1.3 条件概率

解
则
设 A: “甲地为雨天”
B: “乙地为雨天”
2. P A B P A P B P AB
0.12 2 P AB 1. P A B P B 0.18 3
P A 0.2
PB 0.18
P AB 0.12
0.2 0.18 0.12 0.26
解
以 Ai i 1, 2, 3 记“第 i 次落地而碎”的事件，
则所求概率为
P A1 A2 A3 P A1 P A2 | A1 P A3 | A1 A2
1 7 9 3 = 1 1 1 2 10 10 200
P( A1
A2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
) P( A1 ) P( A2 )
那么，就称实数 P(A) 为事件 A 的概率。
第三讲 条件概率与派生概率公式
认识事件的相对性观念与条件概率、 乘法公式、 全概率公式与Bayes公式
将一枚硬币连抛两次，则样本空间是
{HH, HT, TH, TT} 记 A { 一次正面一次反面 } { HT,TH}, 则 P( A) 2 4
同理可得
P ( AB) P( A B) P( B)
为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.
说明：条件概率仍为事件的概率，因此也满 足概率的三个公理（非负性，规范性，可列
可加性）及概率的各条性质。
注： P B | A 与 P AB 的区别 “在…时候，…”，“已知…，…”等等都是 条件概率。
2. 广义乘法公式
若 P ( B1 B2
Bn ) 0 , n 1, 2, 3,
,则
P ( AB1 ) P ( B1 ) P ( A | B1 )
P ( AB1 B2 ) P ( B1 ) P ( B2 | B1 ) P ( A | B1 B2 )
P ( AB1 B2 B3 ) P ( B1 ) P ( B2 | B1 ) P ( B3 | B1 B2 ) P ( A | B1 B2 B3 )
P( A) 0.20, P( B) 0.18, P( AB) 0.12 P( AB) 0.12 0.67 P( A | B) P( B) 0.18
P( AB) 0.12 0.60 P( B | A) P( A) 0.20
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.26
因为 P( A B) 较小，P( A | B), P( B | A)较大, 两 人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识
Ex. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件， 已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也 是不合格品的概率。
解 设 A 表示“ 2件中至少1件不合格 ” ， B 表示 “ 2件都不合格”,
概率论与数理统计
数 学 教 研 室 贺 丽 娟
第一章
随机事件及其概率
第一讲 随机事件及其运算 第二讲 概率定义及其算法 第三讲 条件概率与派生概率公式 第四讲 独立性与派生贝努里概型
统计概率
设随机事件 A 在 N 次重复试验中发生 的次数为 m ，即事件A发生的频率为
f N A
m = N
那么, 当 n 充分大时
类似地
P ( AB1 B2 Bn )
P ( B1 ) P ( B2 | B1 ) P ( B3 | B1 B2 ) P ( B4 | B1 B2 B3 ) P ( B1 B2 Bn ) P ( A | B1 B2 Bn )
例3 透镜落地即碎的概率为1/2，若头次不碎，第 二次碎的概率为 7 /10，若前二次皆不碎，第三次 碎的概率为 9 / 10。求落地三次都不碎的概率。
例4 据以往资料表明，某一3口之家患某种传染病 的概率有以下规律：P｛孩子得病｝＝0.6， P｛母亲得病|孩子得病｝＝0.5, P｛父亲得病|孩子及母亲得病｝＝0.4。 求：母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。 解 以 Ai i 1, 2, 3 分别表示孩子、母亲及父亲 得病，由题设有：
P A1 0.6, P A2 | A1 0.5, P A3 | A1 A2 0.4,
Ex1. 人们为了了解一支股票未来一定时期内的价格变化，
往往会去分析影响股价的基本因素，如利率的变化。现假 设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概 率为40%。根据经验，在利率下调的情况下，该支股票价 格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上 涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率. Ex2. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛.甲先发球，甲发 球成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲 回球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误 的概率为0.5，试计算这几个回合中乙输掉一分的概率.
