第三章 表象理论
这是决定参数M的可能值(即本征值)的方程，通常称为久期方程。解这个 ˆ M 方程可以得到它的一系列的根： 1 , M 2 , , M n , ，它们就是算符 M 的全部 本征值。把其中一个根，例如 M ，代回原来的方程组，就可以求得相应 的解 C ni (n=1，2…)(附加一个脚标i指明它是与第i个根相对应的)即
* m
ˆ M
C
n
n
n dx
mn
C
m n
* m
C n
mn
* m
ˆ M n dx
C
m nn
* m
M
Cn
M
C
* 1
C2
*
… Cn …
*
M M M
11 21
M M
12 22
M M
1n 2n
n1
M
C n C n ( Fn )
因此，我们称数列{C n }为在力学量F表象中的波函数。这样式(3.1.2) 就是波函数从“F”表象到“x”表象的变换，而(3.1.3)就是其逆变换。 坐标x的取值几率分布为
W ( x ) | |
2
(3.1.4)
2
力学量F的取值几率分布为
W ( F ) | C n |
由于左矢和右矢是一一对应的，因此体系的一个状态可以用一个右
矢表示，也可以用一个左矢表示。
2. 线性算符和自轭算符
(1) 线性算符：
线性算子（算符） 作用于右矢
P
仍为右矢空间的一个矢量 Q
并服从下列线性规则
则 是线性算符。
可用下式来定义两个线性算子的相加和相乘：
(2) 共轭线性算符(亦称伴随算符)
(3.1.9)
a
n
n
n
(3.1.10) (3.1.11)
n
b
n n
n
b
n n
n
* m
a
n
n
ˆ M
b
n n
n dx b m
a
n n
* m
ˆ M n dx
M
n
mn
an
bm
M
n
mn
an
(3.1.12) (3.1.13)
M
mn
M M M
11 21
M M
12 22
M
M M
M
n1
M
n2
M
nn
M
=0
M 11 M M M
n1 21
M 12 M M
n2 22
M
M M
1n 2n
=0
nn
M
M
3.1 状态和力学量的表象
1. 状态（波函数）的表象
称为坐标表象(或x表象)中的波函数，因而它的自变量除了时 间t就是粒子的空间坐标x(以下简称坐标)—即坐标这个力学量的可能取 值，从理论上看就是坐标算符的本征值。
( x, t )
然而坐标仅是微观粒子所具有的各种力学量中的一个。自然可以提 出这样的问题：是否可以用以其它力学量作为自变量的波函数来描述同 一个状态呢? 用F表示任意一个力学量，它的本征值为F 1, F 2, …，相应的本征函
i
C 1i C 2i i ( F ) C ni
这样我们可以把解微分方程求本征值的问题变为求解久期方程式的根的 问题。
5.3 狄拉克(Dirac)符号
1. 右矢和左矢
为了描述量子力学中体系的状态，引进一种特殊的矢量，叫做“右 P 矢量”，简称“右矢”。用符号 代表一个右矢(ket vector)，亦称为刃， 它们的集合组成一个线性向量空间。
(F )
C1 C 2
*
*
…
Cn
*
…
( F ) 是一个单行矩阵，是 ( F ) 的转置共轭矩阵。
(2) 正交。在x表象中
a
* a
*
b dx 0
a
n
* n
m
* n
b
* n
b
m
m
n n
an
* * n
b
m
m
m dx 0 m dx 0
量子力学中状态和力学量的具体表示方式称为表象。我们以前所采 用的表象称为坐标表象。这一章我们要讨论任意力学量的表象。 表象理论的意义在于，首先，对于给定的一个具体问题，选取恰当 的表象往往可以简化运算过程或便于与实验结果直接对比；另外，微观 粒子还有一些全新的，与坐标无关的，在经典力学中没有对应量的力学 量，如电子自旋，只有学了表象理论，才有可能把它很好地表达出来。
(3.1.5)
这就是说，对于一个给定的状态，如果知道了它在某一力学量表象 中的波函数，就可以直接写出该力学量的取值几率分布。这样，如果我 们已经从实验上测得了某一力学量F的取值几率分布，那么采用F表象， 将便于理论和实验的对比。 为了应用方便，我们把在F表象中的波函数——数列{C n }，表示为单 列矩阵的形式： C
* m
ˆ M n dx
数列{ a n }和{ b n }分别是F表象中的波函数 和 ，把它们表示为单列矩 阵的形式，即
a1 a 2 ( F ) a n
mn
b1 b 2 ( F ) b n
1 C2 ( F ) Cn
(3.1.6)
