湖北省武汉市武昌区2019届高三元月调研考试数学理试题(解析版)

所以
M
c
1 2
,
3(c 1) 2
，将其代入
x2
y2 c2 1
1 ，得
(c
1)2 4
3(c 1)2 4(c2 1)
1 ，即
(c
1)2 4
3(c 1) 4(c 1)
1，
所以 (c 1)3 3(c 1) 4(c 1),(c 1)(c2 2x 3) 3(c 1) ，(c 1)(c 3) 3 ， c2 4c 0,c 4 ，所以离心率 e c 4 ．
两点， AD 过 E 的焦点 F ．若 AD、BC 的斜率 k1、k2 满足 k1 2k2 ，则实数 m 的值为
．
答案：2 考点：抛物线的性质，计算能力。
解析：设 A(t12 , 2t1), B(t22 , 2t2 ), C(t32 , 2t3 ), D(t42 , 2t4 ) ，则 k1
2(t4 t1) t42 t12
解析：函数 f (x) 的定义域为{x | x 0} ，且 f (x) x2ex 0 恒成立，排除 C，D， x
当 x 0 时， f (x) xex ，当 x 0 时， f (x) 0 ，排除 B，选 A．
5．某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的 s （
）
A．26
B．102
C．410
a
12．已知函数
f
(x)
1 3
x3
a
1 2
x2
x
2
，则
f
(x)
的零点个数可能有（
）
A．1 个
B．1 个或 2 个
答案：A
考点：函数的零点，函数的导数及其应用。
C．1 个或 2 个或 3 个 D．2 个或 3 个
解析：当 a 0 时，函数 f (x) 只有 1 个零点；
当a
0 时，由
f
(x)
1 x3 3
答案：D 考点：几何概型。
B． 3 8
C． 5 8
D． 7 8
解析：由题意可得
a
0
，且函数
f
(x)
的对称轴
x
b 2a
≤
2
，即
a 0 b ≤ 4a
，点
(a,b) 取自如图所示的正
方形 OABC 内部（含边界），则符合条件的 (a, b) 取自梯形 OABD 内， SOABC 16, SOABD 14 ， 所以所求概率 P 14 7 ．
2
1 2
7
，
所以 AM 7 ．……………………………………………………………………………………12 分
18．（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC AA1 BC1 2, A1CA 30, BC 6 ． （1）求证：平面 ABC1 平面 AA1C1C ； （2）求二面角 B1 AC1 C 的余弦值．
（1）记 A1C AC1 O ，连结 BO ．因为 AB BC1 ，所以 BO AC1 ．
由题意知 △ACC1 为正三角形，求得 CO 3 ，在 △ABC1 中求得 BO 3 ，又 BC 6 ， 所以 BC 2 CO2 BO2 ，所以 BO CO ．因为 CO AC1 O ，所以 BO 平面 AA1C1C ．
a
1 2
x2
x
2
0
，显然 x
0 ，则
1 a
1 2
x2 x 2 1 x3
6 x3
3 x2
3 2x
，
3
设 t 1 ，则 1 g(t) 6t 3 3t 2 3 t ， g(t) 18t 2 6t 3 , 36 108 72 0 ，则 g(t) 0 恒成
xa
2
2
立，所以函数 g(t) 单调递增，且 g(t) 可取遍 (, ) ，所以 1 g(t) 有且只有 1 个解，即 f (x) 只有 1 a
1 2
3
1 8
15．设{an} 是公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和．已知 S1, S2 , S4 成等比数列，且 a3 5 ，则数列{an}
的通项公式为
．
答案： an 2n 1
考点：等差数列、等比数列的通项公式，前 n 项和。
解析：设等差数列{an} 的公差为 d (d 0) ，则 S1 5 2d , S2 10 3d , S4 20 2d ，因为 S22 S1 S4 ，
A．10
B． 25
C．100
答案：B
考点：棱锥的结构特征，球的结构特征，球的表面积计算。
D．125
解析：正 △ABC 外接圆的半径 r 3 2 3 2 ，设 △ABC 的中心为 M ，则 MA 2, SA 2 5 ， 3
SM SA2 MA2 4 ，设球 O 的半径为 R ，在 △AOM 中，由勾股定理得 AM 2 OM 2 OA2 ， 即 4 (4 R)2 R2 ，解得 R 5 ，则球 O 的表面积为 4 R2 25 ．
由②③④可得 t1
1 t4
, t3
m t4
,
t2
mt4
，将其代入①，得
m t4
1 t4
2 t4
1 t4
,m
2
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
2 t1 t4
，同理 k2
t2
2 t3
，
因为 k1 2k2 ，所以 t2 t3 2(t1 t4 )
①
直线
AD
:
y
2t1
t1
2 t4
(x
t12)
，将
F (1, 0)
代入得 t1t4
1，
②
直线
AB
:
y
2t1
t1
2 t2
(x
t12)
，将
M
(m, 0)
代入得 t1t2
m
，
③ 同理可得 t3t4 m ④
）
x ≥1
A．[2, 6]
B．[3, 6]
C． [3,12]
D． [6,12]
答案：C 考点：线性规划。
解析：作可行域为如图所示的△ABC ，其中 A(1, 4), B(1,1), C(5, 2) ， zA 6, zB 3, zC 12 ，
所以 z 的取值范围是[3,12] ．
7．已知函数 f (x) 3 sin x cos x ( 0) 的最小正周期为 2 ，则 f (x) 的单调递增区间是（ ）
所以 (10 3d)2 (5 2d)(20 2d) ，整理得 5d 2 10d 0,d 0,d 2 ，
an a3 (n 3)d 5 2(n 3) 2n 1 ．
16．过点 M (m, 0) 作直线 l1、l2 与抛物线 E : y2 4x 相交，其中 l1 与 E 交于 A、B 两点，l2 与 E 交于 C、D
个零点．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13． (x 1)(x 2)3 的展开式中 x2 的系数为
．（用数字填写答案）
答案：6 考点：二项式定理。
解析： (x 1)(x 2)3 (x 1)(x3 6x2 12x 8) ，所以展开式中 x2 的系数为12 6 6 ．
2
11．已知 M
为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的右支上一点，
A,
F 分别为双曲线 C 的左顶点和右焦
点，线段 FA 的垂直平分线过点 M ， MFA 60 ，则 C 的离心率为（
A．6
B．4
C．3
答案：B
考点：双曲线的性质，计算能力。
） D．2
解析：为方便运算，不妨设 a 1 ，则 A(1, 0), F (c, 0) ，因为 △AFM 是正三角形，
{x
|
2
x
a
2}
{x
|
a
2
x
a
2}
，因为
A
B
，所以
a a
2 2
≤ ≥
1 3
，解得1
≤
a
≤
3
．
3．已知向量
a
(2,1),
b
(2,
x)
不平行，且满足
a
2b
a
b
，则 x （
）
A． 1 2
1
B．
2
C．1 或 1 2
1
D．1 或
2
答案：A
考点：平面向量的坐标运算。
解析：因为向量
a
(2,1),
16 8
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ）
A． 32 3
B． 48 3
C．32
D．48
答案：A 考点：三视图，三棱锥的体积。
解析：该几何体为如图所示的三棱锥 D
ABC
，则VD ABC
1 3
1 2
4
4
4
32 3
10．已知正三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3 的正三角形，侧棱 长为 2 5 ，则球 O 的表面积为（ ）
b
(2,
x)
不平行，所以
x
1，
a
2b
(6,1
2x),
a
b
(0,1
x)
，
因为
a
2b
a
b
，所以
a
2b
a