）直接利用算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）−12+√16+|√2−1|+√−83； ＝﹣1+4+√2−1﹣2 =√2；（2）原式＝2√3+2−√3−4+3 =√3+1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．4．（2022春•渝中区校级月考）实数的计算： （1）√16+√(−3)2+√273； （2）√−33+|1−√33|﹣（−√3）2．【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减； （2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减； 【解答】解：（1）√16+√(−3)2+√273＝4+3+3 ＝10；（2）√−33+|1−√33|﹣（−√3）2=−√33+√33−1﹣3 ＝﹣4．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．5．（2022秋•原阳县月考）计算： （1）√−83+√4−(−1)2023；（2）(−√9)2−√643+|−5|−(−2)2．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）√−83+√4−(−1)2023 ＝﹣2+2﹣（﹣1）＝0+1 ＝1；（2）(−√9)2−√643+|−5|−(−2)2 ＝9﹣4+5﹣4 ＝6．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．6．（2022春•牡丹江期中）计算： （1）−12−√0.64+√−273−√125；（2）√3+√(−5)2−√−643−|√3−5|．【分析】（1）先计算平方、平方根和立方根，再进行加减运算； （2）先计算平方根、立方根和绝对值，再进行加减运算． 【解答】解（1）−12−√0.64+√−273−√125＝﹣1﹣0.8﹣3﹣0.2 ＝﹣5；（2）√3+√(−5)2−√−643−|√3−5| =√3+5+4+√3−5 ＝2√3+4．【点评】此题考查了运用平方根和立方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．7．（2022秋•南关区校级期末）计算：√16−(−1)2022−√273+|1−√2|．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、绝对值的性质、平方根的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式＝4﹣1﹣3+√2−1 =√2−1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．8．（2022秋•成武县校级期末）计算：﹣12022−√643+|√3−2|．【分析】这里，先算﹣12022＝﹣1，√643=4，|√3−2|＝2−√3，再进行综合运算．【解答】解：﹣12022−√643+|√3−2|＝﹣1﹣4+2−√3 ＝﹣3−√3．【点评】本题考查了实数的综合运算，计算过程中要细心，注意正负符号，综合性较强．9．（2022春•昌平区校级月考）√1253+√(−3)2−√1−35273．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：√1253+√(−3)2−√1−35273＝5+3−√−8273＝5+3﹣（−23） ＝5+3+23 ＝823．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．10．（2022春•舒城县校级月考）计算：√−273+12√16+|−√2|+1．【分析】首先计算开方、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：√−273+12√16+|−√2|+1 ＝﹣3+12×4+√2+1 ＝﹣3+2+√2+1 =√2．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 11．（2022春•舒城县校级月考）计算：﹣12+|﹣2|+√−83+√(−3)2．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：﹣12+|﹣2|+√−83+√(−3)2＝﹣1+2+（﹣2）+3＝﹣1+2﹣2+3 ＝2．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．12．（2021秋•镇巴县期末）计算：(−1)10+|√2−2|+√49+√(−3)33． 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可． 【解答】解：原式=1+2−√2+7−3 =7−√2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握对值，立方根以及平方根的运算法则是关键．13．（2022春•阳新县期末）计算：|√3−2|+√−83×12+（−√3）2．【分析】先算开方和乘方，再化简绝对值算乘法，最后加减． 【解答】解：原式＝2−√3+（﹣2）×12+3 ＝2−√3−1+3 ＝4−√3．【点评】本题考查了实数的运算，掌握乘方、开方及绝对值的意义是解决本题的关键．14．（2022春•十堰期中）计算：﹣12022+√(−4)2+√83+10√925．【分析】先算乘方、开方，再算乘法，最后算加减． 【解答】解：原式＝﹣1+4+2+10×35 ＝﹣1+4+2+6 ＝11．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则、实数的运算顺序是解决本题的关键． 15．（2021秋•峨边县期末）计算：|√5−3|+√(−2)2−√−83+√5． 【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：原式＝3−√5+2+2+√5 ＝7．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．16．（2021秋•乳山市期末）计算：√(−3)2−2×√94+52×√−0.0273．【分析】应用实数的运算法则：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式＝3﹣2×32+52×（﹣0.3） ＝3﹣3−52×310 ＝0−34 =−34．【点评】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算进行求解是解决本题的关键．17．（2022秋•横县期中）计算：（﹣1）2022+√9−（2﹣3）÷12．【分析】先计算乘方与开方和小括号里的，再计算除法，最后计算加减即可． 