ˆ 算符 F 的一个本征函数 m 在F表象（即自身表象）中的形式。此时 在式(3.1.3)中取 m ，有：
C n
* n
m dx nm
(3.1.7)
0 0 m ( F ) 1 0
若在右矢空间中有： 则 叫做 的共轭线性算符。 共轭线性算符有以下性质 ①
在对应的左矢空间中有：
P
证明 设 Q P ，由共轭线性算符的定义得： Q Q 一次共轭可得： P ，此式与第一式比较即得
，两边再取
②
③ ④
C C
几个共轭线性算符的例子。 ⅰ 对n维线性空间
F mn
* m
ˆ F n dx F n
* m
n dx F n mn
ˆ 说明 F 在F表象中是一个对角矩阵
F1 0 0
0
0
F2 0
0 Fn
(3.1.17)
ˆ (2) 算符M =1在任意表象中都是单位矩阵。
a1 a2 A a n
a1 a 2 T A T a n
2. 算符的表象
算符表达的是一种运算，它的具体表示形式应该和波函数的具体表 示形式相适应。
ˆ 在x表象中，算符 M 的形式是 给出一个新的波函数
ˆ ˆ M M ( x , i ) x
，它作用于波函数 上
ˆ M ( x , i ) x
ˆ 现在我们来求在F表象中算符 M 的形式。
* n
ˆ M
dx ] M m
*
* nm
3.2 量子力学公式的矩阵表示
1. 波函数正交归一性
(1) 归一化。在x表象中波函数的归一化条件是
ˆ 若 F 的本征函数用 1 , 2 , 表示，则
dx 1
*
*
C
n
n
n
* m
C
m
* m
dx
*
C
数为 1 , 2 ,
ˆ F
n
F n
n
n 1, 2 ,
n n
(3.1.1) (3.1.2) (3.1.3)
C
n
C n
* n
dx
数列{ C n}和 ( x , t ) 是等价的。因此我们可以用数列{ C n }代替 ( x , t )来描 述同一个状态。 其次，可以看出在数列{C n }和本征值集合{ F n }之间，存在着一一对应 ˆ 的关系，即我们可以把数列{ C n }看成是以力学量 F 的本征值 F n 作为自变 量的一个函数。
m
* m
* m
* m
C
n
n dx n
C
m n
* m
C n
* m
n dx
C
m n
C n mn 1
n
Cn Cn 1
*
( F ) ( F ) 1
C 1 C2 ( F ) Cn
(3.1.14)
若把集合{ M }排列成一个方矩阵，即
M M M
11 21
M M
12 22
M M
1n 2n
n1
M
n2
M
nn
(3.1.15)
M b1 M b2 = bn M
3. 本征值方程
在x 表象中
M M M
11 21
M M
12 22
第三章 表象
A11 A 21 A Am1 A12 A 22 Am 2 A1 n A2 n A mn
A 矩阵， Aij 矩阵元素，i表示行， j表示列。 A矩阵 为m行，n列，共m×n个元素的矩阵。
例 计算行列式的值
0 | A | 0 1 4 4 2 36 4 ( 1) 7
4 4
36 4
(16 144 ) 160
3、行列式的性质 (1)若行列式的某一行或某一列的每元素为零，则行列式的值为零。
(2) 将行列式的任意两行（或列）互相交换,等于将行列式的值乘以-1。 (3) 若行列式的两行（或列）相同，值等于0。 (4) 将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个常数K， 等于将行列式乘以K。
( x, t )
C
n
( t ) n ( x )
(2)
利用展开定理
C n ( t ) n ( x ) ( x , t ) d
*
（n=1,2,…）
(3)
则 C (t ) [ C ( L , t ) ]为L表象中的表示。 n n 即 ( x , t ) 与 C n (t ) 表示同一态。 有三种情况: (1)连续 (2)不连续 (3)本征态。
(8) 共轭矩阵（转置共轭）（注意名词）（A+）
( A ) ij A
( A ) ij A
* ji
* ji
~ * ( A ) ij
* * * *
( AB ) ( AB ) A B B A B A
*
( ABC ) C B A
表象理论
表象理论（附加）2、基本表象理论代表人物：巴格斯基主要观点：人们对信息的储存是将视觉和言语材料转化为表象储存在记忆中的，表象是信息编码最基本的形式，人们可以对表象进行操作，而这种操作类似于对具体事物的操作。
