高中数学中的排列组合与概率综合应用
高中数学排列组合与概率计算实战演练
高中数学排列组合与概率计算实战演练在高中数学的学习中，排列组合与概率计算是非常重要的内容。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活息息相关。
接下来，让我们通过一些实际的例子来深入理解和掌握这部分知识。
首先，我们来了解一下排列组合的基本概念。
排列是指从给定的元素中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
例如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列的方式有 5×4×3 ＝ 60 种。
组合则是指从给定的元素中，不考虑顺序地选取若干个元素。
比如，从 5个不同的元素中选取 3 个组成一组，组合的方式有 5×4×3÷（3×2×1) ＝10 种。
在实际问题中，如何判断是排列问题还是组合问题呢？关键在于是否考虑顺序。
如果元素的顺序对结果有影响，就是排列问题；如果顺序无关紧要，就是组合问题。
下面我们通过一些具体的例子来进行实战演练。
例 1：有 5 个不同的奖项要颁发给 3 个人，每人最多获得一个奖项，有多少种不同的颁发方式？这是一个排列问题。
因为奖项是不同的，而且每个人获得的奖项不同顺序也会导致结果不同。
所以，第一个奖项有 3 种颁发方式，第二个奖项有 2 种颁发方式，第三个奖项有 1 种颁发方式。
总的颁发方式就是 3×2×1 ＝ 6 种。
例 2：从 10 名学生中选出 3 名参加数学竞赛，有多少种选法？这是一个组合问题。
因为选出的 3 名学生参加竞赛，他们的顺序并不影响结果。
所以，选法有 10×9×8÷（3×2×1) ＝ 120 种。
接下来，我们再看看概率计算。
概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用 0 到 1 之间的数值来表示。
概率的计算公式是：事件发生的可能性数÷总可能性数。
例 3：一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出 2 个球，都是红球的概率是多少？首先，计算总的取法有 8×7÷（2×1) ＝ 28 种。
高中数学排列组合的应用-ppt课件
例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？
解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。
(3)非均匀、无序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 则共有 种分法. (其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(4)非均匀、有序分组: 把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组 r2个元素，第3组r3个元素，……第m组rm个元素， 再分给m个人，则共有 种分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)
(5)局部均匀分组: 把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元 素， m2个组有r2个元素，…… mk个组有rk个元素， 则共有 种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)
如果每堆至多2本，至少1本，有多少种分法？
解法一:(特殊位置法)
第一步:从其余5位同学中找2人站排头和排尾,有 种;
第二步:剩下的全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
解法二:(特殊元素法)
第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个位置中的两个位置上,有 种;
第二步:其余同学全排列,有 种;
答：共有2400种不同的排列方法。
2
如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？
1
例4:有6本不同的书，分成4堆.
例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?
高中数学排列组合概率统计
排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义 从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 6 排列与组合综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)【题组一 排队型】1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有( )种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有( ) A ．2016种 B ．1512种 C ．1426种 D ．1362种【答案】B【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有39C 种不同的组合. 选出的4个名称的不同分析顺序有44A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有33A 种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有()343943 1 512C A A ⋅-=(种)，故选：B3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( ) A ．408种 B ．240种 C ．192种 D ．120种【答案】A【解析】将六艺全排列，有66A 种，当“射”排在第一次有55A 种， “数”和“乐”两次相邻的情况有2525A A 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有2424A A 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有652524652524A A A A A A 408--+=种，故选：A .4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为( ) A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A =种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A =种插法；所以共有2420480⨯=种不同的安排方法.故选：A5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( ) A ．400种 B ．720种 C ．960种 D ．1200种【答案】C【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有6621440A ⨯=种， 而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有5522480A ⨯⨯=种， 故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440480960-=种.故选：C.6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120 B ．156 C ．188 D ．240【答案】A【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种)故选：A7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C【解析】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为( ) A ．12 B ．59C ．67120D ．133240【答案】D【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有66720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则5个元素全错位544=D (常用数据知识)，当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，所以概率为126666449399133=720240⨯+⨯==C C P A .故选：D. 9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ､F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】当E ，F 排在前三位时，有()22322324A A A =种安排方案；当E ，F 排在后三位时，有()()1222332272C A A A =种安排方案：当E ，F 排中间两位时，有()1122232224C A A A =种安排方案.综上，不同的安排方案共有247224120++=(种)，故选：D.10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==故选：B 11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ). A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=(种).