人教A版高中数学选修1-1课件同步：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》
＝
－a(x2bx－a＝0.①
∵Δ＝4b2＋4a2>0，∴方程①有两个不相等的实根，记 为 x1、x2.
不妨设 x1<x2，则有 f′(x)＝－a(x12－＋2x2b)x2＋a＝0， 即－a(x－x1)(x－x2)＝0. f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
[误解] 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋ 6ax＋b.
所以ff′(－(－1)＝1)＝0，0， 即3－－16＋a＋3ab－＝b0＋，a2＝0. 解得ab＝＝13，， 或ab＝＝29.，
[辨析] 根据极值定义，函数先减后增为极小值，函 数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1时函数两侧的单 调性，故求错．
所以ff(′1)(＝1)－ ＝30－ ，c， 所以ab＋ ＝4－b＝ 3，0， 所以 a＝12，b＝－3.
(2)由(1)知 f′(x)＝48x3lnx(x>0)． 当 0<x<1 时，f′(x)<0，所以 f(x)为减函数． 当 x>1 时，f′(x)>0，所以 f(x)为增函数， 所以 x＝1 时 f(x)min＝f(1)＝－3－c， 若 f(x)≥－2c2 恒成立，所以－3－c≥－2c2， 得 c≥32或 c≤－1.
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值． 函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题， 是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间 的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事 项．
[例5] 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0， 求常数a、b的值．
函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( ) A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11 C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值 [答案] C
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3) 令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝3(舍去) 当－2＜x＜－1时，f′(x)＞0 当－1＜x＜2时，f(x)＜0 ∴当x＝－1时f(x)有极大值，f(x)极大值＝f(－1)＝5， 无极小值．故应选C.
3．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1
B．0
C．2D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
由上表可见，f(x)取得极大值和极小值的点各有 1 个． (2)解：由(1)可知 f(x1)＝a1x＋1＋x21b＝－1，f(x2)＝a1x＋2＋x22b＝ 1⇒－x12－1＝ax1＋b 且 1＋x22＝ax2＋b，两式相加，得 x22－ x12＝a(x1＋x2)＋2b. 又 x1＋x2＝－2ab，代入上式， 得 x22－x21＝a－2ab＋2b＝0， ∴x22－x21＝0，即(x2－x1)(x2＋x1)＝0.
2．函数 f(x)＝x2－x＋1 在区间[－3,0]上的最值为
A．最大值为 13，最小值为34
()
B．最大值为 1，最小值为－17
C．最大值为 3，最小值为－17
D．最大值为 9，最小值为－19 [答案] A
[解析] ∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，
令 y′＝0，∴x＝12，f(－3)＝13，f12＝34，f(0)＝1.
极小值点
极值
极值点
2．假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条
，连该续函不数断在的[曲a，线b]上一定能够取得
与最，大该值函数在最(a小，值b)内是，该函数的最值必在取可得导．的
3．当函数f(x)在极点值x0处点连或续区时间，端判点断f(x0)是否存在极大 (小)值的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极值； f′(x)>0
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件， 不是充分条件．例如：函数f(x)＝x3，f′(0)＝0但x＝0不是 f(x)＝x3的极值点．
1．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的 左右两侧附近的点而言的． (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点 绝不是函数的极值点． (3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是 单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值．
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1．知识与技能 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件． 2．过程与方法 会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在 给定区间上求最大值、最小值．
本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系． 利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域； 其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义 域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 开区间的符号． 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值 和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极 小值之间无确定的大小关系．
(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间 断点，也不能保证 f(x)有最大值和最小值，如函数 f(x)＝ |x|，－1≤x≤1且x≠0， 1，x＝0.
在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．
4．正确区分极值和最值 (1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的， 函数的最大值和最小值可以在极值点、不可导点、区间的 端点取得，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的， 最值具有绝对性，极值具有相对性． (2)函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个 区间上所有函数值中的最大的值，最小值是所有函数值中 的最小的值；极值只能在区间内取得；但最值可以在端点 处取得；极值有可能成为最值．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f′(x) ＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋ 3)． 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.
[例2] 求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大 值与最小值．
[分析] 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各 极值与f(－1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小 的一个是最小值．
[解析] f′(x)＝3x2－4x.
