第1课 实数及其运算
第1讲实数
而太阳的中心的温度达到了 19200000℃，用科学记数法可将
19200000 表示为( C )
A．1.92×106
B．1.92×107
C．19.2×106
D．0.192×107
5．(2012·丽水)如图，数轴的单位长度为 1，如果点 A，B 表
示的数的绝对值相等，那么点 A 表示的数是( B )
A．－4 B．－2 C．0 D．4
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1 C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2 (2)(2014·河北)a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a， b分别是( A ) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【点评】 实数的大小比较要依据数值特点来灵活运用比较大小的几 种方法来进行．
实数的大小比较
3．(1)近似数2.5万精确到__千__位．
(2)(2014·内江)一种微粒的半径是0.00004米，
这个数据用科学记数法表示为( C )
A．4×106
B．4×10－6
C．4×10－5 D．4×105
与实数相关的概念
【例4】 (1)(2014·河北)－2是2的( B )
A．倒数
B．相反数
C．绝对值
数形结合思想 数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的 一种思想策略．“数无形，少直观；形无数，难入微．”数形结合思想可以使 问题化难为易、化繁为简． 分类讨论思想 分类讨论思想是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，分类注 意按一定的标准进行；分类既不能遗漏，也不能交叉重复．
实数
分数
正分数
有限小数或无
负实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数零
初中数学精品课件：实数及其运算
【典例 1】 (2019·宁波)请写出一个小于 4 的无理数： ______．
【答案】 π(答案不唯一)
【类题演练 1】 (2019·衢州)在12，0，1，－9 四个数中，
【典例 1】
在
实
数
－
π 2
，
2
，
22 7
，
0.3333333…
，
0
，
1.732
，
2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”) 中，是无理数的
是
．
【错解】 2，272，2.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)
【析错】 无理数是无限不循环小数，而有理数可以写成 分母不为 0 的分数形式，所以272是有理数，－π2是无理数． 【正解】 －π2， 2，2.1010010001…(每两个“1”之 间依次多一个“0”)
2．初中数学中常见的非负数有：①实数的绝对值：|a|≥0； ②实数的平方：a2≥0；③非负实数的算术平方根： a ≥0(a≥0)．如果 a，b，c 都是实数，且满足 a2＋|b|＋ c ＝0，那么根据非负数的性质，有 a＝b＝c＝0.由非负 数的性质可以求出多个未知数的值.
易错点1 平方根与算术平方根概念的混淆
数，则 ab＝ 1 ．
(4)绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数 的绝对值．
a（a＞0）， |a|＝0（a＝0）， 以上三条反之亦成立．
－a（a＜0）.
|a|是一个非负数，即|a|≥0．
(5)科学记数法： 科学记数法就是把一个数表示成 a×10n(反数，则和为 0；若两数互为倒数，则积 为 1.反之亦成立．
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点
实数及其运算知识点包括以下几个方面：
1.实数的定义：实数是有理数和无理数的总称，包括有理数、无
理数、正数、负数等。
实数具有完备性，即任何实数都可以用
十进制无限小数或无限循环小数来表示。
2.实数的性质：实数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，
包括交换律、结合律、分配律等。
此外，实数还具有一些重要
的性质，如任何非零实数的平方都是正数、绝对值的概念等。
3.实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在运算过程中，需要注意运算的优先级，先乘除后加减，括号
可以改变运算顺序。
此外，实数的运算还有一些重要的性质和
定理，如乘法交换律、结合律、分配律等。
4.实数的应用：实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在代数中，实数可以用来表示长度、面积、体积等量；
在物理中，实数可以用来描述速度、加速度、力等物理量；在
工程中，实数可以用来计算各种参数和性能指标等。
总之，实数及其运算知识点是数学中的重要内容，对于数学、物理、工程等领域的学习和应用都具有重要意义。
总复习第1讲 实数及其运算
（三）乘法 1.、乘法法则：
2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba； （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （四）除法: 除法法则：
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（2）0除以任何数都等于___0__，0不能做被除数。
1.实数a（a≠0）的倒数是_____a_____；
2.a和b 互为倒数⇔ab=_____1_____
3. 倒数等于它本身的数是_1_和__-_1_。
【例1.】（资1）-2.4的倒数是_—__152_， 3 2 的倒数是___3__—__2_， 2. 已知a,b互为相反数，cd互为倒数，则 a b _0__.