【解答】解：原式＝1+3﹣（﹣1）×2 ＝4+2 ＝6．【点评】此题考查的实数的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．18．（2022秋•儋州校级月考）计算： （1）√643−√81+√1253+3； （2）|−3|−√16+√83+(−2)2．【分析】（1）直接利用立方根的性质、平方根的性质分别化简，进而计算得出答案； （2）直接利用立方根的性质、平方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝4﹣9+5+3 ＝3；（2）原式＝3﹣4+2+4 ＝5．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．19．（2022秋•海曙区校级期中）计算： （1）﹣23+√−273−（﹣2）2+√1681；（2）（﹣3）2×（﹣2）+√643+√9．【分析】（1）先计算乘方、立方根和平方根，再计算加减； （2）先计算乘方、立方根和平方根，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解：（1）﹣23+√−273−（﹣2）2+√1681＝﹣8﹣3﹣4+49＝﹣1459；（2）（﹣3）2×（﹣2）+√643+√9＝﹣9×2+4+3 ＝﹣18+4+3 ＝﹣11．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法．20．（2022秋•安岳县校级月考）计算： （1）（√3）2−√16+√−83；（2）（﹣2）3×√1214+（﹣1）2013−√273； （3）√(−4)2+√214+√3383−√32+42．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（√3）2−√16+√−83＝3﹣4+（﹣2） ＝﹣3；（2）（﹣2）3×√1214+（﹣1）2013−√273＝﹣8×112+（﹣1）﹣3＝﹣44﹣1﹣3＝﹣48；（3）√(−4)2+√214+√3383−√32+42＝4+32+32−5＝2．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．21．（2022秋•隆昌市校级月考）计算：（1）|−3|−√16+√−83+(−2)2；（2）√−273+|2−√3|−(−√16)+2√3．【分析】（1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．（2）首先计算开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：（1）|−3|−√16+√−83+(−2)2＝3﹣4+（﹣2）+4＝1．（2）√−273+|2−√3|−(−√16)+2√3＝﹣3+（2−√3）﹣（﹣4）+2√3＝﹣3+2−√3+4+2√3＝3+√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．22．（2021秋•泉州期末）计算：√(−3)2×√−1 83−(12)2+(−1)2022．【分析】先算乘方和开方，再算乘法，最后算加减．【解答】解：原式＝3×（−12）−14+1=−32−14+1 =−12−14=−34．【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握平方根的性质、乘方运算、开方运算是解决本题的关键．23．（2022秋•新野县期中）计算：√−83+√9−√1916+(−1)2022+|1−√2|． 【分析】利用立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算，绝对值的定义计算即可． 【解答】解：√−83+√9−√1916+(−1)2022+|1−√2|． ＝﹣2+3−54+1+√2−1 =−14+√2．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算，绝对值的定义．24．（2021秋•新兴区校级期末）计算下列各题： （1）√1−19273+√(14−1)2； （2）√53−|−√53|+2√3+3√3．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）√1−19273+√(14−1)2=√8273+√(−34)2=23+34 =1712；（2）√53−|−√53|+2√3+3√3 =√53−√53+2√3+3√3 ＝5√3．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．25．（2022秋•绥德县期中）计算：2(√3−1)−|√3−2|−√643． 【分析】先去括号，化简绝对值，开立方，再计算加减即可． 【解答】解：原式＝2√3−2﹣（2−√3）﹣4 ＝2√3−2﹣2+√3−4 ＝3√3−8．【点评】本题考查实数的混合运算，平方根加法，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．26．（2022秋•义乌市校级期中）计算：﹣22×（﹣112）2−√−643−√169×|﹣3|． 【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【解答】解：﹣22×（﹣112）2−√−643−√169×|﹣3|＝﹣4×94−（﹣4）−43×3 ＝﹣9+4﹣4 ＝﹣9．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．27．（2022秋•西湖区校级期中）计算： （1）|7−√2|﹣|√2−π|−√(−7)2；（2）﹣22×√(−4)2+√(−8)33×（−12）−√273．【分析】（1）先化简绝对值和平方根，再计算加减； （2）先算乘方和根式，再计算乘法，最后加减． 【解答】解：（1）|7−√2|﹣|√2−π|−√(−7)2 ＝7−√2−（π−√2）﹣7 ＝7−√2−π+√2−7 ＝﹣π；（2）﹣22×√(−4)2+√(−8)33×（−12）−√273 ＝﹣4×4+（﹣8）×（−12）﹣3＝﹣16+4﹣3＝﹣15．【点评】本题考查了实数的混合运算，实数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行实数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．28．（2022秋•沈丘县校级月考）计算：√0.01×√121+√−11253−√0.81． 【分析】直接利用平方根的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝0.1×11−15−0.9＝1.1﹣0.2﹣0.9＝0．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．29．