密云区2020年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷及参考答案
2020年北京密云县第二中学高三数学理摸底试卷含解析
2020年北京密云县第二中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则(A) 都有 (B) 都有(C) 使得f(m0+3)=0 (D) 使得f(m0+3)<0参考答案：A由可知，且。
即是方程的一个根，当时，。
由，得，设方程的另外一个根为，则，即，由可得，所以，由抛物线的图象可知，，选A.2. 设函数若是奇函数，则的值是（A）（B）（C）（D）参考答案：D因为函数是奇函数，所以，选D.3. 已知，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据二倍角余弦公式可求得，根据诱导公式可得结果.【详解】由题意得：本题正确选项：C4. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可．【详解】由题意可得：是奇函数，则：，∴，即：，∴．故选：D【点睛】本题考查了奇函数的性质及其应用，函数值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．5. 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个长度单位B．向右平行移动个长度单位C．向左平行移动1个长度单位D．向右平行移动1个长度单位参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x图象向左平移单位，即可，故选：A．6. 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是（A）(1，2) （B）(e，＋∞)（C）(2，3) （D）(，1)和(3，4)参考答案：C略7. 已知函数，若函数为奇函数，则实数为（）A. B. C. D.参考答案：8. 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．若,且,则.B．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//βC．若，则D．若，则参考答案：D9. 已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A由得，因此，函数周期为2.因函数至少6个零点，可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数进行分类讨论.当时：得，即.当时：得，即.所以取值范围是.10. 设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．0参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，且，则参考答案：略12. 已知数列中，满足，且，则，．参考答案：13. 已知矩形ABCD的边AB=2，AD=1，则__________.参考答案：414. 的展开式中，的系数等于40，则等于 .参考答案：【知识点】二项式定理.J3【答案解析】1 解析：解：因为展开式中的项为【思路点拨】根据题意写出特定项，直接求出a的值.15. 若圆与圆外切,则的最大值为________参考答案：16. 已知，向量与的夹角为，，则等于______．参考答案：略17. 已知过抛物线＜的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2,则|BF|= .参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试20200602
密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x = 3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是 A ．22x y >B ．11x y>C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为C.D. 6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=g b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为 AB ．2C． D．10. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且 ，都有 ；② ；③是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．第9题图11主视图1俯视图2二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______． 14. 在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈；④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥． （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分） 已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银C 1 ABC A 1B 1第16题图D(800,1600] (1600,2400] (2400,3200] (4000,4800] (3200,4000] 消费金额/元 人数卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）． 以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．。
密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试
密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ） A. {0,1}B. 2{|1}x x =C. 2{|0}x x >D. R2.在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A. sin y x =B. cos y x =C. ||y x x =D.ln ||y x =3.已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. 22x y >B.11x y> C. 11()()33x y>D.332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =（ ） A. 16B. 8C. 4D. 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为（ ）A.B.C.D.6.已知平面向量a r 和b r ，则“||||b a b =-r rr ”是“1()02b a a -⋅=r r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48.设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<．若5182f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A. 13ω=，24ϕ11π=-B. 23ω=，12πϕ= C. 13ω=，724πϕ=D. 23ω=，12ϕ11π=-9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）B. 2C.D. 10.已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；②(8)()f x f x += ； ③(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D.c b a <<二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线2(y mx m =为常数)过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12.在61()x x+展开式中，常数项为________.(用数字作答)13.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()211n S n n n *=-∈N ，则1a=_________，n S 的最小值为_______．14.在ABC V 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC V 的最大内角的余弦值为_________，ABC V 的面积为_______．15.