令 f′(x)＝0，有 3x2－4x＝0.解得 x＝0，43. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
2．导数为0的点不一定是极值点． 3．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有 最值．” 此性质包括两个条件：
(1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续 但不能保证有最大值或最小值．如 f(x)＝1x，x∈(0,1)，f(x) 在区间(0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
而x1<x2，∴x1＋x2＝0.∴b＝0. 代入①式，得a(x2－1)＝0.
∵a>0，∴x＝±1.再代入f(x1)或f(x2)，得a＝2. ∴a＝2，b＝0.
[例4] 已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取 得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
(1)试确定a，b的值； (2)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值 范围． [ 解 析 ] (1) 由 题 意 知 f′(x) ＝ 4ax3lnx ＋ ax4·1x ＋ 4bx3 ＝ x3(4alnx＋a＋4b)．
[点评] 若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f′(x0)＝0， 因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数．
设 a>0，(1)证明 f(x)＝a1x＋＋xb2取得极大值和极小值的点各
有 1 个；
(2)当极大值为 1，极小值为－1 时，求 a 和 b 的值．
[解析]
(1)
证
明
：
f′(x)
＝
a(1＋x2)－2x(ax＋b) (1＋x2)2
[解析] f′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2. 其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得 f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11， 故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.
[例3] 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极 值，且f(1)＝－1，
一、选择题 1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0 是x0为函数y＝f(x)的极值点的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数 y＝x3的极值点．
f′(x)<0
大
(2)如果在x0附近的左侧，右f′(侧x)，<0那么f(x0)是极值； f′(x()3>)0如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右小两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) 函数f(x)的极值．
不是
[例1] 求函数y＝3x3－x＋1的极值． [分析] 首先对函数求导，求得y′，然后求方程y′＝0的 根，再检查y′在方程根左右的值的符号．如果左正右负， 那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这 个根处取得极小值．
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2. [点评] 利用求最值的步骤求解． 函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等 于0的点、导数不存在的点或区间的端点． 函数在区间[a，b]上连续是f(x)在[a，b]上存在最大值 的充分而非必要条件．
求 函 数 f(x) ＝ x4 － 8x2 ＋ 2 在 [ － 1,3] 上 的 最 大 值 与 最 小 值．
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高中数学人教A版选修1-1全优课堂同步课件3.3.3函数的最大(小)值与导数
)
【答案】D
【答案】36
4．函数 f(x)＝ln x－x 在(0，e]上的最大值为________．
【答案】－1
要点阐释 1．根据定义辨“极”“最” (1)最值的定义：设函数 f(x)在区间[a，b]上有定义，如果[a， b]上有一点 x0， 使得对[a， b]上所有的 x， 恒有 f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))， 则称函数 f(x)在[a，b]上有最大值(最小值)，最大值和最小值统称为 最值，x0 称为最值点． 特别提示： 最值是指函数在自变量指定范围内或隐含定义域内 的最大值和最小值．
连续不断 2． 一般地， 如果在区间[a， b]上的函数的图象是一条________ 的曲线，那么 f(x)必有最大值和最小值． 此性质包括两个条件： (1)给定函数的区间是闭区间 ______； (2)函数图象在区间上的每一点必须____________ 连续不间断 ．函数的最 值 是 比 较 整 个定义域 ______ 的 函 数 值 得 出 的 ， 函 数 的 极 值 是 比 较 __________的函数值得到的． 极值点附近
2．利用结论“判”与“求” 结论 1：极值的判别方法：当函数 f(x)在点 x0 处连续时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0) 是极大值； (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，那么 f(x0) 是极小值． 结论 2：设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x) 在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： (1)求 f(x)在(a，b)内的极值点，并计算出其函数值； (2)将极值点的函数值与 f(a)、f(b)进行比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值． 结论 3：若函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b]上 能取到最大值与最小值；若连续函数在闭区间上只有一个极值点， 则该极值点一定是函数的最值点．
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-3-2《函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数》
其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义
域分成若干小开区间，并列成表格，判断导函数在各个小 开区间的符号． 求函数的最大值和最小值，需要先确定函数的极大值 和极小值，极值是一个局部概念并且不唯一，极大值与极
小值之间无确定的大小关系．
f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，
当－1＜x＜2时，f(x)＜0
∴ 当 x ＝－ 1 时 f(x) 有极大值， f(x) 极大值＝ f( － 1) ＝ 5 ， 无极小值．故应选C.