（2022春•西山区校级期中）计算：5−2×(√7−2)+√−83+|√3−2|．【分析】直接利用立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝5﹣2√7+4﹣2+2−√3＝9﹣2√7−√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．30．（2022春•东莞市期中）计算：√(−3)2+（﹣1）2020+√−83+|1−√2| 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：√(−3)2+（﹣1）2020+√−83+|1−√2| ＝3+1+（﹣2）+√2−1＝3+1﹣2+√2−1＝1+√2．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．31．（2022秋•安溪县月考）计算：√16+√−273−√3−|√3−2|+√(−5)2．【分析】直接利用立方根的性质、绝对值的性质算术平方根的性质分别化简，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3−√3−2+√3+5＝4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．32．（2022秋•仁寿县校级月考）计算：√−8273+√(−4)2×(−12)3−|1−√3|． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：√−8273+√(−4)2×(−12)3−|1−√3|=−23+4×（−18）﹣（√3−1） =−23+（−12）−√3+1=−76−√3+1=−16−√3．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．33．（2022春•海淀区校级期中）计算：√81+√−273−2(√3−3)−|√3−2|．【分析】本题涉及去掉绝对值、根式化简考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝9﹣3﹣2√3+6﹣（2−√3）＝6﹣2√3+6﹣2+√3＝10−√3．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是准确熟练地化简各式是解题的关键．34．（2022春•梁平区期中）计算：√(−1)33+√−273+√(−2)2−|1−√3|．【分析】利用算术平方根，立方根和绝对值的意义化简运算即可．【解答】解：原式＝﹣1+（﹣3）+2﹣（√3−1）＝﹣1﹣3+2−√3+1＝﹣1−√3．【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．35．（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+√(−2)2−√643+|√3−2|． 【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、平方根的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2﹣4+2−√3＝﹣1−√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．36．计算下列各题：（1）√1+√−273−√14+√0.1253+√1−6364（2）|7−√2|﹣|√2−π|−√(−7)2【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；（2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝1﹣3−12+0.5+18=−178； （2）原式＝7−√2−π+√2−7＝﹣π．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．37．计算：√0.0083×√1916−√172−82÷√−11253． 【分析】首先计算开方、乘法和除法，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：√0.0083×√1916−√172−82÷√−11253＝0.2×54−15÷（−15）=14+75 ＝7514【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．38．计算：3√3−2（1+√3）+√(−2)2+|√3−2|【分析】首先利用去括号法则以及绝对值的性质和算术平方根的定义分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3√3−2﹣2√3+2+2−√3＝2．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．39．计算：（1）√(−2)2×√214−23×√(−18)23（2）√9+|1−√2|−√125273×√(−3)2+|4√0.25−√2|【分析】（1）首先计算开方和乘法，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）√16+√32+√−83＝4+3﹣2＝5（2）√(−2)2×√214−23×√(−18)23 ＝2×32−8×14＝3﹣2＝1（3）√9+|1−√2|−√125273×√(−3)2+|4√0.25−√2|＝3+√2−1−53×3+2−√2＝﹣1【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．40．计算：（﹣2）2×√14+|√−83|+√2×（﹣1）2022 【分析】原式利用平方根、立方根定义，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可得到结果；【解答】解：原式＝2+2+√2=4+√2；【点评】此题考查了实数的运算，平方根、立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．41．计算：﹣22+√16+√83+1014×934． 【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用立方根定义计算，最后一项利用乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣4+4+2+414×394=2+159916=1011516． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．42．计算：|﹣5|−√273+（﹣2）2+4÷（−23）． 