常1千考=的_1_计_0_3数_, 单1位万有=__1_0_4___，1亿=___1_0_8___。120万_1_._2_×__106
考点五、 非负性
1.非负数概念
正数和零统称为非负数,常见的非负数有
|a|≥0,a2≥0, a ≥0 (a≥0,a可代表一个数或代数式). 2.非负数的性质
(1)非负数的最小值是零;
例：1. 比较大小：50 __>___7 2. 13的整数部分是__3____.
考点七、 实数的运算
1.基本运算 加法、减法、乘法、除法、乘方、开方. （一）加法 1. 加法法则 （2，加法的运算律： （（12） ）加加法法的 的交 结换 合律律：：（a+ab+=b_b）_+_a+__c=_ a；+a_+_（___b_+_c_）. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； 即a-b=a+_（__-_b_）___.
高考实数及其运算知识点
高考实数及其运算知识点高考是每个学生人生中重要的一步，在备战高考的过程中，实数及其运算是一个非常重要的知识点。
实数是数学中的基础概念，也是高中数学的重点内容之一。
本文将从实数的定义、实数的分类、实数的运算及实数的应用等方面进行探讨。
一、实数的定义与分类实数是指包括有理数和无理数在内的一切数。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、分数、循环小数等。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，如π和根号2等。
实数是实数集合的元素，用符号R表示，即R={x | x是实数}。
实数可以分为有序实数和无序实数。
有序实数是指可以在数轴上比较大小的实数，如整数、分数等。
无序实数是指无法在数轴上比较大小的实数，如无理数。
实数在数轴上呈现出密集性，即在任意两个不相等的实数之间，总存在着其他实数。
二、实数的运算实数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算都遵循一定的运算规律和性质。
1. 加法运算：实数的加法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
2. 减法运算：实数的减法可以通过加法运算转化为负数与另一个数的加法。
3. 乘法运算：实数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。
4. 除法运算：实数的除法可以通过乘法运算转化为一个数与另一个数的乘法。
实数的运算性质为实数的运算提供了便利，同时也为解决实际问题提供了基础。
三、实数的应用实数的应用广泛存在于各个领域，如物理、化学、生物等。
1. 物理应用：实数在物理学中有着重要的应用，如测量物体的质量、长度、时间等都需要用到实数。
2. 化学应用：在化学实验中，实数常用来表示物质的质量、浓度等。
3. 生物应用：实数可以用来表示生物的数量、体重等，如在植物生长实验中，用实数表示植物的高度。
实数的应用不仅限于科学领域，还可以应用于经济、统计学等各个领域，为问题的解决提供了数学工具和方法。
总结起来，实数及其运算是高中数学中的重要内容，也是高考数学中的重点和难点。
了解实数的定义与分类、掌握实数的运算，以及应用实数解决实际问题，对提高数学能力和应对高考具有重要意义。
实数及其运算教案
实数及其运算教案一、教学目标知识与技能：1. 理解实数的定义及分类，掌握有理数和无理数的特点。
2. 掌握实数的四则运算规则，能够熟练进行实数的加、减、乘、除运算。
3. 能够运用实数及其运算解决实际问题。
过程与方法：1. 通过实例和问题，培养学生的观察、分析、归纳能力。
2. 运用小组合作、讨论等方法，提高学生解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生的逻辑思维能力，提高对数学学科的兴趣。
2. 培养学生团队协作、积极参与的精神。
二、教学内容第一节：实数的定义及分类1. 实数的定义：实数是包含有理数和无理数的数集。
2. 实数的分类：有理数和无理数。
第二节：实数的四则运算1. 实数的加法：同号相加，异号相减。
2. 实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3. 实数的乘法：符号相同，积为正；符号不同，积为负。
4. 实数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
三、教学重点与难点重点：1. 实数的定义及分类。
2. 实数的四则运算规则。
难点：1. 实数的乘除运算。
2. 运用实数及其运算解决实际问题。
四、教学方法与手段1. 采用讲授法、问答法、实例分析法进行教学。
2. 使用多媒体课件、黑板、实物等教学手段，辅助学生理解实数及其运算。
五、教学过程1. 引入新课：通过生活实例，引导学生认识实数及其重要性。