已知集合{}22,,A a a x y x Z y Z ==-∈∈．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A Î； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.16.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥.（1）证明：1DC BC ⊥； （2）求二面角11A BD C --的大小.17.已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+- ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当[0,]2x π∈时，关于x 的不等式()f x m ≥，求实数M 的取值范围． 18.某健身机构统计了去年该机构所有消费者消费金额（单位：元），如下图所示：（1）将去年的消费金额超过3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2 人，求至少有1 位消费者，其去年的消费金额超过4000 元的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：0,1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在预计去年消费金额在(](]3200,4800内的消费者1600,3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在(]都将会申请办理金卡会员. 消费者在申请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800 元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2，则可获得200 元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300 元奖励金；其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） .以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪-种方案投资较少？并说明理由.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点1,2P ⎛ ⎝⎭，设它的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B，且满足12AB F =． （Ⅰ）求椭圆C 标准方程和离心率；（Ⅰ）过点6,05Q ⎛⎫-⎪⎝⎭作不与y 轴垂直直线交椭圆C 于M 、N （异于点A ）两点，试判断MAN ∠的大小是否为定值，并说明理由． 20.已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.设n 为正整数，集合A =12{|(,,,)n t t t αα=L ，{0,1}k t ∈，1k =，2，L ，}n ．对于集合A 中任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++L ．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．的的的。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形1．（2020▪丰台高三二模）下列函数中，最小正周期为π的是（A ）1sin 2y x=（B ）1sin 2y x= （C ）cos()4y x π=+（D ）12tan y x=2.（2020▪房山高三二模）函数()sin πcos πf x x x =的最小正周期为（A ）1 （B ）2 （C ）π（D ）2π3.（2020▪海淀二模）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（C ）cos2x （B ）2sin(2)3x π+（D ）cos2x-4．（2020▪密云高三二模）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则A ．，B ．，C ．，D ．，5.（2020▪朝阳高三二模）已知函数()sin(2)6f x x π=-，则下列四个结论中正确的是（A ）函数()f x 的图象关于512π（，0）中心对称（B ）函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称（C ）函数()f x 在区间ππ（-，）内又4个零点 （D ）函数()f x 在区间[,0]2π-上单调递增6. （2020▪东城高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为 (A)135平方米 (B)270平方米 (C)540平方米 (D)1080平方米7.（2020▪海淀二模）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π8．（2020▪西城高三二模）在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310（D ）359. （2020▪丰台高三二模）在△ABC 中，3AC =，BC =2AB =，则AB 边上的高等于（A ）（B（C（D ）3210.（2020▪房山高三二模）在△ABC 中，若π4A =，π3B =，a =b =1 （A ）（B ）（C ）（D ）11.（2020▪朝阳高三二模）圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC ∠)为26.5°,夏至正午太阳高度角(即ADC ∠)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB 的长)为a ，则表高(即AC 的长)为（A ）sin532sin 47a（B ）2sin 47sin 53a（C ）tan 26.5tan 73.5tan 47a（D ）sin 26.5sin73.5sin 47a12. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在锐角ABC 中,若2,3,6a b A π===,则cosB =(A)3413. （2020▪丰台高三二模） 已知直线10x y ++=的倾斜角为α，则cos α=________．14．（2020▪西城高三二模）设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为________；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为_________．15.（2020▪东城高三二模）已知1cos 23α=，则()22πcos ()2cos π2αα+--的值为________. 16.（2020▪东城高三二模）从下列四个条件①a =；②π6C =；③cos B =；④b =件，能使满足所选条件的△ABC 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的c 的值为 ____.17.（2020▪昌平高三二模） 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上.若， 则________ ；_____ .18.（2020▪密云高三二模） 在中，三边长分别为，，，则的最大内角的余弦值为_________，的面积为_______．19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知函数()()0,0,02f x Asin x A πωϕωϕ⎪=>⎛⎫ ⎝+><⎭<同时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③()01f =-;④06f π⎛⎫-⎪⎝⎭= .(Ⅰ)给出函数()f x 的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）在中，（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，,求的面积. 21.（2020▪密云高三二模）（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当时，关于的不等式_______，求实数 的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．2020北京各区高三二模数学分类汇编—三角函数与解三角形参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.B7.C8.A9.B 10.C 11.D 12.C;13. 14. ， 15.