【分析】根据绝对值的性质、立方根的性质以及实数的运算法则化简计算即可；【解答】解：原式＝5﹣3+4﹣6＝0【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是：掌握先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．43．（2022秋•城关区校级期中）计算：（1）√12+(√3)2+14√48−9√13；（2）√(−3)2+(−1)2022+√83+|1−√2|．【分析】（1）直接利用平方根的性质分别化简，进而计算得出答案；（2）直接利用平方根的性质、有理数的乘方运算法则、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝2√3+3+14×4√3−9×√33 ＝2√3+3+√3−3√3＝3；（2）原式＝3+1+2+√2−1＝5+√2．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．44．（2021春•濉溪县期末）计算：√49−√273+|1−√2|+√(1−43)2．【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用平方根性质化简即可得到结果．【解答】解：原式＝7﹣3+√2−1+13=103+√2． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．45．（2022秋•岳麓区校级月考）计算−12022+(12)2+|√2−3|−√(−3)2．【分析】根据乘方，绝对值的意义，平方根的性质将原式进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可．【解答】解：原式=−1+14+3−√2−3，=−34−√2．【点评】本题考查了乘方，绝对值的意义，平方根的性质，掌握相关运算法则是关键．。
专题3 实数的运算(考点讲练)(解析版)
专题3 实数的运算考点一：实数的大小比较1．（2022·四川成都·中考模拟）在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是（ ） A ． 3.14− B ．－3C ．3−D ．π−【答案】D【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可． 【详解】解：∵ 3.14 3.14−=， ∴33 3.14p --<-<-＜，在实数 3.14−，－3，3−，π−中，最小的数是：π− ； 故选：D ．【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．2．（2022·湖南益阳·21，2，3中，比0小的数是（ ）A 2B ．1C ．2D ．13【答案】A【分析】利用零大于一切负数来比较即可．【详解】解：根据负数都小于零可得，﹣2＜0，故A 正确． 故选：A ．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解答此题关键要明确：正实数＞零＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．是（ ）A ．0a >B ．a b <C ．10b −<D ．0ab >【答案】B【分析】观察数轴得：2123a b −<<−<<<，再逐项判断即可求解．【详解】解：观察数轴得：2123a b −<<−<<<，故A 错误，不符合题意；B 正确，符合题意；∴10b−>，故C错误，不符合题意；∴0ab<，故D错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．4．（2022·广东深圳·中考二模）下列数中，大于－1且小于0的是（）A．3B．32−C．23−D．23【答案】C【分析】根据各数的取值范围，即可一一判定．【详解】解：132<<Q，31∴−<−，故A不符合题意；312−<−，故B不符合题意；2103−<−<，故C符合题意；203>，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握和运用实数大小的比较方法是解决本题的关键．5．（2022·天津红桥·中考三模）估计17−的值在（）．A．5−和4−之间B．4−和3−之间C．3−和2−之间D．2−和1−之间【答案】A【分析】先估算4175<<，再由几个负数比较大小，绝对值越小的数越大．【详解】解：161725<<Q4175∴<<4175∴−>−>−故选：A．【点睛】本题考查无理数的估算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．6．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小：2______3（填写“>”或“<”或“＝”）．【答案】＞【分析】比较两者平方后的值即可． 【详解】解：221()22=Q ，231()33=，1123>Q ， ∴2323>．故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果． 7．（2022·海南·中考真题）写出一个比3大且比10小的整数是___________． 【答案】2或3【分析】先估算出3、10的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵32< ，310< ∴32310<<<即比3大且比10小的整数为2或3， 故答案为：2或3【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．考点二：实数的基本运算A ．1﹣2B ．﹣π＋3C ．（﹣3）×（﹣5）2D ．|5【答案】D【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A 、原式=﹣1，不符合题意； B 、原式＜0，不符合题意；C 、原式=﹣3×25＝﹣75，不符合题意；D 、原式=55，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了实数，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． A ．1332B 342=C 8220=D 2632=【答案】C【分析】根据实数的运算法则即可求解；【详解】解：A.1234332÷=≠，故错误； B.342≠，故错误；C.8220−=，故正确；D.262332⨯=≠，故错误； 故选：C ．【点睛】本题主要考查实数的计算，掌握实数计算的相关法则是解题的关键． A 31− B ．12−C 32D ．32【答案】B【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：sin30°−tan45° ＝12−1 ＝−12， 故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（2022·重庆中考二模）计算：122⎛⎫−+= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．