量子力学教学04

第四章
态和力学量的表象
在前面， 在前面，我们基本是用坐标函数描述体系的状态 并讨论其性质的， 并讨论其性质的，但正如在经典力学中我们可以选择 不同的坐标来描述粒子的运动一样， 不同的坐标来描述粒子的运动一样，量子力学中我们 也可以选用其他变量的波函数来描述体系的状态。 也可以选用其他变量的波函数来描述体系的状态。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 态和力学量的具体表示方式称为表象。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。这一章我们讨论其他 表象，并介绍文献中常用的狄喇克符号。 表象，并介绍文献中常用的狄喇克符号。
n * a n ( t ) = ∫ u n ( x )ψ ( x , t ) dx * a q ′ (t ) = ∫ u q ( x )ψ ( x , t ) dx
F11 F12 F1n F21 F22 F2n F = Fn1 Fn2 Fnn
Fq′q′ Fq′′q′ Fqα q′
基谐振子基点： 基谐振子基点
i E ′t
( 4 . 1 5)
α ψ ( x) = ( ) π
c( p, t) = (
1
2
e
α 2x2
2
i ωt 2
1 2 π
)
1
2
e
i p2 ωt 2 2 2α
2
( 4 .1 6 )
Q 表象的波函数（ 为任意力学量） 三、 表象的波函数（ Q 为任意力学量）
三、算符在自身表象中为对角阵 Q 在其自身表象中的矩阵元
* Qmn = ∫ u m ( x )Q u n ( x ) dx * = Qn ∫ u m ( x )u n ( x ) dx = Qnδ mn
( 4.2 11)
0 Q1 Q2 = Q 0 为对角线的表象。 因此我们常说Q 表象为以 Q 为对角线的表象。在Q ， 为对角 F F 的共同本征函数为基矢的表象。 的表象即以 Q ， 的共同本征函数为基矢的表象。
(4.3 8)
三、本征方程 1. 本征方程
F ψ ( x , t ) = λψ ( x , t )
(4.3 9)
F11 F12 a1(t) a1(t) Q表象： F21 F22 a2 (t) = λ a2 (t)
2. 求解本征值和本征矢 式中等号右边部分移至左边， 将(4.3-9)式中等号右边部分移至左边，得： 式中等号右边部分移至左边
~* A = A
+
( 4 .2 7 )
A = A
+
( 4 .2 8 )
式和(4.2-8)式 时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。由(4.2-6)式和 称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵。 式和 式 可知， 可知，厄密矩阵的矩阵元满足下述关系
a mn = a
* nm
( 4 .2 9 )
这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（ 为实数； 这一式子意味着，厄密矩阵的对角元（Ann）为实数；而其余的 各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。 各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称的。量子 力学中要用厄密算符来描写力学量， 力学中要用厄密算符来描写力学量，所以同它们对应的矩阵必 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数， 是厄密矩阵。由于厄密矩阵的对角元是实数，由此也可得到厄 密算符的本征值必定是实数的结论。 密算符的本征值必定是实数的结论。
Fq′q′′ Fq′′q′′ (4.2 14) Fqα q′′
F mn = F q ′q ′′
∫ = ∫u
* u m F u n dx * q′
( 4 . 2 15 ) ( 4 . 2 16 )
( x ) F u q ′′ ( x ) dx
在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。 在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。
c( p, t ) 可以称为动量
自由粒子： c( p, t ) = = 1 ( 2π ) 1 ( 2π )
3 2 3 2
∫ ∫
+∞
1 ( 2π )
3 2
∞
e
i i ( E ′t p r ) p r
e
dτ
i + ∞ E ′t ∞
e
e
i ( p ′ p )r
dτ
= δ ( p′ p ) e
∑ (F
n
mn
λδ
mn
) a n ( t ) = 0 , m = 1, 2 , .
