三角形外角的性质及应用
三角形的外角
引言概述：
正文内容：
一、外角的定义
1.外角是指一个三角形的某个角与另外两个角的内角之和相等的角。
2.外角的度数等于不相邻的两个内角的度数之和。
3.三角形的每个角都有一个对应的外角。
二、外角的性质
1.三角形的外角和等于360°。
a.由于三角形的内角和等于180°，所以三角形的外角和等于180°的补角，即360°。
b.这个性质表明，一个三角形的所有外角的和总是等于360°。
2.外角与内角的关系
a.外角与其对应的内角之和等于180°。
b.对任意一个三角形的外角及其对应的内角做补角，可以得出外角和内角之和为180°的结论。
3.外角与角标的关系
a.三角形的外角的度数等于其对应的角标的度数。
b.这意味着我们可以通过测量一个三角形的外角，来确定对应的角标的度数。
4.外角之间的关系
a.三角形的三个外角之间是线性相关的。
b.任意两个外角的度数之和等于第三个外角的度数。
5.外角与角平分线的关系
a.三角形的外角与其对应的角平分线相交于三角形的外心。
b.这个性质可以用来构造三角形的外心，从而进一步研究三角形的特性。
结论：
三角形的外角具有一些独特的性质和关系。
它们的度数等于对应内角的度数，且总和为360°。
外角与内角之间有一定的线性关系。
外角与角平分线也存在一定的关系。
这些性质和关系可以帮助我们更好地理解和应用三角形的几何特性。
三角形的外角
利用外角和定理求角度
总结词
转化工具，求解角度详细描述 Nhomakorabea三角形的外角和定理是三角形外角的基本性质之一，它指出三角形的外角和等于360°。这个定理可以 用于求解三角形中未知的角度。例如，已知三角形三个内角的度数之和，可以通过减去已知的内角， 再利用外角和定理求出未知的外角的度数。
利用外角平分线定理证明相等
总结词
解题工具，解决问题
详细描述
外角性质可以用于解决一些几何问题，例如求解多边形的内角和、判断多边 形的形状等。例如，可以通过计算一个多边形的所有外角的和，再利用外角 和定理求出多边形的内角的和。
04
例子
求等边三角形的外角
总结词
等边三角形的外角为360°/3=120°
详细描述
等边三角形三边长度相等，每个内角为60°。根据三角形外角的定义，外角等于 不相邻的两个内角的和。因此，等边三角形的外角为180°-60°=120°。
THANK YOU.
三角形外角平分线定理
总结词
一个三角形的一个内角的平分线将对应的 这个内角的外角平分成两个相等的部分。
VS
详细描述
三角形外角平分线定理是三角形外角的一 个重要性质，它指出一个三角形的一个内 角的平分线将对应的这个内角的外角平分 成两个相等的部分。这个定理在解决三角 形的问题时非常有用，因为它可以帮助我 们转化问题，从内角转到外角，从而更容 易地解决问题。
三角形外角的性质
总结词
三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
详细描述
三角形外角的性质是三角形外角的一个重要性质，它指出三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和。这个性质在解决三角形的问题时非常有用，因为它可以帮助我们转化问题，从外角转到内角，从而更容易 地解决问题。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的内角和外角的性质及其在建筑中的应用
三角形的内角和外角的性质及其在建筑中的应用三角形作为几何学中的重要概念之一，其内角和外角的性质一直以来都备受关注。
本文将探讨三角形内角和外角的定义、性质以及在建筑中的应用。
一、三角形内角的性质三角形的内角是指三个边的交汇处的角度。
在任意三角形ABC中，我们可以观察到以下性质：1. 内角和为180度：三角形的内角和等于180度，即∠A + ∠B +∠C = 180°。
这是因为在平面几何中，直线的两个补角之和为180度，而三角形的三个角相当于一个平行直线和两条相交直线形成的三个补角。
2. 内角的大小关系：在三角形ABC中，根据三角形内角的性质，我们可以推导出以下关系：- 若∠A > ∠B，则BC边对应的∠A > ∠C对应的∠B。
- 若∠A = ∠B，则BC边对应的∠A = ∠C对应的∠B。
- 若∠A < ∠B，则BC边对应的∠A < ∠C对应的∠B。
二、三角形外角的性质三角形的外角是指三角形一条边的延长线与相邻边之间所形成的角度。
在任意三角形ABC中，我们可以观察到以下性质：1. 外角与内角关系：三角形的外角与其对应的内角存在一定的关系。
准确地说，三角形的外角等于其对应内角的补角。
也就是说，∠D = 180° - ∠A，∠E = 180° - ∠B，∠F = 180° - ∠C。
2. 外角和为360度：三角形的三个外角之和等于360度，即∠D +∠E + ∠F = 360°。
这是因为三角形ABC的三条边的延长线形成了一条封闭的平行线，而封闭平行线上的任意角度之和为360度。
三、三角形内角和外角的应用在建筑中三角形的内角和外角的性质在建筑中有着广泛的应用。
以下是几个例子：1. 地基设计：在建筑的地基设计中，需要考虑三角形的内角和外角的性质，来确定施工中的角度和均衡力的分布。
准确地计算地基角度可以保证建筑的稳定性和结构的牢固性。