4C ．-2D ．32【答案】B【分析】先求绝对值，负整指数幂，再进行实数的加法运算． 【详解】解：1122242−⎛⎫−+=+= ⎪⎝⎭，故选：B ．【点睛】本题考查了实数的运算，正确理解实数的运算法则是解本题的关键．12．（2022·广东深圳·中考模拟预测）计算021(12)−+−的结果是（ ）A ．1B 2C ．22D ．221【答案】B【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【详解】解：原式2112=−+=， 故选B ．【点睛】此题考查了实数的运算、去绝对值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y 的值是2，则输入x 的值是 _____．【答案】1【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y 的值是2， ∴上一步计算为121x=+或221x =− 解得1x =（经检验，1x =是原方程的解），或32x = 当10x =>符合程序判断条件，302x =>不符合程序判断条件 故答案为：1【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 14．（2022·陕西·中考真题）计算：325−=______． 【答案】2−【分析】先计算25=5，再计算3-5即可得到答案． 【详解】解：325352−=−=−． 故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简25=5是解答本题的关键． 15．（2022·四川攀枝花·中考真题）038(1)=−−−__________． 【答案】3−【分析】根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可． 【详解】解：原式213=−−=−． 故答案为：3−．【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．16．（2022·辽宁阜新·中考真题）计算：224−−=______．【答案】74−【分析】先计算22−、4，再算减法． 【详解】解：原式17244=−=−． 故答案为：74−．【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键． 17．（2022·广东肇庆·中考二模）计算：31008÷=______________． 【答案】5【分析】根据算术平方根的定义及立方根的定义化简，再计算除法． 【详解】解：31008÷=5210=÷， 故答案为：5．【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握算术平方根的定义及立方根的定义是解题的关键．18．（2022·湖北黄石·中考真题）计算：20(2)(20223)−−−=____________． 【答案】3【分析】根据有理数的乘法与零次幂进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝413−=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂以及有理数的乘方运算是解题的关键．考点三：实数的混合运算19．（2022·广东·佛山市中考模拟）计算0312(2017)()2π−−−−+的结果为（ ）A ．3−B ．3C ．6D ．9【答案】D【分析】先化简绝对值，计算零次幂与负整数指数幂，再化简即可． 【详解】解：031|2|(2017)()2π−−−−+218=−+189=+=故选D【点睛】本题考查的是化简绝对值，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握“零次幂与负整数指数幂：()()0110,0ppa a a a a −=≠=≠”是解本题的关键． 20．（2022·山东威海·中考模拟）计算3024(1)(1)2π−+−−−−的结果是（ ）A ．74B ．34C ．14D ．14−【答案】D【分析】根据二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则先进行化简，然后再计算即可．【详解】解：原式()12114=+−−−12114=−−−14=−故选：D ．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，零指数幂、负整数指数幂、乘方的运算法则，是解题的关键． 21．（2022·江苏南京·中考模拟）计算2323的结果是（ ）A 23B ．23C ．23−D 23【答案】A【分析】把较高次幂拆分后逆用积的乘方法则，进行运算即可得解． 【详解】解：()()202120202323+− = ()()20202020=(23)2323++−()()2020=(23)[2323]++−222020=(23)[(2)(3)]+− 2020=(23)(1)+⨯−=23+故选：A【点睛】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则是关键．22．（2022·广东·东莞市中考三模）计算：|2|3sin 302(2022)−+−−−︒等于（） A ．2−B ．12−C ．2D ．0【答案】C【分析】先化简绝对值，求解特殊角的三角函数，负整数指数幂，零次幂，再进行加减运算即可．【详解】解：10|2|3sin 302(2022)π−−+−−−︒1123122=+?- 312122=+−− =2， 故选C ．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数，零次幂，负整数指数幂的含义，绝对值的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．23．（2022·广东惠州·中考二模）01tan60|3|(3)122π︒⎛⎫−−−−+−= ⎪⎝⎭__________．【答案】-1【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简等计算法则求解即可．【详解】解：101tan60|3|(3)122π−⎛⎫−−−−+−⎪︒+ ⎝⎭=233123−−−++=1−故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．24．（2022·山东泰安·中考三模）()02281212cos 45π−−+−−++−︒=________．【答案】74【分析】根据负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：原式＝()1222211242−+−−+−⨯1114=−++7=4故答案为：74【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整指数幂，二次根式的性质，化简绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．