-1 16. ①③④，，或者②③④， 17. ，18. ，19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函数满足条件③，则.这与矛盾，故不能满足条件③，所以函数只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得，又因为，所以.………………4分由条件②，得.………………5分由条件④，得，又因为，所以.所以.………………8分（Ⅱ）由，，………………10分得，………………12分所以函数的单调递增区间为，.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，因为，所以……………..2分因为，所以所以……………..4分因为，所以. ……………..6分（Ⅱ）因为，，由余弦定理可得. ……………..8分所以……………..12分所以. ……………..14分21.（本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为==．所以函数的最小正周期．因为函数的的单调增区间为，所以，解得．所以函数数的的单调增区间为，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即．因为，所以．故当，即时，取得最大值，且最大值为．所以．若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．。
2020年北京各区高三二模数学分类汇编---圆锥曲线
2020年北京各区高三二模数学分类汇编----圆锥曲线一、选填问题：1.（2020海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）10答案 B2.（2020海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）答案22144x y -=3.（2020密云二模）.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为A.2 B.4 C.2 D.4答案A4.（2020密云二模）已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C5.(2020东城二模)双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为(A) (B) (C)2 答案B6.（2020顺义二模）抛物线2=4y x 上的点与其焦点的最短距离为 （A ）4（B ）2（C ）1（D ）12答案 C7. （2020顺义二模）若直线:l y x a =+将圆22:1C x y +=的圆周分成长度之比为1:3的两段弧，则实数a 的所有可能取值是____________. 答案 1a =±8. （2020顺义二模）曲线C 是平面内到定点3(0)2F ，和定直线3:2l x =-的距离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则y 满足4y ≤； ③若点(,)P x y 在曲线C 上，则15PF ≤≤； 其中，正确结论的序号是_____________. 答案 ②③9.（2020丰台二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A （B ）2（C ）（D ）4答案D10.（2020西城二模）.焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是( A) 24x y = ( B) 24y x = ( C) 28x y = ( D) 28y x =答案D11.（2020西城二模）圆224210x y x y ++-+= 截x 轴所得弦的长度等于( A)2 ( B) ( C) ( D)4 答案 B12.（2020西城二模）.能说明“若m ( n +2)≠0,则方程2212x y m n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m , n 的值是 .答案答案不唯一. 如3m =，1n =13.（2020昌平二模）已知点P 是双曲线22:14y C x -=的一条渐近线(0)y kx k =>上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横．坐标为（A ） （B （C ）± （D ）答案 A14.（2020昌平二模）已知点M 在抛物线24y x =上，若以点M 为圆心的圆与x 轴和其准线l 都相切，则点M 到其顶点O 的距离为__ .15.（2020丰台二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为 .答案y =16. （2020丰台二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（A （B（C ）2（D 答案C17. （2020朝阳二模）圆心在直线0-=x y 上且与y 轴相切于点(0,1)的圆的方程是（A ）22(1)(1)1-+-=x y （B ）22(1)(1)1+++=x y （C ）22(1)(1)2-+-=x y （D ）22(1)(1)2+++=x y答案A18. （2002朝阳二模）直线l 过抛物线22=y x 的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ．若123+=x x ，则弦AB 的长是（A ）4 （B ）5（C ）6（D ）8 答案A19. （2020朝阳二模）已知双曲线C 的焦点为1(0,2)F ，2(0,2)F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是________；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F △的面积为________．答案2；20. （2020房山二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ． 答案 321.（2020房山二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 答案12；14二、解答题部分：22.（2020海淀二模）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.答案解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直.设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++.即222814(,)4141k k C k k --++. 又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+.由1,2.y kxy=+⎧⎨=⎩得1,2.xky⎧=⎪⎨⎪=⎩所以点M的坐标为1(,2)k.所以22131k kk+==.所以1213344k k kk⋅=-⋅=-.23.（2020西城二模）答案解：（Ⅰ）由题意，得1b=，3ca=. ………………2分又因为222a b c=+，………………3分所以2a=，3c=.故椭圆E的方程为2214xy+=. ………………5分（Ⅱ）(2,0)A-，(2,0)B.设0000(,)(0)D x y x y≠，则2214xy+=. ………………6分所以直线CD的方程为011yy xx-=+，………………7分令0y=，得点P的坐标为0(,0)1xy-. ………………8分设(,)Q QQ x y，由4OP OQ⋅=u u u r u u u r，得04(1)Qyxx-=（显然2Qx≠）.……9分直线AD的方程为0(2)2yy xx=++，………………10分将Q x代入，得00000(442)(2)Qy y xyx x-+=+，即00000004(1)(442)(,)(2)y y y xQx x x--++.………………11分故直线BQ 的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)Q BQ Q y y y x k x x y x -+==-+-- …… 12分200002000022424y y x y x x y y -+=--- 20000200002214242y y x y y x y y -+==---. ………… 13分 又因为直线BC 的斜率12BC k =-，所以BC BQ k k =，即,,C B Q 三点共线. ……………… 14分24.（2020昌平二模）（本小题15分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于,A B 两点(A 在下方)，且||4AB =．过点(0,1)G 的直线l 与椭圆M 交于,C D 两点（不与A 重合）． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． 