2. 讲解实数的定义及分类，让学生通过实例理解有理数和无理数的特点。
3. 讲解实数的四则运算规则，并通过例题演示运算过程。
4. 组织学生进行小组讨论，运用实数及其运算解决实际问题。
5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对实数定义、分类和四则运算规则的理解程度。
2. 课堂练习：评价学生运用实数及其运算解决实际问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 介绍实数在数学中的应用，如坐标系、函数等。
2. 探讨实数运算在科学研究和实际生活中的意义。
中考数学复习第1课时《实数及其运算》说课稿
中考数学复习第1课时《实数及其运算》说课稿一. 教材分析《实数及其运算》是中考数学复习的第1课时，主要内容包括实数的定义、分类、性质以及实数的运算规则。
这部分内容是初中数学的基础，对于学生后续的学习具有重要意义。
在教材中，实数分为有理数和无理数两大类，有理数包括整数和分数，无理数主要包括π和开方开不尽的数。
实数的运算包括加减乘除和乘方等，运算规则遵循数学的基本规律。
二. 学情分析学生在学习《实数及其运算》时，已经掌握了有理数的运算规则，对无理数的概念和性质有一定的了解。
但部分学生对无理数的理解不够深入，容易与有理数混淆。
此外，学生在实数的运算方面容易出错，如不熟悉运算顺序、忽视运算律等。
因此，在教学过程中，需要帮助学生巩固实数的定义和性质，提高运算能力，培养学生严谨的数学思维。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握实数的定义、分类和性质，了解实数的运算规则，提高实数运算能力。
2.过程与方法：通过自主学习、合作探讨和教师引导，培养学生独立解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气，使学生认识到数学在生活中的重要性。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的定义、分类、性质和运算规则。
2.教学难点：无理数的概念和性质，实数的运算顺序和运算律的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作探讨和教师引导相结合的方法，充分发挥学生的主体作用，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学道具等，直观展示实数及其运算的过程，帮助学生形象地理解实数的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的运算规则，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主探究实数的定义、分类和性质，培养学生独立解决问题的能力。
3.合作探讨：分组讨论实数的运算规则，让学生在合作中思考，提高学生的团队协作能力。
实数及其运算
实数及其运算实数是数学中最基本、最完备的数系之一，它包括整数、有理数和无理数。
一、整数整数包括正整数、负整数和零。
1. 正整数：正整数由自然数（1, 2, 3, ...）及其负数构成，用正号或省略正号表示，例如：+1，+2，+3，...2. 负整数：负整数由自然数加上负号构成，例如：-1，-2，-3，...3. 零：零用0表示。
整数运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法：整数加法遵循整数的符号规则，即同号相加得正，异号相加得负。
例如：(+3) + (+4) = +7，(-5) + (+2) = -3。
2. 减法：减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如：(+3) - (+4) = (+3) + (-4) = -1。
3. 乘法：整数乘法遵循整数的符号规则，同号得正，异号得负。
例如：(+3) × (+4) = +12，(-3) × (-4) = +12，(+3) × (-4) = -12。
4. 除法：整数除法有整除和带余除法两种形式。
整除结果为整数，带余除法结果为分数或小数。
例如：7 ÷ 3 = 2（整除），7 ÷ 2 = 3.5（带余除法）。
二、有理数有理数包括整数和分数。
1. 整数：整数是有理数的一种，包括正整数、负整数和零。
2. 分数：分数由整数除以非零整数得到，分子可以为正整数或负整数，分母为正整数。
例如：1/2，-3/4，5/6等。
有理数运算包括加法、减法、乘法和除法，运算规则与整数类似。
三、无理数无理数是指不能表示为两个整数比值的数，无法写成分数形式的数。
常见的无理数有π（圆周率）、√2（开根号2）、e（自然对数的底数）等。
无理数与有理数的运算可通过近似值进行。
总结：实数是包括整数、有理数和无理数的数系，它涵盖了所有的实际数值。
实数运算包括整数运算、有理数运算，以及无理数的近似计算。