25．（2022·重庆长寿·中考模拟）计算：201131216012π12tan −−−+−︒+⋅−=−（）（）__________． 【答案】-4【分析】根据有理娄数的乘方、负整数指数幂、特殊三角函数值、二次根式的化简、零指数幂、绝对值的概念计算即可．【详解】解：1213121tan 601212π−︒⎛⎫−⎛⎫−+−+⋅− ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭=241312331−+−+⨯−−=()()()231431233131+−+−+−−+=4313123−+−++− =-4【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握有关运算法则．26．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）计算：0312cos30(3π)82︒⎛⎫−++−− ⎪⎝⎭．【答案】31+【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．【详解】原式1321(2)122=+⨯+−−−2312=−+++31=+．【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．27．（2022·湖南·中考真题）计算：012cos 45( 3.14)12()2π−︒+−++．【答案】222+【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得【详解】解：原式2212122=⨯++−+ 222=+．【点晴】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，解题的关键是掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质． 28．（2022·湖南郴州·中考真题）计算：()2022112cos30133⎛⎫−−︒++ ⎪⎝⎭．【答案】3【分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的计算方法计算即可． 【详解】解：原式()3123132=−⨯+−+13313=−+−+ =3．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的运算法则等知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．29．（2022·广东中考三模）计算：()0120222sin 6032123π⎛⎫+−+︒ ⎪⎝⎭【答案】1223−【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，然后即可求解． 【详解】解：原式＝391223232++⨯+−− 9132323=+++−− 1223=−．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 30．（2022·湖南·0332cos60820222π+︒． 【答案】13−【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算法则进行计算，再相加减可得结果．【详解】解：原式=33−+211822⨯−⨯−1=33−+1﹣2﹣1 =13−．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算是解决本题的关键．31．（2022·四川德阳·中考真题）计算：()()0212 3.143tan 60132π−+−−︒+−+−． 【答案】14【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．【详解】解：0212 3.143tan 6013())2(π−+−−︒+−+−123133314=+−+−+ 14=． 【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．。
中考数学专题复习一实数及其运算
专题01有理数考点一：有理数之正数和负数◎基础巩固1.正数和负数的定义：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数。
0既不是正数也不是负数。
2.正数和负数的意义：表示具有相反意义的两个量。
3.正负号的化简：同号为正，异号为负。
◎同步练习1．下列各数是负数的是（）A ．0B ．21C ．﹣（﹣5）D ．﹣52．下列各数为负数的是（）A ．﹣2B ．0C ．3D ．53．四个实数﹣2，1，2，31中，比0小的数是（）A ．﹣2B ．1C ．2D ．314．在﹣3，1，21，3中，比0小的数是（）A ．﹣3B ．1C ．21D ．35．若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A ．﹣2℃B ．+2℃C ．﹣3℃D ．+3℃6．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A ．+20元B ．﹣20元C ．+30元D ．﹣30元7．在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km 记做“+2km ”，那么向西走1km 应记做（）A ．﹣2km B ．﹣1km C ．1km D ．+2km8．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（）A ．10℃B ．0℃C ．﹣10℃D ．﹣20℃9．（如果水位升高2m 时水位变化记作+2m ，那么水位下降2m 时水位变化记作．10．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走5米，记作+5米，那么向西走5米，可记作米．考点二：有理数之相反数◎基础巩固1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
我们说其中一个数是另一个数的相反数。
0的相反数还是0。
2.相反数的性质：互为相反数的两个数和为0。
即a 与b 互为相反数⇔0=+b a ⇔()a b b a -=-=◎同步练习11．实数9的相反数等于（）A ．﹣9B ．+9C ．91D ．﹣9112．下列各数中，﹣1的相反数是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．213．﹣2022的相反数是．14．如图，数轴上点A 表示的数的相反数是（）A ．﹣2B ．﹣21C ．2D ．3考点三：有理数之绝对值◎基础巩固1.绝对值的定义：数轴上表示数a 的点到原点的距离用数a 的绝对值来表示。