对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=(种)，其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=(种).综上，共有()41922521776⨯+=(种).故选：B12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)由于一些特殊原因，高一的12345,,,,A A A A A ，5个节目，1A 必须在其余4个节目前面演出；高二的123,,B B B ，3个节目，1B 必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A ，B ，C 三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．【答案】(1)8789A A ；(2)15421542535s A A A A A ⨯⨯⨯；(3)15991999C ；(4)4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯. 【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有88A 种不同的排法， 再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有79A 种方法， 由分步计数原理可得，共有8789A A 种不同的出场顺序.(2)高一的5个节目全排列，有55A 不同的排法，其中1A 必须在其余4个节目前面有44A 种， 高二的3个节目全排列有33A 不同的排法，其中1B 必须在其余2个节目前面有22A 种， 初中、高一和高二的15个节目全排列有1515A 种不同的排法，所以1A 在其余4个节目前面演出；1B 在其余2个节目前面演出，共有15421542535sA A A A A ⨯⨯⨯种. (3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生， 可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板， 把2000根荧光棒分为1600份，共有15991999C 种不同的分法.(4)由题意，可分为两类：①若11,12和13,14在同一组中，共有488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式； ②若11,12和13,14不在同一组中，共有6683201283C C C A ⨯488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式， 由分类计数原理，可得共有4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯不同的安排方式. 13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数； (Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； (Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率． 【答案】(Ⅰ)360；(Ⅱ)192；(Ⅲ)1560；(Ⅳ)35【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为6613602A =； (Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424192A A C ⋅⋅=种不同排法；(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为221131114464216321442232231560C C C C C C C C A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅； (Ⅳ)记A ：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式232432252535A A A A A ⋅⋅=⋅ 【题组二 数字型】1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？【答案】(1)648个；(2)156个；(3)2296个；(4)1140个.【解析】()1由题意，无重复的三位数共有1299972648A A=⨯=个；()2当百位为1时，共有299872A=⨯=个数；当百位为2时，共有299872A=⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A+=个数，所以315是第727212156++=个数；()3无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A=个数；当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有1218841792A A A=个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；()4当选出的偶数为0时，共有1335180A A=个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A=个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.14 3472C A⋅=个.(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即323472A A=个(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即132354531200C C C A=个【题组三分组分配型】1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员．．工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1人有1225C C种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有( ) A ．86种 B ．100种 C ．112种 D ．134种【答案】B【解析】若只有1人参加数学竞赛，有221124244222()(44325)6C C C C A A +=⨯+⨯=种安排方法，若恰有2人参加数学竞赛，有21243263236C C A =⨯⨯=种安排方法，若有3人参加数学竞赛，有3242428C A =⨯=种安排方法，所以共有56368100++=种安排方法． 故选：B4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=， 所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；(3)先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)． 【题组四 涂色型】1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A ．36种B ．24种C ．12种D ．9种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P -ABC 的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3216⨯⨯=种不同的涂法， 第二步：涂三棱柱ABC -111A B C 的三个侧面，先涂侧面11AA B B 有122C =种涂法，再涂11BB C C 和11CC A A 只有1种涂法， 所以涂三棱柱的三个侧面共有212⨯=种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6212⨯=种涂法，故选：C2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )A ．720种B ．2160种C ．4100种D ．4400种【答案】C【解析】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数为354320⨯=种； 考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数为()5434332160⨯⨯⨯⨯⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数为33531620A ⨯=种．所以共有方法数为320216016204100++=种． 故选：C ．3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【答案】C【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，(1)当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法， ①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法； ②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法. (2)当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法； ②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法. 