实验支持：心理旋转实验向被试呈现一组立体图形，以第一个图形为标志，要求被试辨别其他五个图形与第一个图形是否相同。
这五个图形有的是第一个图形的镜像，与原型不同；有的与第一个图形相同，但必须加以旋转，旋转的范围为0°~180°。
记录被试作出判断的正误及反应时间。
结果：反应时是旋转度的直线函数，随着旋转度的增加，反应时也随之延长。
这说明表象是信息储存的基本形式之一；视觉表现的旋转加工是物理旋转的类似物。
评价：有力地证明了表象是信息储存和加工的一种形式，说明了表象的这种作用的不可替代性，但并不能证明它是信息储存的唯一形式。
3、双重编码理论代表人物：佩沃主要观点：同时存在表象和言语符号两种信息编码和储存系统。
表象码更加适合加工具体的信息，言语码更加适合加工抽象的信息；言语码加工信息是有序加工，表象码似乎是空间并行加工；在信息加工过程中，两种系统可能是重叠的，也可能是其中一种占优势。
在一定条件下，表象码和言语码可以互译。
实验支持：对图形的回忆比对抽象词的回忆成绩要好得多：图形在一周后的偶然回忆成绩比抽象词在5分钟后的有意回忆要好。
能回忆出的具体词的数目比抽象词的数目多75%4、关系组织理论代表人物：鲍尔主要观点：外在的刺激是以代码的形式储存在头脑中的。
这些代码按层次组织起来，其中的一个层次就是表象。
表象在学习记忆中的作用是将刺激项目组织成一个单元，加强联想的强度，而不是产生生动、具体的形象，有利于刺激的分化。
实验支持：配对联想学习学习材料为成对的单词。
被试分为三组，对应的指导语有3种：（1）让被试者想象单词所表示的物体在相互作用。
如箭穿过树。
（2）让被试者想象单词所表示的物体彼此没有关系。
认知心理学-表象课件
技术创新
借助新兴的脑成像技术、人工智能等手段，将有 助于揭示表象的神经机制和动态过程，提高研究 的精度和深度。
应用拓展
表象研究将更加注重与教育、康复、人工智能等 领域的结合，为提高学习效率、改善认知障碍提 供理论支持和实践指导。
表象研究的前沿问题
表象的神经机制
深入探讨大脑如何编码、存储 和提取表象，揭示表象与知觉 、记忆、想象等认知过程的关
系。
表象的动态变化
研究表象如何在不同的认知任 务和情境中发生变化，以及如 何与其他认知过程相互作用。
表象的跨文化比较
比较不同文化背景下表象的异 同，探讨文化因素对表象的影 响和塑造作用。
表象的特征
表象具有概括性
表象是对感知过的事物的简化， 它只保留了事物的主要特征，而
忽略了一些细节。
表象具有不完整性
由于记忆的限制和信息的选择性， 我们形成的表象往往是不完整的， 可能只包含了事物的一部分信息。
表象具有可变性
随着时间的推移和经验的积累，我 们对于同一事物的表象可能会发生 变化。
表象的作用
味觉表象
总结词
味觉表象是指通过味觉感官获得的表象 ，是人们获取信息的重要途径之一。
VS
详细描述
味觉表象包括食物的味道、口感等元素， 人们通过品尝和记忆这些元素来形成对食 物的认知。例如，当我们品尝一道美食， 我们会通过味觉表象来感知它的味道、口 感和香气。
嗅觉表象
总结词
嗅觉表象是指通过嗅觉感官获得的表 象，是人们获取信息的重要途径之一。
表象研究的挑战与机遇
挑战
表象研究面临着概念界定、实验设计、数据分析等方面的挑战，需要不断改进和完善研究方法和技术 。
认知心理学(表象)
一、表象 知觉 表征
2.表象与表征 两种编码说关于表象的论证：
➢Paivio(1975)两种编码说
实验假设：
若只有言语系统， RT图片判断>RT字词判断
若存在表象系统：
RT不一致图对>RT一致图 对
一、表象 知觉 表征
2.表象与表征 两种编码说关于表象的论证：
➢Paivio(1975)两种编码说
1）过程： 让被试识记一个小岛的地图，图画中有 茅屋、树、石头等，其准确的位置在图 中以X表示。被试要表象出整个地图并 注视刚才说出的地点。
三、心理扫描
1.距离效应
➢Kosslyn，Ball和Reiser（1978）
表象扫描所需时间随扫描距离的增加而增加。
补充：比较实验
1）过程：与上述实验基本相同，但：不 提表象扫描，被试听到第二个地点后， 只需快速判断该地点是否存在。
四、表象的功能
2.表象对学习记忆的作用
➢Pavio（1968）
表象在一些字 词识记中起着 中介作用，是 有利于学习和 记忆的。
补充实验
2.表象对学习记忆的作用
➢Pavio（1968）
• 如果给被试以很快的速度呈现一系列 的图画或字词，那么被试回忆出来的 图画的数目远多于字词的数目。