这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零， 这个方程组有非零解的条件是系数行列式等于零，即：
F12 F1n F11 λ F22 λ F2 n F21 Fn 2 Fnn λ Fn1
a1 (t ) a2 (t ) =0 an (t )
(4.3 10)
方程（ 方程（4.3-10）是一个线形齐次代数方程组： ）是一个线形齐次代数方程组：
必是一矩阵。 可见F 必是一矩阵。
一、算符的矩阵表示
∑b
n
n
( t ) u n ( x ) = F ∑ a n ( t )u n ( x )
n
( 4 . 2 1)
乘以上式并积分， 以 um* 乘以上式并积分，得
bn ∫ um ( x)un ( x)dx = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n bnδ mn = bm = ∑ an ∫ um ( x) Fun ( x)dx ∑ n n
§4.1
Ψ ( r , t ) 是位置几率
2
态的表象
一、坐标表象的波函数—— Ψ ( r , t ) 坐标表象的波函数
x:
连续 x′, x′′, ,δ δ（x x′） ( x x′′),… x δ（x x′） x′δ ( x x′′) =
(4.1 1) (4.1 2)
∫ ( x) δ（x x′）dx = ( x′)
1 ( 2π )
3 2
p
(r )dp
i p r
∫ c ( p , t )e
dp
( 4 .1 4 )
可以互求，它们包含同样多的信息。 c ( p , t ) 和ψ ( x, t ) 可以互求，它们包含同样多的信息。 我们称这样做是变换到了动量表象 我们称这样做是变换到了动量表象, 动量表象 表象中的“波函数” 表象中的“波函数”
二、动量表象的波函数—— c ( p , t ) 动量表象的波函数
c( p,t)
2
=
p * ( r ) ( r , t )d τ 是动量几率 ∫
1
3 2
c( p, t) =
( 2π )
∫
+∞
∞
ψ ( r , t )e
i p r
dτ
( 4 .1 3)
ψ (r , t) =
=
∫ c ( p , t )
A*mn = ( m , A n )* = ( A n , m ) = ( n , A+ m ) = A+ mn
亦即
（ A ） = ( ( A ) mn
( 4 .2 6 )
于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭， 于是我们知道，一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置 后再取复共轭。 后再取复共轭。即 当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵， 当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即满足条件
厄密算符的矩阵是厄密矩阵： 厄密算符的矩阵是厄密矩阵
* Fmn = ∫ u m ( x ) F u n ( x ) dx = ∫ ( F u m ( x )) * u n ( x ) dx
u ( x ) dx * = F * = ∫ u ( x) F m nm
* n
{
}
( 4 .2 10 )
( 4 . 3 3)
F F a1(t) 11 12 * * F = (a1 (t),a2 (t), F21 F22 a2 (t) )
(4.3 4)
二、薛定谔方程
ψ ( x, t) i = H ψ ( x, t) t ( 4 .3 5 )
Q表象： ψ（x, t） ∑ an (t )un ( x) =
写成矩阵形式如下
b1 F11 b2 F21 b = F 3 31 b 4
F12 F22 F32
F13 F23 F33
a1 a2 a3
(4.2 5)
二、厄密算符的矩阵 1. 以二阶矩阵为例： 以二阶矩阵为例： a11* a12* a11 a12 复共轭： * = * A= A * a a 21 22 a21 a22 a11* a21* a11 a21 ~ 共轭： + = * A 转置： = A * a12 a22 a12 a22 2.厄密共轭矩阵和厄密矩阵 厄密共轭矩阵和厄密矩阵 厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符A得到 厄密共轭矩阵是厄密共轭算符的对应物。对任意算符 得到 下述矩阵元之间的关系
§4.3 量子力学公式的矩阵表示
一、平均值公式（F 不显含 ） 平均值公式（ 不显含t）
x表象： F = ∫ ψ * ( x , t ) F ψ ( x , t ) dx
n
( 4.3 1) ( 4 .3 2 )
Q 表象： ψ ( x , t ) = ∑ a n (t )u n ( x )
* * F = ∑ ∑ a m (t ) a n (t ) ∫ u m ( x ) F u n ( x ) dx m n * = ∑ ∑ a m (t ) Fmn a n (t ) m n
: Q , Q 2 , Q 3 , Q n Q u1 , u 2 , u 3 , u n
ψ (r , t ) =
∑a
n *
n
(t )u ( r )
a n ( t ) = ∫ u n ( r )ψ ( r , t ) d τ 易证明：