熟练掌握实数及其运算，可以在数学问题中灵活应用，深化对数学的理解和运用能力。
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确定各数的大小． 知能迁移5
A. a < b
(1)(2011· 宜昌)如图，数轴上A、B两点分别对应实数
B．a＝b
a、 b，则下列结论正确的是 ( C )
探究提高 (1)两个互为相反数的和为0； (2)正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 知能迁移4 (1)(2011²镇江)计算：
1 － 2
1 1 )＝________； －(－ 2 2
1 0 1 － ＝________； 2
2.30亿≈2亿3千0百万，精确到百万位，有3个有效数字．
(3)(2011·安徽芜湖)我们身处在自然环境中，一年接受的宇宙 射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于 1000毫西弗，1毫西弗等于1000微西弗)，用科学记数法可 表示为 ( A．3.1× 106西弗 C．3.1× 10－3西弗 B．3.1× 103西弗 D．3.1× 10－6西弗 C )
A．＋2
B．－3
C．＋3
D．＋4
解析：四个选项中＋2的绝对值最小，故最接近标准．
2．(2011· 衢州)数－2的相反数为 A．2 B. 1
2
C．－2
D．－ 1
( A )
2
解析：一个数的相反数就是在这个数前面加“－”号． 3．(2011· 义乌)－3的绝对值是 A．3 B．－3 C．－ ( A )
1 3
知能迁移1
(1)下列五个实数： －8 ，0，tan 45°，－|－3|，
( A ) D．7
3
(1)－1.其中正数的和为
2
A．4
B．5
C．6
解析：(3－π)0＋tan45°＋ ( 1 ＝1＋1＋2＝4，这三个正数的 )－1 和等于4，选A.
2
( B )
(2)下列四个数中，在0到3之间的无理数是 A. 2 B.
2 1 3 1 1 1 3 c>1∴0< <1，……①， <b－a<1，∴1< <3……②， c 3 1 1 2 1 1 b－a <|a|<1,0<|b|< ，∴0<|ab|< ， >3， >3……③. 3 3 |ab| ab 3
解析：由所给的数轴表示，可以表示－1<a<－ ，－ <b<0，
探究提高
ab |a| |b| － |ab| ＝(－1)＋(－1)－1＝－3. 或 ＋ a b ab
a
b
题型五 【例 5】
与数轴联系 (1)如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于
a，－a,1的大小关系，表示正确的是
( A )
A．a<1<－a
C．1<－a<a
B．a<－a<1
D．－a<a<1
解析：如图，在数轴上找出－a所对应的位置， 易知a<1<－a，选A.
( A ) A．1.37³109 B．1.37³107
C．1.37³108
D．1.37³1010
解析：1370536875＝1.370536875³109≈1.37³109.
题型分类 深度剖析
题型一 实数的分类
【例 1】
A．0
(1)在0,1,－2,－3.5这四个数中，是负整数的是
B．1 C．－2 D．－3.5
3．利用数形结合的数学思想直观地解决问题
数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的．数轴
正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来， 把“数”与“形”有机地结合起来，从而便于学习和研究．
4．运用分类讨论思想，全面解答问题 在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把 实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的 思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全 面地把代数式的值一一求出来，如： 已知abc≠0，且M＝ |a| |b| |c| ＋ ＋ ＋ 取值，M有
第一章 数与式
第1课 实数及其运算
要点梳理
1.实数的分类 按实数的定义分类：
整数 有理数 分数 实数
正整数 零 负整数 正分数 负分数
自然数
有限小数或无限循环小数
无理数
正无理数 负无理数
无限不循环小数
正实数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 零 负实数 2．实数的有关概念 (1)数轴：规定了 原点 ， 正方向 和 单位长度 的直线
解析：0.32× 100万＝0.32× 106＝3.2× 105(L)．
(2)下列近似数中精确到千位的是 ( C )
A．90200
C．3.4× 104
B．3.450× 102
D．3.4× 102
解析：3.4× 104表示3万4千，精确到千位，选C.