2. 房屋结构设计：三角形作为建筑结构设计中常见的形状，三角形的内角和外角的性质对于房屋的平衡和稳定至关重要。
三角形的外角性质及证明
三角形的外角性质及证明三角形是几何学中最基本的图形之一。
它具有丰富的性质和关系，其中之一就是外角性质。
本文将介绍三角形的外角性质，并给出相应的证明。
一、外角的定义首先，我们来定义三角形的外角。
在任意三角形ABC中，我们可以选择一条边AB，并将其延长到D点。
则角ADC和角B是三角形ABC的外角。
如下图所示：[插入示意图]二、外角性质三角形的外角具有一些特殊的性质。
我们来逐一介绍。
1. 性质一：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ADC和角B，内角分别为角A和角C。
根据角度的定义，可以得出：角ADC + 角A = 180°（内角和为180°）角ADC + 角C = 180°（内角和为180°）将上述两个等式相加，即可得到：2角ADC + (角A + 角C) = 2角ADC + 180° = 360°而两个外角之和为360°。
因此，得证角ADC = 角A + 角C，即一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
2. 性质二：三角形的所有外角之和等于360°。
证明：在三角形ABC中，有三个外角，分别为角ADC、角B和角C。
根据性质一可知，角ADC = 角A + 角C。
将此等式代入外角之和的计算中，得：角ADC + 角B + 角C = (角A + 角C) + 角B + 角C= 角A + 2角C + 角B根据内角和为180°的性质，可知角A + 角B + 角C = 180°。
将此等式代入上述等式中，即可得到：角ADC + 角B + 角C = 180° + 2角C又根据角ADC + 角B + 角C = 360°的定义，可以得到：180° + 2角C = 360°解以上方程，得到2角C = 180°，即角C = 90°。
因此，角ADC + 角B + 角C = 180° + 2(90°) = 360°，三角形的所有外角之和为360°。
三角形的外角和定理的应用
三角形的外角和定理的应用三角形是我们初中数学学习的重要内容之一，其中外角和定理是三角形的重要性质之一。
在本文中，我将详细介绍外角和定理的定义、性质以及应用，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、外角和定理的定义和性质在了解外角和定理的应用之前，我们首先需要了解外角和定理的定义和性质。
外角是指一个三角形的一个内角的补角。
具体来说，对于一个三角形ABC，如果我们将边AB和边BC延长，使其相交于一点D，那么∠ACD就是三角形ABC的外角。
同理，我们可以定义三角形的其他两个外角。
外角和定理是指三角形的三个外角之和等于360°。
换句话说，对于一个三角形ABC，我们可以得出以下等式：∠A + ∠B + ∠C = 360°。
二、外角和定理的应用外角和定理在数学的应用中具有广泛的应用，下面我将通过两个实例来说明其应用。
实例一：利用外角和定理解决几何问题假设有一个三角形ABC，其中∠A = 60°，∠B = 80°，我们需要求解∠C的度数。
根据外角和定理，我们知道∠A + ∠B + ∠C = 360°。
将已知的角度代入该等式，得到60° + 80° + ∠C = 360°。
通过简单计算，我们可以得出∠C = 220°。
实例二：应用外角和定理解决实际问题假设有一个三角形ABC，其中∠A = 50°，∠B = 70°，边AC的长度为10 cm，我们需要求解边BC的长度。
我们可以利用三角形的外角和定理，通过已知的角度和边长来求解未知的边长。
首先，我们可以利用三角形的内角和定理求解∠C的度数。
根据内角和定理，我们知道∠A + ∠B + ∠C = 180°。
将已知的角度代入该等式，得到50° + 70° + ∠C = 180°。
通过简单计算，我们可以得出∠C = 60°。
三角形的外角和
三角形的外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，这三条线段相互连接形成一个封闭的图形。
在研究三角形的性质时，外角是一个重要的概念。
本文将介绍三角形的外角定义及其性质，以及如何求解外角的方法。
一、外角的定义在三角形ABC中，以边BC为一条直线，将它延长到点D，使得C 和D不重合。
那么角ADC称为三角形ABC的外角，记作∠ADC。
二、外角的性质1. 三角形的外角和等于360度对于任意一个三角形ABC，将其三个外角∠ADC、∠ABD、∠BCE连接起来，可以构成一条直线。
根据直线上角的性质，这条直线上的角和等于180度。
同时根据三角形内角和等于180度的性质，三角形ABC的内角和等于180度。
因此，三角形ABC的外角和加上内角和等于360度。
2. 三角形的外角和等于不相邻内角的和通常情况下，会将∠ADC称为∠A的外角，∠ABD称为∠B的外角，∠BCE称为∠C的外角。
根据三角形内角和等于180度的性质，可以得到∠A的内角和等于180度减去∠A的外角，同理可以得到∠B内角和∠C内角的关系。
因此，三角形ABC的外角和等于∠A的内角和加上∠B的内角和加上∠C的内角和。