答案解：（Ⅰ）由题意得222524,,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ …………….3分即椭圆的方程为22154x y +=． …………….5分 （Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在. 当0k =时，直线l 的方程为1y =.代入椭圆方程有2x =±.则(22C D -.所以22AC AD k k ====所以12.5AC AD k k ⋅==- …………….8分当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+．由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….9分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k +=-=-++． …………10分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分 因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分 法二设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为1y kx =+． …………….6分由221,154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(45)10150k x kx ++-=. …………….7分设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1212221015,4545k x x x x k k+=-=-++． …………….9分 又(0,2)A -， 所以112AC y k x +=，222AD y k x +=. …………….11分因为1212121222(3)(3)AC AD y y kx kx k k x x x x ++++⋅==g 21212123()9k x x k x x x x +++=212123()9k x x k x x ++=+222222103()93036451245.1515545kk k k k k k k -+-+++=+=+=---+即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值． …………….15分25.(2020东城二模)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上． 答案（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分 （Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-= ， 所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>．所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=． 因为线段PQ 的中点为M ,所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B ,所以00(,1)AM x y =+uuu r ，00(1,)BM x y =-uuu r．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuu r 2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++ 322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>，所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 26.（2020密云二模）已知椭圆：过点(1,2P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由． 答案（Ⅰ）解：根据题意得22222131,42,6.a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⨯⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率е=（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为设直线的方程为：65x ty =-，联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+．又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++ =0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o 90MAN ∠=是定值．27.（2020丰台二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 的面积为4. 过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ,,求λμ+的取值范围.答案解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=． ………3分（Ⅱ) 设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,．联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=． 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞． ………7分（Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,, 所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--.令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,.同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以 121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1) 2(1)121k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)． ………14分28. （2020朝阳二模）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b的离心率为2，且椭圆C经过点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，与直线1=x 交于点Q ，设λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB (λ，)μ∈R ，求证：λμ+为定值．答案解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ab c a 得22=b ，24=a ． 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ．由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k 设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x 1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k 22228064881612-+--=+k k k k 0=， 所以0λμ+=.……………14分29（2020顺义二模）（本小题14分） 已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设点A 是椭圆C 的左顶点，直线,AP AQ 分别与直线4x =相交于点,M N .求证：以MN 为直径的圆恒过点F .解：（I ）由题意得222222c a a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,1a b c === ---------------------3分故椭圆C 的方程为22143x y +=． -------------------5分 （II ）(1,0)F ，(2,0)A -，直线l 的方程为(1)y k x =-． ------------------6分由22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 得2222(34)84120k x k x k +-+-=. 