• 说明：视觉的表象信息可以得到同时 加工，表象出一定的优势。
一、表象 知觉 表征
④选择性干扰实验
➢ Segal和Fusella（1970）
同一感觉道的 表象和知觉是 相似的，两者 竞相争夺同一 心理过程或资 源。
一、表象 知觉 表征
2.表象与表征 ➢关于表象的争论： 一些心理学家将表象看作是一种独立
的信息表征的形式并有其加工过程。 还有一些心理学家不承认表象的独立
表象的概念
2、夸 张
夸张与强调是改变客观事物的正
常特征，使事物的某一部分或一种 特性增大、缩小、数量加多、色彩 加浓等在头脑中形成新形象的过程。
3、拟人化
把人类的形象和特征加在外 界客观对象上，使之人格化的过 程。
4、典型化
根据一类事物的共同的、典型
的特征创造新形象的过程。这是
一种在文学艺术创作中普遍采用
的方式。
三、想象的作用
想象力比知识更重要，因为， 知识是有限的，而想象力则概括着世 上的一切，推动着进步，并且，是知 识进化的源泉。严格地说，想象力是 科学研究中的实在因素。 ——爱因斯坦
1、对认识具有补充作用；
2、具有超前认识的作用； 3、想象具有满足需要的作用。
四、想象的种类
1、无意想象和有意想象 按照想象时有无目的性和自觉性。 2、再造想象和创造想象
知觉表象
记忆表象
想象表象
五、表象的理论
基本表象理论 巴格斯基认为：表象是信息储存的基本形 式之一，表象可以直接储存在人们头脑中， 人们可以直接对表象进行操作和加工。 夏佩德等人的心理旋转实验支持基本表象 理论。
双重编码理论 人脑中储存的信息，可以是图形编码， 也可以是语义编码。
图像和语义在一定条件下是可以互译的， 语言通过译码可以恢复为图像，而图像 也可以通过编码以语言的方式储存起来。
思 考
一个四面都是红色的125立方厘米的 立方体，切成125块1立方厘米的立方体 后，有多少块小立方体是三面红色的？ 有多少块小立方体是两面红色的？有多 少块小立方体是一面红色的？有多少块 小立方体是一面无色的？
2、概括性
不表征事物的个别特征，
而是表征事物的大体轮廓和主
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
量子力学 表象理论
⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ i 1 − h E21t ⎟ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎠ 1 e
i − E10t h
（9）
2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 ∧ ∂ 2.1 任意力学量算符 F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的表示 ∂x
* Fnm = Fmn
（15） （16）
当 m = n 时，对角矩阵元
* Fmm = Fmm
即对角矩阵元为实数 （3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知 ~* + * Fmn = Fmn = Fnm = Fmn 这样的矩阵称为厄米矩阵 （4）算符 F 在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当 F = Q 时，有
∧
5
∧ v ∧ v v v v * v ( x) p′p′′ = ∫ u * p′ ( r ) xu p′′ ( r ) dr = ∫ u p′ ( r ) xu p′′ ( r )dr
=
v v v ( p′′ − p′ )⋅r v 1 ∂ ∂ v v h h ( i ) e dr = ih δ ( p ′ − p ′′) 3 ∫ ′ ′ ∂p x ∂p x (2πh)
共厄矩阵为
（4）
ψ + = a1* (t ) a 2 * (t ) L a n * (t )
2 2 n
(
)
（5）
体系的归一化条件 ∫ ψ ( x, t ) dx = ∑ a n (t ) = 1 写为矩阵形式为
ψ +ψ = 1
1.3 讨论
（6）