三、如何求解外角的方法1. 已知三角形的内角，求解外角已知三角形的内角∠A、∠B、∠C，可以通过∠A的内角和等于180度减去∠A的外角，得到∠A的外角的大小。
同理，可以求解出∠B的外角和∠C的外角的大小。
2. 已知三角形的边长，求解外角如果已知三角形的边长AB、AC、BC，可以使用余弦定理或正弦定理求解三个内角的大小，进而通过已知三个内角的和等于180度，求解出三个内角的大小。
再根据已知三个内角的关系，可以求解出对应的外角的大小。
3. 已知三角形的顶点坐标，求解外角如果已知三角形的顶点坐标A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，可以使用向量的方法计算出三边的向量，并利用向量的夹角公式求解出三个内角的夹角。
再根据已知三个内角的关系，可以求解出对应的外角的大小。
三角形的外角性质
三角形的外角性质三角形是几何学中最基本的图形之一，由三个不共线的点和它们之间的边构成。
在三角形中，有一些特殊的角称为外角。
本文将详细介绍三角形外角的性质。
一、外角的定义外角是指一个三角形的其中一个内角的补角，也就是与该内角相邻且不在同一条直线上的角。
在任何三角形中，每个内角都对应着一个唯一的外角。
二、三角形外角的性质1. 外角和内角关系在任何三角形中，一个外角等于另外两个不相邻的内角的和。
换句话说，三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A是一个外角，它等于∠B和∠C的和（∠A = ∠B + ∠C）；同样地，∠B是一个外角，它等于∠A和∠C的和（∠B = ∠A + ∠C）；∠C也是一个外角，它等于∠A和∠B的和（∠C = ∠A + ∠B）。
2. 外角和直角在三角形中，三个外角的和恒等于直角（90度）。
也就是说，三个外角的度数之和总是等于90度。
证明：设三角形ABC的三个外角分别为∠A、∠B、∠C，根据三角形的内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180度。
根据外角的定义可知∠A = ∠B + ∠C。
将∠A代入前一个等式中得到∠B + ∠C + ∠B +∠C = 180度，整理得到2∠B + 2∠C = 180度，化简得到∠B + ∠C =90度。
3. 外角与内角的关系在同一个三角形中，一个内角的外角与其他两个内角之和相等。
也就是说，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
例如，在三角形ABC中，∠A对应的外角是∠D，∠B对应的外角是∠E，∠C对应的外角是∠F。
根据外角的定义可知∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
4. 外角的性质总结根据上述讨论，我们可以总结出三角形外角的性质：- 一个三角形的外角等于其余两个内角的和。
- 三个外角的和等于90度（直角）。
- 同一个三角形中，一个内角的外角等于其他两个内角的和。
结论：本文详细介绍了三角形外角的性质，包括外角的定义、外角和内角的关系、外角和直角的关系以及外角与内角的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形外角的性质及应用
角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。
本文谈谈三角 形外角
的性质及应用。
一.三角形外角的概念及特征
如图1像/ ACD 那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。
图1
外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如/ ACD 的顶点C 是厶ABC 的一个顶点;
（2） 一条边是三角形的一边，如/ ACD 的一条边 AC 正好是△ ABC 的一条边；
（3） 另一条边是三角形某条边的延长线如/ ACD 的边CD 是厶ABC 的BC 边的延长线。
二.性质
1. 三角形的外角与它相邻的内角互补。
2. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4. 三角形的外角和等于 360 °。
三•应用
1. 求角的度数
例1. （ 2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是
55°和65°,这个三
角形的外角不可能是（ ） A. 115 ° B.120 ° C.125 ° D. 130 °
解析：如图2，/ A 的外角为：180°
55 =125 °。
/ B 的外角为：180° - 65° =115°
/ ACB 的外角为：55° +65 ° =120°
所以选D。
BCD
例2. （2005年浙江省宁波市中考）如图3, AB//CD，/ B=23。
，/ D=42 °，则/ E= （）
因为AB//CD
所以/仁/ B=23 °
/ BED是厶EDF的外角
则/ BED= / 1 + / D=23 ° +42° =65
故选Co
A. 23
例3. （2006年重庆市中考）如图4, AB=AC , / BAD= ,且AE=AD ,贝EDC=( A. B. C. D.