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解析：由实数的分类可知，－2是负整数，故选C.答案：C5．(2008·金华)如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为()A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨解析：因互为相反意义的量中，一个用“＋”表示，则另一个用“－”表示，所以运出5吨可表示为－5吨，故选A.答案：A6．2010·湖州)2010年5月，湖州市第11届房交会总成交金额约2.781亿元．近似数2.781亿元的有效数字的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2.781中有4个有效数字，故选D.答案：D7．(2010·绍兴)自上海世博会开幕以来，中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光．据预测，在会展期间，参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000，此数用科学记数法表示是()A．1.49×106 B．0.149×108 C．14.9×107 D．1.49×107解析：由科学记数法的形式a×10n，(1≤|a|<10，n为整数)可得14 900 000＝1.49×107.故选D.答案：D8．(2010·宁波)据《中国经济周刊》报道，上海世博会第四轮环保活动投资总额高达820亿元，其中820亿用科学记数法表示为()A．0.82×10 11B．8.2×1010C．8.2×109D．82×108解析：因820亿＝820×108＝8.2×1010，故选B.答案：B9．(2009·嘉兴)用四舍五入法，精确到0.1，对5.649取近似值的结果是________．解析：由题目要求可得5.649≈5.6.答案：5.610．(2010·嘉兴)据统计，2009年嘉兴市人均GDP约为4.49×104，比上年增长7.7%.其中，近似数4.49×104有_____个有效数字．解析：因为4.49×104中有效数字分别是4,4,9.共3个．答案：3实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 正实数⎩⎨⎧ 正有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 正整数正分数正无理数零(既不是正数也不是负数)负实数⎩⎨⎧ 负有理数⎩⎪⎨⎪⎧ 负整数负分数负无理数温馨提示：正确理解实数的分类，特别注意2π是无理数，不是分数；227是分数，不是无理数。
（三） 科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数法把一个数N 表示成a ×10n (1≤|a|＜10，n 是整数)的形式叫科学记数法．当|N|≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当|N|＜1且N ≠0时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第一个不为0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、【中考典例精析】类型一 实数的有关概念(1)－5的倒数是( )A ．5 B.15 C ．－5 D ．－15(2)－5的相反数是( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－15(3)41-的绝对值是( ) A ．－4 B ．－14 C.14D ．4 (4)下列实数中，是无理数的为( )A ．3.14 B.13C. 3D.9 【点拨】解决此类题的关键是准确掌握实数的有关概念．【答案】(1)D(2)A(3)C(4)C类型二科学记数法、近似数与有效数字(1)2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470 000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为()A．3 B．4 C．5 D．6(2)据统计，2010年一季度，浙江城镇居民人均可支配收入6 631.67元，那么这个数的有效数字的个数是()A．2 B．4 C．5 D．6(3)横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥(Shenzhen Bay Bridge)是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4 770米，这个数字用科学记数法表示为(保留两个有效数字)()A．47×102 B．4.7×103C．4.8×103D．5.0×103(4)2008北京奥运会火炬传递的路程约为13.7万公里．近似数13.7万是精确到()A．十分位B．十万位C．万位D．千位【点拨】用科学记数法表示的数必须满足a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止．【答案】(1)C(2)D(3)C(4)D四、【易错题探究】1．把61万用科学记数法可表示为()A．6.1×104B．6.1×105C．6.0×105D．61×104【解析】61万＝61×104＝6.1×105，故选B.【易错警示】科学记数法a×10n中，要注意a的取值范围；审题时不仔细，容易漏掉61后面的单位．2．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是()A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字【解析】理解近似数的概念是关键，8.8×103＝8 800,8.8×103中，第二个8在百位，所以精确到百位，8.8中有两个有效数字，故选C.【易错警示】用科学记数法a×10n(1≤|a|<10，n为整数)表示的数，精确度看a中最后一位在原数中的位置；有效数字只看a中所有数字的个数．五、【课堂基础检测】1．下列各数中，相反数等于5的数是( )A ．－5B ．5C ．－15 D.15答案：A2．－6的绝对值是( )A ．6B ．－6C ．＋16D ．－16答案：A3．在实数5、37、π、 4 中，无理数是( ) A ．5 B.37C ．π D. 4 答案：C4．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作( )A ．－18%B ．－8%C ．＋2%D ．＋8%答案：B5．2010年一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是( )A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×104答案：B6．