P A
m f N A = N
古典概率
古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 k 个样本点，则事
件 A 出现的概率记为:
P A
A所包含样本点个数 k | A| n | | 样本点总数
称此为概率的古典定义.
Ex1. 人们为了了解一支股票未来一定时期内的价格变化，
往往会去分析影响股价的基本因素，如利率的变化。现假 设人们经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概 率为40%。根据经验，在利率下调的情况下，该支股票价 格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上 涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率.
i 1 i i
n
。
划分：事件对立概念的延伸
Bi B j Φ; i , j 1, 2, 同时
n i 1
, n; i j;
Bi
B2
A
B1
Bn1
B3
Bn
说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂 事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计 算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
则所求概率为
P( AB) P( B | A) P( A)
2 C4 2 P( B) C10 2 C 1 P( A) 1 6 2 C10
1
5
二、基于条件概率的乘法原理
1. 乘法公式
若 P ( B ) 0 , 则 P ( AB ) P ( A | B ) P ( B ) 若 P ( A) 0 , 则 P ( AB ) P ( B | A ) P ( A )
解 记 A为事件“利率下调”，记B为事件“股 价上涨”, 则所求的概率即
P ( B ) P( AB
AB)
P( AB) P( AB)
P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
0.6 0.8 0.4 0.4 0.64
Ex2. 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛.甲先发球，甲发球 成功后，乙回球失误的概率为0.3；若乙回球成功，甲回 球失误的概率为0.4；若甲回球成功，乙再次回球失误的 概率为0.5，试计算这几个回合中乙输掉一分的概率.
解 记 A为事件“利率下调”，记B为事件“股价 上涨”, 由题意可知
P( A) 60%, P( A) 40%
P( B | A) 80%, P( B | A) 40%
所求的概率即
P ( B ) P( AB
AB)
P( A) 60%, P( A) 40%
P( B | A) 80%, P( B | A) 40%
公理化概率
设随机试验 E 的样本空间是Ω 。如果E 的每 一事件 A 都被赋予某个实数 P(A)，且事件函数 P(· ) 满足条件： ; （1） 对任一事件 A 都有 P ( A) 0 ; （2） P () 1 （3） 设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即 对于i≠j，AiAj= ，i，j =1,2,…, 总有
解 记A表示甲回球失误， Bi (i = 1,2) 表示乙第i 次回球失误， 则由题意可知
P ( B1 ) 0.3,
0.4 1 P B | A . 0.8 2
Ex. 根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体育活 动的比率分别为 20% 和 18%,两人同时参加体育活动的比率 为 12%. 试问甲、乙两学生是否相识？ 记 A {甲每天参加课后体育活动 } B {乙每天参加课后体育活动 } 则
解 以 Ai (i = 1,2,3)依次表取品来自甲乙丙厂， 以B表取品为正品, 则所求的概率即
P ( B ) P( BA1
BA2
BA3 )
P( BA1 ) P( BA2 ) P( BA3 )
P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
（1）从语言叙述来讲，“在…发生的条件下，…”
（2）从样本空间上讲，计算 P AB 的样本空间为
AB ，计算 P
B | A 的样本空间为
A
根据气象资料知： 例1 甲、乙两城市位于长江下游，
甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18%. 两地同时下雨的比例为12％。求下列事件的概率： 1、 已知乙地为雨天，甲地也是雨天。 2、 甲、乙两地至少有一地为雨天。
0.18
P A1 0.6, P A2 | A1 0.5, P A3 | A1 A2 0.4,
例5 甲乙丙三厂的次品率依次为1 /10, 1 /15 与 1 / 20. 此产品库房现存各5, 3, 2箱. 任开此10箱 的一箱任取一产品. 求所取之品恰为正品的概率.
| AB | | | P( AB) ABB || | A| P( A | B) P( B) |B| | | ||B B||