[例2] [分析]
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大 首先求f(x)在(－1,2)内的极值．然后将f(x)的各
值与最小值． 极值与 f( －1) ， f(2) 比较，其中最大的一个是最大值，最小
[点评] 恒成立转化为最值，即用导数求最值．
函数的极值、最值常与单调性，不等式结合出解答题，
是历年考试的重点，一般分为二至三问，要注意它们之间 的内在联系，另外解此类问题要注意极值，最值的注意事 项．
[例5]
[ 误解 ] 6ax＋b.
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，
1 1 解得 x1＝ ，x2＝－ . 3 3 当 x 变化时，y′和 y 的变化情况如下表：
1 11 因此，当 x＝－3时，y 有极大值，并且 y 极大值＝ 9 . 1 7 而当 x＝3时，y 有极小值，并且 y 极小值＝9.
[点评] 熟记极值的定义是做好本题的关键，要利用
求函数极值的一般步骤求解．
[ 例 4]
已知函数 f(x) ＝ ax4lnx ＋ bx4 － c(x>0) 在 x ＝ 1 处取
得极值－3－c，其中a、b、c为常数．
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修1-1课件：3.3 3.3.2 函数的极值与导数
第十八页，编辑于星期六：二十三点 四十八分。
当 x＝a2时，函数 f(x)取得极小值 fa2＝0. ②当 a＜0 时，a2＜a3，则随着 x 的变化，f′(x)，f(x)的变化情况 如下表：
x
－∞，a2
f′(x)
＋
单调递增
f(x)
a 2 0
极大 值
a2，a3 －
单调递减
a 3 0
极小 值
a3，＋∞ ＋
已知函数 f(x)＝x3－3ax2＋2bx 在点 x＝1 处取 得极小值－1，试确定 a，b 的值，并求 f(x)的单调区间． 解：f′(x)＝3x2－6ax＋2b，x∈R，由题意可知 f′(1)＝3－6a＋ 2b ＝ 0 ， ① f(1) ＝ 1 － 3a ＋ 2b ＝ － 1 ， ② 由 ①② 解 得 ba＝＝－13，12，故函数的解析式为 f(x)＝x3－x2－x，由此得 f′(x)
1．求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值． 解：函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3（xx－2 1）， 令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
第二十二页，编辑于星期六：二十三点 四十八 分。
第八页，编辑于星期六：二十三点 四十八分。
■名师点拨 一般来说，“f′(x0)＝0”是“可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极 值”的必要不充分条件．若可推导出函数 y＝f(x)在点 x0 处可 导，且在点 x0 处取得极值，那么 f′(x0)＝0；反之，若 f′(x0) ＝0，则点 x0 不一定是函数 y＝f(x)的极值点．
第十六页，编辑于星期六：二十三点 四十八分。
角度二 解析式中含有参数的函数极值的求解 已知函数 f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中 a≠0，
高中数学选修1-1 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件(共12张PPT)
y
y
y=f(x)
y=f(x)
oa
y y=f(x)
bx
oa
最值可 y y=f(x) 能在哪 里取到？
bx
oa
bx
oa
bx结
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：
(1)求函数f(x)的导数f′(x)； (2)解方程f′(x)＝0，求出使得f′(x)＝0的所 有点； (3)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (4)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)，f(b)比较，其中最大的是函数的最大 值，最小的是函数的最小值．
第三章 导数及其应用
3.3.3函数的最大（小） 值与导数
温故而知新
问题一、函数的极值定义
y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
o
x0
x
o
x0
x
设函数f(x)在点x0附近有定义，
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
问题三：观察区间 [a, b]上函数 y f ( x ) 的图象,
你能找出他的极值吗？
y
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
bx
函数y=f(x)的极小值：f (x1), f (x3), f (x5)
函数y=f(x)的极大值：f (x2), f (x4), f (x6)
新课讲授
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一
2.最大值一定比最小值大.
课堂小结：
1、最值定理. 2、导数求最值的方法步骤.
作业布置：课本99页 第6题
高中数学人教A版选修1-1课件：3-3-2 函数的极值与导数
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课前预习案
课堂探究案
1
2
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)导数值为0的点一定是极值点. ( ) (2)在定义域上的单调函数一定没有极值. ( ) (3)对于任意函数,极值点处的导数值一定等于0. ( ) (4)函数f(x)=x3+ax2+bx+c最多有两个极值点. ( ) 答案(1)× (2)√ (3)× (4)√
3.3.2
函数的极值与导数
-1-
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课前预习案
课堂探究案
学 习 目 标 思 维 脉 络 1.了解极值、 极值点的概 念. 函数的极值与导数 2.理解函数 极值的概念 在某点取得 极值存在的条件 极值的条件. 极值的求法 3.掌握求函 数极值的方 法步骤.