若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( )A ．－4B ．－1C ．0D ．4答案：B7．作为历史上第一个正式提出“低碳世博”理念的世博会，上海世博会从一开始就确定以“低碳、和谐、可持续发展的城市”为主题．如今在世博场馆和周边共运行着一千多辆新能源汽车，为目前世界上规模最大的新能源汽车示范运行，预计将减少温室气体排放约28 400吨．将28 400吨用科学记数法表示为( )A ．0.284×105吨B ．2.84×104吨C ．28.4×103吨D ．284×102吨答案：B六、【课后达标练习】一、选择题1．－12的相反数是( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 解析：因－(－12)＝12，故选A.9．甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000 000 081米，用科学记数法可表示为()A．8.1×10－9米B．8.1×10－8米C．81×10－9米D．0.81×10－7米解析：因为0.000 000 081＝8.1×10－8，故选B.答案：B10．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10……这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是()A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31解析：由前三个图的规律类推可得36＝15＋21，故选C.答案：C二、填空题11．在数轴上表示－ 6 的点到原点的距离为________．解析：因为|－6|＝ 6.答案： 612．上海世博会预计约有69 000 000人次参观，69 000 000用科学记数法表示为________.解析：因为69 000 000＝6.9×107.答案：6.9×10713．有一组数列：2，－3,2，－3,2，－3,2，－3，…，根据这个规律，那么第2 011个数是________．解析：因2和－3循环，第奇数个为2，所以第2 011个数为2.答案：214．地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示(保留2个有效数字)约为________千米．解析：答案：1.5×108因为149 600 000＝1.496×108≈1.5×108.15．将自然数按以下规律排列，则2 008所在的位置是第________行第________列．第一列第二列第三列第四列…第一行12910…第二行43811…第三行56712…第四行16151413…第五行 17 ……解析：由产生前四行的规律类推可得第2 008所在位置为第18行第45列．答案：18 45三、解答题16．如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是－3和1－x 2－x，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值．答案：解：∵点A 、B 到原点的距离相等，∴－3＋1－x 2－x＝0， 解得x ＝52，经检验x ＝52是原方程的解． 即：x 的值为52.第2讲 实数的运算及大小比较一、【三年中考】1．(2010·温州)给出四个数0，2，－12，0.3，其中最小的是( ) A ．0 B. 2 C ．－12D ．0.3 解析：因为正数>0>负数，所以－12最小，故选C. 答案：C2．(2010·金华)如图，若A 是实数a 在数轴上所对应的点，则关于a ，－a,1的大小关系表示正确的是( )A ．a<1<－aB ．a<－a<1C ．1<－a<aD ．－a<a<1解析：在数轴上可表示出－a 的位置可得a<1<－a.故选A.答案：A3．(2010·义乌)28 cm 接近于( )A ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度解析：因28 cm ＝256 cm ，所以选C.答案：C4．(2009·丽水)在下面四个数中，比0小的数是( )A ．0.5B ．－2C ．1D ．3解析：因为负数<0，故选B.答案：B5．(2009·嘉兴)实数x ，y 在数轴上的位置如图所示，则( )A ．x>y>0B ．y>x>0C ．x<y<0D ．y<x<0解析：因为数轴上的点表示的数右边总比左边大，所以y>x>0.故选B.答案：B6．(2008·绍兴)下列计算结果等于1的是( )A ．(－2)＋(－2)B ．(－2)－(－2)C ．－2×(－2 )D ．(－2)÷(－2)解析：A 中(－2)＋(－2)＝－4，B 中(－2)－(－2)＝0，C 中－2×(－2)＝4.D 中(－2)÷(－2)＝1，故选D. 答案：D7．(2010·嘉兴)比较大小：22________π.(填“>”，“<”或“＝”)解析：因为22≈2.828，π≈3.141 59，所以22<π.答案：<8．(2009·衢州)计算：(2－1)0＝________.解析：因为a 0(a ≠0)＝1，所以(2－1)0＝1.答案：19．(2009·绍兴)计算：(－12)－1－12＋(1－2)0＋4sin60°. 解：原式＝－2－23＋1＋4×32＝－2－23＋1＋23＝－1. 二、【考点知识梳理】（一） 实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方六种，其中减法转化为加法运算，除法、乘方都转化为乘法运算．2．在实数范围内运算顺序是：先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．同一级运算，从左到右依次进行．（二）零指数、负整数指数幂若a≠0，则a0＝1；若a≠0，n为正整数，则a－n＝1 a n.(三)实数的大小比较1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，两个负数比较，绝对值大的反而小.2．设a、b是任意两个数，若a－b＞0，则a > b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a < b.3．实数大小比较的特殊方法①平方法：由3＞2，则3> 2；②商比较法：已知a＞0、b＞0，若ab＞1，则a > b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a < b.③近似估算法；④中间值法．4．n个非负数的和为0，则这n个非负数同时为0.例如：若|a|＋b2＋c＝0，则a＝b＝c＝0.温馨提示：1.注意零指数、负整指数的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关。