故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法. (3)当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，(i )若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；(ii )若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法. 故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法. 综上，共有240192168600++=种涂色方法. 故选：C.4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：6543434320⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D.5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种【答案】B【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576 264【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；(2)若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种． 故答案为：①576；②264.7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种.故答案为：48．8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)【答案】72【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有1112423248C C C A=种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有343224C⨯⨯=种.综上共有：482472+=种.故答案为：729．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种 本题正确结果：42010．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种. 【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂,,A B C ，再涂,,D E F .第一类：若5种颜色都用上，先涂,,A B C ，方法有35A 种，再涂,,D E F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A ⋅⋅=种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂,,A B C ，方法有34A 种，再涂,,D E F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A ⋅⋅⋅=种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种；先涂,,A B C ，方法有33A 种，再涂,,D E F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A ⋅⨯=种； 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案是1920.11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A 、B 、C 、D 、E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【解析】因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域C、E各有4种方法, 区⨯⨯⨯⨯=.域A、B一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法54443960故答案为：960．12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案.所以共有32222296故答案为：9613．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】192【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法； 第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，。
高中数学排列与组合的应用及解题思路
高中数学排列与组合的应用及解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
掌握排列与组合的应用方法和解题思路，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，分析排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列与组合的基本概念在开始讨论具体问题之前，我们先来回顾一下排列与组合的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列成一列，通常用P 表示。
组合是指从一组元素中选取若干个元素按照任意顺序组合成一组，通常用C 表示。
例如，从1、2、3、4四个数字中选取2个数字进行排列，可以得到以下6种不同的排列：12、13、14、23、24、34。
而组合就是将这6种排列中相同的数字组合在一起，即{12, 13, 14, 23, 24, 34}。
二、排列与组合的应用举例1. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？解析：这是一个典型的组合问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生，顺序不重要，即为组合。
根据组合的定义，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)来求解。
代入具体的数值，即C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。
答案：有120种不同的选法。
2. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生排成一排，问有多少种不同的排法？解析：这是一个典型的排列问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生排成一排，顺序重要，即为排列。
根据排列的定义，可以使用排列公式P(n, k) = n! / (n-k)!来求解。
代入具体的数值，即P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720。
答案：有720种不同的排法。
三、排列与组合的解题思路在解决排列与组合问题时，我们可以采用以下几个步骤：1. 确定问题类型：首先要明确问题是排列还是组合，根据题目的要求来确定使用哪种方法。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的组合与排列问题高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率一、排列与组合基础知识在学习排列组合与概率之前，我们首先需要了解一些基础的排列与组合知识。
1. 排列排列是从一组元素中选取出若干元素按照一定的顺序排列的方式。
这些元素可以是数字、字母、物品等。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行排列，则表示为 P(n, m) 或 nPm，排列的公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!2. 组合组合是从一组元素中选取出若干元素而不考虑顺序的方式。
与排列不同，组合只关心元素的选择而不涉及元素的顺序。
如果从 n 个元素中选取 m 个进行组合，则表示为 C(n, m) 或 nCm，组合的公式为：C(n, m) = n! / [m! * (n - m)!]二、排列组合的应用排列组合的应用广泛，不仅限于数学领域，在实际生活中也能见到许多与排列组合相关的问题。
下面列举几个常见的应用场景：1. 抽奖问题在抽奖活动中，我们常会遇到从一堆奖品中抽取若干个奖品的问题，这就涉及到组合的应用。
2. 选课问题学校的选课系统通常会要求学生从众多课程中选择若干门进行学习，这就是一个排列问题。
3. 组队问题在进行体育竞赛或其他集体活动时，我们需要将一群人分成几个小组，这就是一个组合问题。
三、排列组合的公式总结在实际应用中，我们常常需要用到排列组合的公式来解决问题。