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课前预习案
课堂探究案
1
2
1.函数极值的概念 (1)若函数f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,就把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)若函数f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数 值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,就把点b 叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极大值点和极小值点统称为极值点,极大值和极小值统称为函数 的极值.
x f'(x) f(x) (-∞,0) ↘ 0 0 极小值 0 (0,2) + ↗ 2 0 极大值 4e-2 (2,+∞) ↘
同步人教A高中数学选修1-1课件：3.33.3.3函数的最大(小)值与导数
第三章导数及其应用3・3.3函数的最大（小）值与导数第三章导数及其应用考点学习目标函数的最求函数的了解函数的最大值、最小值核心素养数学抽象、直观的含义想象掌握利用导数求函数最值的方法数学运算W问题导学预习教材P96〜P98,并思考下列问题：1.什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？2.函数的最值与极值有什么关系？3.求函数最值的方法和步骤是什么？«新知初探》1.函数在闭区间［a,刃上的最值如果在区间［“，方］上函数J =f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在［“，切上一定能够取得最大值和最小值, 并且函数的最值必在极值或端点值取得.■名师点拨对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值.若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念•⑶函数y=f(x)^[a9创上连续，是函数丿=沧)在0 "上有最大值或最小值的充分而非必要条件.2.函数最值的求法求函数丿二/仗）在仪，勿上的最值可分两种情况进行:⑴当函数冷）单调时：若函数y=f（x）^[a f,则/（a），/（方）为函数的最大值；若函数丿=/（兀）在0方]上单调递减，则/⑷为函数的最小值•⑵当函数沧）不单调时：①求y=/d）在e方）内的极值;②将尸心）的各极值与端点处的函数值/（“），/（方）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值•■名师点拨函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.《自我检测》O判断(正确的打“ J ”，错误的打“ x ”)⑴函数的极大值一定是函数的最大值.⑵开区间上的单调连续函数无最值.( ⑶函数在区间［一1, 0)U(0, 1］上有最值.(X )设在区间［“，〃］上的函数/（兀）的图象是一条连续不断的曲线，且在区间（a,耐上可导，有以下三个命题：①若/（兀）在【“，勿上有最大值，则这个最大值必是［a,盯上的极大值；②若/（兀）在［a,们上有最小值，则这个最小值必是［a,刃上的极小值；③若/（兀）在［a』］上有最值，则最值必在x=a或兀=〃处取得. 其中正确的命题共有（）A. 0个C. 2个B. 1个D. 3个解析:选A.由于函数的最值可能在区间［“，盯的端点处取得,也可能在区间〃）内取得，故当在区间（“，〃）内取得时，最得最小值；当x=2时，取得最大值.而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确.值必是相应的极值,当兀=0时，取函数/(x)=2x —cosx 在 R 上()A.无最值 解析：选A. /（x ）=2+sin x>0恒成立，所以于（无）在R 上单调递增，故函数/（兀）在R 上无最值.C.有最大值D.有最小值B.有极值0函数j=3x-4x3在区间［0, 2］上的最大值是（A.1B. 2C. 0D. -1解析：选A.设f(x)=3x~4x3f贝!)/(x) = - 12x2+3=3(2x+ 1)(1 一2x).当兀=；时，Ax)=0.因为于(0)=0, //(2)= -26,所以函数j=3x-4x3在区间［0, 2］上的最大值是1・(l)/(x)=2x 3—6X 2+3, X ^[—2, 4]； (2/(x)=e x(3-x 2), x£[2, 5].探究点可求已知函数的最值角度一 函数解析式不含参数 求下列各函数的最值.【解】(l)/y(x)=6x2—12x=6x(x—2).令得兀=o或兀=2・当兀变化时，/（X）, /（兀）的变化情况如下表:所以当兀=4时，/（兀）取得最大值35. 当x=-2时，/（兀）取得最小值一37.⑵因为/(x)=3e x—e v x2, 所以f (x)=3e x—(e x x2+2e x x) =—e x(x2+2x—3) =—e x(x+3)(x—1).因为在区间［2, 5］上，/(x)= -e x(x+3)(x-l)<0,即函数/(兀)在区间［2, 5］上单调递减,所以工=2时，函数沧)取得最大值/(2) = -e2；兀=5时，函数冷)取得最小值/(5)=-22e⑴求函数的导数fd)・(2)求方程f(x)=0的全部实根兀0,且x o e[«, b]. (3)求最值，有两种方式:①判断各分区间上的单调性，然后求出最值;②将沧o)的值与北)，/(〃)比较,确定/(兀)的最大值与最小值.求函数冷)在S 方]角度二函数解析式含参数设函S/(x) = 1 + (1 +a)x —x2—x3,其中a>0.⑴讨论沧）在其定义域上的单调性;⑵当兀丘［0, 1］时，求于仗）取得最大值和最小值时的兀的值.【解】（1#（兀）的定义域为R, f（x） = l-\-a-2x-3x2.严,沪-1+严令加=0,得沪T-Xi<x2,所以f(x) = — 3(x —Xj)(x —x2).当X<Xi或兀>兀2时，/(x)<o；当 X1<X<X2 时，/r(x)>0.⑵因为«>0,所以Xj<0, x 2>0.①当 心4时，x 2^l,由⑴知，沧）在［0, 1］上单调递增，所 以/（x ）^ x=0和兀=1处分别取得最小值和最大值.故/（兀）在一8,—1—寸 4+3「—1+寸 4+3〃3+ 8上单丿调递减，在 —1+、/4+3。
人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数
∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．
人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 3.3.3 函数的最大(小)值与导数
2
=0,得 x=e,当 x>e 时,y'<0;
1
当 0<x<e 时,y'>0,y 极大值=f(e)=e ,在定义域内只有一个极值,
1
所以 ymax= .
e
答案:A
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
与最值有关的参数问题
例3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
数的大致图象,如下图:
3-1
1