直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -⋅=+ --------------8分 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得1162M y y x =+； 即116(4,)2y M x + 同理：226(4,)2y N x + --------------10分 ∴116(3,)2y FM x =+u u u u r ，226(3,)2y FN x =+u u u r 又1212369(2)(2)y y FM FN x x ⋅=+++u u u u r u u u r -------------------11分=121236(1)(1)9(2)(2)k x k x x x -⋅-+++=[]21212121236()192()4k x x x x x x x x -++++++ =222222222412836(1)343494121643434k k k k k k k k k --++++-++++ =22229363493634k k k k -⋅+++ =990-=∴以MN 为直径的圆恒过点F . ----------------14分30. （2020房山二模）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心率为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，点P 在椭圆C 上，点Q 和点P 关于x 轴对称，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：P ，M 两点的横坐标之积等于4，并求OM 的取值范围．答案（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.依题意，2a =，12c a =. 得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -.点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩得42x m n y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m . 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m ⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.。
2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。
2020届北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线(含答案)
2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线1.（2020▪海淀二模）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）102．（2020▪西城高三二模）抛物线24x y =的准线方程为（A ）1x =（B ）1x =-（C ）1y =（D ）1y =-3．（2020▪西城高三二模）若圆22420x y x y a +-++=与x 轴，y 轴均有公共点，则实数a 的取值范围是（A ）(,1]-∞（B ）(,0]-∞（C ）[0,)+∞（D ）[5,)+∞4.（2020▪东城高三二模）双曲线222:1y C x b-=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C的离心率为(C) 2 5.（2020▪朝阳高三二模）圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（A ）22(1)1y +-=（x-1） （B ）22(1)1y ++=（x+1） （C ）22(1)2y +-=（x-1） （D ）22(1)2y ++=（x+1） 6.（2020▪朝阳高三二模）直线l 过抛物线22x y=的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点1122(,),(,).A x yB x y 若123x x +=，则弦AB 的长是 （A ）4（B ）5（C ）6 （D ）87. （2020▪西城高三（下）6月模拟）焦点在x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)24x y =(B)24y x =(C)28x y =(D)28y x =8. （2020▪西城高三（下）6月模拟）圆224210x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于(A)2(B)(C)(D)49.（2020▪昌平高三二模）已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横．坐标为（A ） （B ） （C ） （D ）10．（2020▪丰台高三二模）已知抛物线M :)0(22>=p py x 的焦点与双曲线13:22=-x y N 的一个焦点重合，则=p（A ）2（B ）2（C ）22（D ）411.（2020▪房山高三二模）若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线经过点(1,3)，则该双曲线的离心率为 （A ）2 （B ）3 （C ）2（D ）512.（2020▪密云高三二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为A. B. C. D.13．（2020▪密云高三二模）已知圆，若点P 在圆上，并且点P 到直线的距离为，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．414.（2020▪海淀二模）已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为_______.（写出一个即可）15. （2020▪丰台高三二模）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x M 的离心率为3，则其渐近线方程为_______.16．（2020▪丰台高三二模）已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,,.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则33CD =+；④白色“水滴”图形的面积是116π其中正确的有__________．17．（2020▪西城高三二模）若双曲线2221(0)16x y a a -=>经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．18.（2020▪朝阳高三二模）已知双曲线C 的焦点为12(0,2),(0,2),F F -实轴长为2，则双曲线C 的离心率是；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12,FQ F Q ⊥则12QF F V 的面积为19. （2020▪西城高三（下）6月模拟）能说明“若()20m n +≠,则方程2212mn yx+=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_______ 20.（2020▪昌平高三二模）已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和其准线都相切，则点到其顶点的距离为_______ .21.（2020▪昌平高三二模）曲线C :,点在曲线上．给出下列三个结论：①曲线关于轴对称；②曲线上的点的横坐标的取值范围是；③若,，则存在点,使△的面积大于.其中，所有正确结论的序号是________．22.（2020▪房山高三二模）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = ．23.（2020▪房山高三二模）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，||1MF =，则点M 的横坐标是_______，△MOF （O 为坐标原点）的面积为 ． 24．（2020▪密云高三二模）抛物线过点，则抛物线的焦点坐标为_______.25.（2020▪海淀二模）（本小题共15分）已知椭圆2222:1x y W a b+=(0)a b >>过(0,1),(0,1)A B -.（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.26．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为F ，点(,0)A a ，且1AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点,M N ，直线,MA NA 分别与直线4x =交于点P ，Q ，求PFQ ∠的大小．