（1）Q 表象中状态的描述 {a n (t )}依赖于坐标表象中力学量 Q 的本征函数系 {u n ( x)}，每 一个 u n ( x) 必定给出ψ 在 Q 表象中的一个对应数 a n (t ) ，可见 几何空间坐标轴 ⇔ {u n ( x)} ⇔ Q 表象的基矢 几何空间中的矢量 ⇔ ψ ⇔ 态矢 态矢ψ 在 Q 表象基矢上的分量 {a n (t )}构成了ψ 在 Q 表象中的表示， 由于 {a n (t )}构 成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的 ⇒ 希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱，
量子力学中的表象理论
量子力学中的表象理论表象理论在量子力学中是一种根据物理定律做出的概念，它是大多数量子力学理论实践中最常用的抽象表达形式。
它可以用来更深入地理解量子力学中的相互作用和物理现象。
表象理论能够帮助发现量子力学中的一致性，从而构建出有效的模型来解释实验结果。
表象理论是一种抽象的概念，它有助于科学家在量子力学中描述具体的物理现象。
它以直观的方式解释了纳米世界的单体、分子、原子和其他微观物理系统的行为。
在该理论中，物理定律变得易于理解，可以运用于对实际系统的描述。
表象理论允许更具体地描述物质状态，以便科学家们能够准确地模仿实际系统的行为。
表象理论用威尔逊算符来表示系统的无量纲状态。
这种表示法是一种抽象的表示法，它可以解释由纳米等级的粒子所形成的复杂系统的行为。
这是基于Heisenberg不确定性原理的威尔逊算符已被用于研究纳米系统的行为，其中的粒子具有可能的处于不同的状态。
因此，威尔逊算符可以描述系统的可能性，使得研究者可以把这些状态当作独立的、相互关联的表象本质。
表象理论还能够解释量子力学中的相干效应。
一个引人注目的特性是，表象理论可以在纳米级别上界定每个粒子的干涉不变性，这一点可以帮助研究者们更好地控制纳米系统，从而了解系统中的相干效应，使得科学家们可以准确地描述这些粒子的行为。
另外，由于表象理论的有效性，它还被用于研究量子力学中的趨向性，包括量子能量跃迁等现象。
到目前为止，表象理论已经得到广泛的应用，它应用于描述量子力学中的行为与过程，从而帮助研究者们更好地掌握量子力学中的现象。
此外，它也被用于研究量子力学表象和实际物理系统之间的相互作用。
在今天，表象理论仍然是量子力学研究领域中广泛使用的抽象建模技术，用于更好地理解量子力学中的运动。
总的来说，表象理论是一种非常实用的量子力学理论，它可以帮助我们更具体地描述和理解量子力学中的物理系统。
由于它的多样性，表象理论也可以被用于研究复杂的纳米系统，从而实现准确的预测和模拟。
心理学-表象理论课件
表象理论的重要性
理论意义
表象理论是心理学中认知过程研 究的重要内容，它有助于理解人 类信息处理和记忆机制的基本原 理。
应用价值
表象理论在教育、记忆训练、信 息处理等领域有广泛的应用价值 ，例如通过改善学生的信息加工 方式来提高学习效果。
02
表象理论的基本概念
表象的定义
表象的定义
表象是指人们在头脑中以形象的形式呈现出的客观 事物的形象，是记忆和想象等心理活动的基础。
表象理论的发展阶段
理论形成
随着心理学的发展，越来越多的心理学家开始关注表象，并提出了各种关于表象 的理论。这些理论主要关注表象的本质、形成机制以及其在认知过程中的作用。
实证研究
为了验证表象理论，心理学家们进行了一系列实证研究。这些研究通过实验设计 和数据分析，探讨了表象的形成、维持和变化过程，为表象理论的发展提供了有 力的支持。
表象理论的未来发展方向
深化实证研究
未来研究需要进一步探索 表象理论的科学性和有效 性，通过更多的实证研究 来支持或反驳该理论。
概念明确化
对表象理论中的核心概念 进行明确和统一的界定， 有助于提高该理论的严谨 性和可操作性。
跨文化比较研究
比较不同文化背景下人们 的心理过程和认知方式， 以检验表象理论的普遍性 和适用性。
03
表象理论的发展历程
表象理论的起源
起源背景
随着心理学的不断发展，人们开始意识到表象在认知过程中的重要性。表象理 论最初起源于对感知和记忆的研究，探讨了表象在信息处理和认知过程中的作 用。
早期研究
早期的心理学家如赫尔姆霍茨和贝克莱等人开始研究视觉表象，并提出了关于 视觉表象的理论和实验方法。这些早期的研究为表象理论的发展奠定了基础。
量子力学 第三章 表象理论
第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。