探究提高
(1)科学记数法一般表示的数较大，所以解题时一定要仔
a
b
c
abc，根据a、b、c的不同 |abc|
( ) B
A．唯一确定的值
C．四种不同的值
B．三种不同的值
D．八种不同的值
基础自测
1．(2011· 金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为
基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据 是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ( A )
a－b＞0⇔a＞b
a－b＜0⇔a＜b a－b＝0⇔a＝b
5.实数的运算： 实数的运算顺序是先算 乘方和开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 小括号 中括号 ______．如果有括号，先算_______，再算______，最后算 大括号 ______．同级运算应 从左到右,按顺序进行 .
[ 难点正本 疑点清源 ]
(2)设|a|＝4，|b|＝2，且|a＋b|＝－(a＋b)，试求a－b所有值 的和． 解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2， 又|a＋b|＝－(a＋b)≥0，∴a＋b<0， 可知a＝－4，b＝±2， 所以a－b＝－4－2＝－6， 或a－b＝－4－(－2)＝－2， －6＋(－2)＝－8， a－b所有值的和是－8.
解析：3100× 10－3× 10－3＝3.1× 10－3.
题型三
实数的运算
【例 3】
(1)计算：－4＋ 2＋1 0－ 12 ；
(2)计算：(－2)2＋2³(－3)＋( 1)－1.
3
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)|－4|＋( 2 ＋1)0－ 12 ＝4＋1－2 3 ＝5－2 3 (2)(－2)2＋2³(－3)＋( ＝1 [3分]
解：原式＝4－3＋1＋2＝4.
题型四 【例 4】
与实数相关的概念 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a>b>c，那么a
＋b－c＝________. 2或0 解析：由|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3， 得a＝±1，b＝±2，c＝±3. 又a>b>c.可以a＝±1，b＝－2，c＝－3， 所以a＋b－c＝1＋(－2)－(－3)＝2， 或a＋b－c＝(－1)＋(－2)－(－3)＝0.
1 －1 ) ＝4－6＋3 3
[4分]
[3分] [4分]
探究提高
实数运算要严格按照法则进行，对于实数混合运算，注意 符号和顺序是非常重要的.
知能迁移3
(1)(2011· 温州)计算：(－2)2＋(－2011)0－ 12 .
解：(－2)2＋(－2011)0－ 12 ＝4＋1－2 ＝5－2 3. (2)(2011· 舟山)计算：22－ 9 ＋(－3)0－(－2).
D.
1 3
解析：|－3|＝3，一个负数的绝对值是它的相反数．
2
4．(2011· 宁波)下列各数中，是正整数的是
A．－1 B. 2 C．0.5 D.
( B )
2
解析：选项中只有2既是正数，又是整数．
5．(2011· 陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875
人，将这个总人口数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为
(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 距离 叫
做这个数的绝对值．
a |a|＝ 0 －a (a>0) (a=0) (a<0)
|a|是一个非负数，即|a|________. ≥0
(5)科学记数法，近似数，有效数字： 科学记数法就是把一个数表示成±a³10n(1≤a＜10,n是整数) 的 形式； 一个近似数， 四舍五入 到哪一位，就说这个数精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字(6)平方根，算术平方根，立方根： ± a 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，记作_______； 正数a的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；
1 ＝________； 2
1－1 －2 － ＝________. 2
(2)若ab>0，则 |a|＋|b| －|ab| 的值等于________． 1或－3
a
b
ab
解析：由ab>0，得a>0且b>0或a<0且b<0，
于是 |a| ＋ |b| － |ab| ＝1＋1－1＝1
(2)观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点A、B、C所对应
的数，则
1 、 1 、 的大小关系是 1 ab b－a c
( C )
A. 1 < 1
ab b－a c 1 < 1 <1 C. c b－a ab
<1
B.
1 < 1 <1 b－a ab c 1 1 < 1 D. < c ab b－a