由图象可知:函数的最大值等于 f(3)=32 +3 = 6,最小值等于
-1-1
1
f(-1)=(-1)2 +3=-2.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)函数的定义域是R,且y'=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1),
特别提醒 如果函数f(x)在闭区间[a,b]内恰好是单调函数,那么函数
的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]内单调递增
时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]内单调递减时,f(a)
是最大值,f(b)是最小值.
课前篇自主预习
【做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值
当堂检测
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
延伸探究 1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成
=0,得 x=e,当 x>e 时,y'<0;
1
当 0<x<e 时,y'>0,y 极大值=f(e)=e ,在定义域内只有一个极值,
1
所以 ymax= .
e
答案:A
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
与最值有关的参数问题
例3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值h(t);
数的大致图象,如下图:
3-1
1
由图象可知:函数的最大值等于 f(3)=32 +3 = 6,最小值等于
-1-1
1
f(-1)=(-1)2 +3=-2.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
(2)函数的定义域是R,且y'=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1),
特别提醒 如果函数f(x)在闭区间[a,b]内恰好是单调函数,那么函数
的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]内单调递增
时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]内单调递减时,f(a)
是最大值,f(b)是最小值.
课前篇自主预习
【做一做2】 函数f(x)=x3-3x2+12在区间[-1,1]上的最大值与最小值
当堂检测
反思感悟分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
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延伸探究 1若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2],使h(t)<-2t+m成
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1课件：3.3.2 函数的极值与导数
小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0.则把点a叫做函数
y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都
大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则把点b叫做函数
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做1】 已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则
(
)
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
IANLI TOUXI
题型四
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b.
2
由题设,知 x=1 与 x=− 3 为f'(x)=0 的解,
2
2
2
∴− 3 = 1 − 3 , 3 = 1 × - 3 .
1
∴a=− 2 , = −2.
1
(2)由(1)知 f(x)=x3− 2 2 − 2 + ,
第二页，编辑于星期日：点 十五分。
-2-
3.3.2
1
函数的极值与导数
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都
大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.则把点b叫做函数
Z 重难聚焦
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D典例透析
IANLI TOUXI
2
【做一做1】 已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则
(
)
A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点
IANLI TOUXI
题型四
解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b.
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由题设,知 x=1 与 x=− 3 为f'(x)=0 的解,
2
2
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∴− 3 = 1 − 3 , 3 = 1 × - 3 .
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∴a=− 2 , = −2.
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(2)由(1)知 f(x)=x3− 2 2 − 2 + ,
第二页，编辑于星期日：点 十五分。
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3.3.2
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函数的极值与导数
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
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如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
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2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
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【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．