解析：延长
解析：设/ EDC=x°
因为/ ADC是厶ABD的外角
所以/ ADC= / ABC+ / BAD
即/ ADE+x= / ABC+ （1）
因为AB=AC , AD=AE
所以/ B= / C,/ ADE= / AED
而/ AED是厶DEC的外角
所以/ AED= / EDC+ / C
即/ AED=x+ / C （2）
将（2）代入（1）得：
x C x ABC
1
所以x -
2
所以选A。
2.判定三角形的形状
例4. （2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上三种情况都有可能
解析：如图5，在三角形ABC中，/ BAC的外角/ CAD< / BAC
而/ CAD+ / BAC=180 °
即:/ CAD=180 ° -/ BAC
所以180°-/ BAC< / BAC
所以/ BAC>90 °
故选C
3.证明两角相等
例5. （2002年福建省龙岩市中考）如图6,在厶ABC中，AB=AC , D、E分别在BC、
AC 边上，且/ ADE= / B , AD=DE。
求证：△ ADB DEC。
分析：因为/ ADC是厶ADB的外角
所以/ ADC= / B+ / BAD
而/ ADE= / B,/ ADC= / ADE+ / CDE 所以/ ADE+ / CDE= / ADE+ / BAD 因此/ BAD= / CDE 又AB=AC，可得/ B= / C
而AD=DE
所以△ ADB DEC
例6. （2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且/
2 ................
APD=60 ° ,BP=1 , CD 则厶ABC 的边长为（)
3
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
图7
分析：因为△ ABC为等边三角形，所以/ B= / C=60
又因为/ APC是厶ABP的外角
所以/ APC= / B+ / BAP 而/ B= / APD=60 °
所以
/ BAP= / CPD
又/ B= / C ,所以△ ABP PCD
图8 证明：延长BD 交AC 于E 在厶 ABE 中，/
BEC> / A 在厶 CDE 中，/ BDC> / BEC 所以/ BDC> / A
例8.已知：如图 9，在△ ABC 中，/ BAC=90 ° , AD 丄BC 于D , E 是AD 上一点，求 证：/ DEC> / ABC 。
证明：因为/ BAC=90 ° 所以/ BAD+ / DAC=90 又因为AD 丄BC
所以/ ADB=90 °
所以/ ABC+ / BAD=90
所以/ ABC= / DAC
又因为/ DEC 是厶AEC 外角
所以/ DEC> / DAC
所以/ DEC> / ABC
5. 证明角度的和差关系
所以 AB
PC BP CD
设厶ABC 边长为x ,
则-X x
解得x=3
故选A
4. 证明角度不等关系
例7.已知，如图8,在厶ABC 中，D 是三角形内一点，求证：/ BDC> / BAC 。
例9.如图10，已知：在△ ABC中，AB>AC，/ AEF= / AFE，延长EF与BC的延长线1 交于G,求证：G ( ACB B)。
2
图io
证明：因为/ AEF= / B+ / G
又因为/ AEF= / AFE，/ AFE= / GFC
所以/ AEF= / GFC
所以/ GFC= / B+ / G ①
又因为/ ACB= / GFC+ / G ②
① + ②得：/ ACB= / B+2 / G
1
所以G -( ACB B)
2
例10.如图11,求证：/ A+ / B+ / C+ / D+ / E=180 °。
图11
证明：如图11,/ 1= / C+Z D，/ 2= / A+ / E
而/ 1 + Z 2+ / B=180 °
所以/ A+ / B+ / C+ / D+ / E=180 °
练习:
13,在锐角三角形中， CD 、BE 分别是AB 、 A=50 °，则/ BPC 的度数是（ ）
4.如图 15,求/ A+ / B+ / C+ / D+ / E 的度数。
（提示：利用如图/ 1、/ 2即可）。
1. （1996年昆明市中考） 则/ ACB 等于（
A.
20 °
如图12, 分别是△ ABC 的外角，且： 2:3:4 , A.150 ° C. 120 ° 度。
3. B.130 ° D.100 °
2. （ 2004年陕西省中考）如图 CD BE P AC 边上的
A
'
图15。