下面是一些常见的排列组合公式：1. 排列公式：- 样本不放回排列：P(n, m) = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - m + 1)- 样本放回排列：P(n, m) = n^m2. 组合公式：- C(n, m) = C(n, n - m)- C(n, m) = P(n, m) / m!- C(n, m) * C(m, k) = C(n, k) * C(n - k, m - k)四、概率与排列组合的关系排列组合与概率有着密切的关系，概率问题常常需要借助排列组合的概念来求解。
高中数学概率与统计( 排列组合)
排列组合一 、分类、分步原理（一）分类原理：12n N m m m =+++.分类原理题型比较杂乱，须累积现象。
几种常见的现象有：1．开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类.2．数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数. 3．球赛得分：根据胜或负场次进行分类. （二）分步原理：12n N m m m =⨯⨯⨯.两种典型现象： 1．涂颜色(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举. 2．映射按步骤用A 集合的每一个元素到B 集合里选一个元素，可以重复选.二 、排列、组合（一）常规题型求情况数1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。
捆绑法，插空法.2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数. （二）七种常考非常规现象1．小数量事件需要分类列举：凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 2．相同元素的排列：用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 3．有序元素的排列:用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 4．剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。
5．迈步与网格现象:要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种情况. 6．立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 7．平均分组现象:先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以nn A ，有几套平均分组就除几个xx A .（三）排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 2. 组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 3. 组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .4. 排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 【题型体系】一、分类计数原理与分步计数原理 （一）选（排）人选（排）物1.某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方法有（ ）Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．482.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种3.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作．若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）（A ）280种 （B ）240种 （C ）180种 （D ）96种 （二）.染色1.用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，如果每一个涂一种颜色，相邻的区域不能同色，那么涂色的方法有__________种。
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．【解答】解：由题可知，总的取法有72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为=1−42+121=23．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题．【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有223321=24种．【命题意图】第1题考察计数原理，考察排列组合的应用，考察古典概型的计算，考察应用排列组合计算古典概型问题的概率。
第2题考察排列组合的捆绑法、插空法等计算方法。
试题通过设计优化情境，应用型、创新性的考察。
【命题方向】排列组合与概率是高考必考的知识点之一，其中概率是相对容易排列组合则时难时易。
主要考察分类、分布计算原理的应用，考察古典概型及几何概型，突出考察分类讨论思想，考察转化化归数学思想应用，试题在问题情境的设置上越来越接近生活，把实际问题合理、正确的转化为排列组合概率问题，以此来考察思想、应用、创新等能力。
排列、组合与概率常以现实生活、社会热点为载体【得分要点】涉及到排列组合的综合问题，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，对各种情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.古典概率中的“人坐座位模型基础”：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
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高中数学中的排列组合与概率综合应用
在高中数学中，排列组合与概率是两个重要的概念和工具。
它们不仅在数学领
域有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
本文将探讨排列组合与概率在高中数学中的综合应用。
一、排列组合与概率的基本概念
排列组合是数学中的基本概念，它们描述了对象的不同排列和选择方式。
排列
是指从一组对象中按照一定顺序选择若干个对象，组成一种排列方式。
组合是指从一组对象中选择若干个对象，不考虑其顺序。
概率是指某一事件发生的可能性，它可以用数值来表示。
二、排列组合与概率在生活中的应用
1. 考试座位安排：在高中考试中，学校需要安排考生的座位。
通过排列组合的
方法，可以计算出不同座位安排的可能性。
而概率则可以用来估计每个考生被安排到某个座位的可能性。
2. 抽奖活动：在各种抽奖活动中，排列组合与概率也有着广泛的应用。
例如，
某个活动中有100个参与者，其中10个人可以获得奖品。
通过排列组合的方法，
可以计算出不同人获奖的可能性。
而概率则可以用来估计每个人获奖的概率。
3. 股票投资：在股票投资中，投资者需要根据市场情况做出买入或卖出的决策。
排列组合与概率可以用来分析不同投资组合的可能性，并估计每种投资组合的收益概率。
4. 生产计划安排：在生产过程中，企业需要合理安排生产计划，以最大限度地
提高生产效率。
通过排列组合的方法，可以计算出不同生产计划的可能性，并通过概率来估计每种生产计划的成功概率。
三、排列组合与概率的综合应用举例
假设某公司有5个职位需要填补，共有10名应聘者。
每个应聘者只能担任一个职位。
现在需要计算以下几个问题：
1. 有多少种不同的职位填补方式？
通过排列的方法，可以计算出不同职位填补方式的数量。
根据排列的定义，可以得出答案为10的5次方，即10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 30,240 种。
2. 某个应聘者被选中的概率是多少？
假设某个应聘者是A，他被选中的概率可以通过计算他被选中的情况数与总情况数的比值得出。
根据排列的定义，可以得出答案为1/30,240。
3. 至少有一个应聘者被选中的概率是多少？
至少有一个应聘者被选中可以通过计算至少有一个应聘者未被选中的情况数与总情况数的差值得出。
根据排列的定义，可以得出答案为1 - (9 × 8 × 7 × 6 × 5)/(10 × 9 × 8 × 7 × 6) = 1 - 1/10 = 9/10。
通过以上例子，可以看出排列组合与概率在高中数学中的综合应用。
它们不仅可以用来解决实际问题，而且可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在高中数学的教学中，应该注重排列组合与概率的应用，帮助学生理解和掌握这些概念和方法。
总结起来，排列组合与概率是高中数学中的重要概念和工具。
它们不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在现实生活中也有着重要的意义。
通过排列组合与概率的综合应用，可以解决各种实际问题，并培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
因此，在高中数学的教学中，应该注重排列组合与概率的应用，帮助学生理解和掌握这些概念和方法。