27.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点坐标为(0,1)A -，离心率为23．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，点(1,0)B ，求证：点M 不在以AB 为直径的圆上．28.（2020▪朝阳高三二模）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆C 经过点 （I ）求椭圆C 的方程；（II ）已知过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,,A B 与直线1x =交于点Q ,设,(,),AP PB AQ QB R λμλμ==∈u u u r u u u r u u u r u u u r求证：λμ+为定值.29. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10yE a b x a b+=>>经过点()0,1C ,离心率为2.O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)设,A B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点(不在坐标轴上),直线CD 交x 轴于点,P Q 为直线AD 上一点,且OP OQ 4=u u u r u u u rg ,求证:,,C B Q 三点共线.30.（2020▪昌平高三二模）（本小题15分）已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．31. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>经过(10)A ,，(0)B b ,两点.O 为坐标原点，且△AOB 4.过点(01)P ,且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M N ，,且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO PT PO λμ==u u r u u u r u u u r u u u r,,求λμ+的取值范围.32.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）．已知椭圆C的两个顶点分别为(2,0)B，焦点在x轴上，离心率为1A ，(2,0)2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，点P在椭圆C上，点Q和点P关于x轴对称，直线AP与直线BQ交于点M，求证：P，M两点的横坐标之积等于4，并求OM的取值范围．33.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）已知椭圆：过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—直线、圆与圆锥曲线参考答案1.B2.D3.A4.D5.A6.A7.D8.B9.A 10.D 11.C 12.A 13.C;14. 15. 16. ②③④ 17. 18. ；19. 答案不唯一. 如， 20. 21. ①② 22. 3 23. ；24.25.（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意，2221.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩， 解得2,1.a b =⎧⎨=⎩所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）由题意，直线l 不与坐标轴垂直. 设直线l 的方程为：1y kx =+（0k ≠）. 由221,4 4.y kx x y =+⎧⎨+=⎩得22(41)80k x kx ++=. 设11(,)C x y ，因为10x ≠，所以12841kx k -=+. 得21122814114141k k y kx k k k --=+=⋅+=++. 即222814(,)4141k k C k k --++.又因为(0,1)B -，所以22121411418441k k k k k k -++==--+. 由1,2.y kx y =+⎧⎨=⎩得1,2.x k y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以点M 的坐标为1(,2)k.所以22131k k k+==. 所以1213344k k k k ⋅=-⋅=-. 26．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,c a a c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得2a =，1c =，……………3分 从而223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，有3(1,)2M ，3(1,)2N -，(4,3)P -，(4,3)Q ，(1,0)F ，则(3,3)FP =-u u u r ，(3,3)FQ =u u u r ，故0FP FQ ⋅=u u u r u u u r ，即90PFQ ∠=o ．…………6分 当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，其中0k ≠．………………7分 联立22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．………………8分由题意，知0∆>恒成立， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．…………9分MPAF NxyOQ直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--．………………10分 令4x =，得1122P y y x =-，即112(4,)2y P x -．………………11分 同理可得222(4,)2y Q x -．………………12分所以112(3,)2y FP x =-u u u r ，222(3,)2y FQ x =-u u u r ．因为121249(2)(2)y y FP FQ x x ⋅=+--u u u r u u u r212124(1)(1)9(2)(2)k x x x x --=+--2121212124[()1]92()4k x x x x x x x x -++=+-++ 22222222241284(1)434394121644343k k k k k k kk k --+++=+--+++22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)k k k k k k k --++=+--++0=， 所以90PFQ ∠=o ．综上，90PFQ ∠=o .………………14分 27.（本小题14分）（Ⅰ）解：由题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+,1,23,222b a ca c b解得⎪⎩⎪⎨⎧===,3,1,2c b a所以椭圆C 的方程为1422=+y x ．………………………………4分（Ⅱ）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，),(00y x M ．由221,4(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(4+1)8440k x k x k -+-=，所以22222(8)4(41)(44)4816k k k k ∆=--⨯+-=+. 所以当k 为任何实数时，都有0∆>． 所以2122841k x x k +=+，2122444+1k x x k -=．因为线段PQ 的中点为M , 所以212024241x x k x k +==+，002(1)41-=-=+k y k x k , 因为(1,0)B , 所以00(,1)AM x y =+uuu r，00(1,)BM x y =-uuur ．所以2200000000(1)(1)=AM BM x x y y x x y y ⋅=-++-++uuu r uuur2222222244=()()41414141k k k k k k k k ---++++++322243=41k k k k ---+（） 222(431)=41k k k k -+++（）22237[4()]816=41k k k -+++（）.又因为0k ≠，2374()0816k ++>， 所以0AM BM ⋅≠uuu r uuu r，所以点M 不在以AB 为直径的圆上．………………………………14分 28.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知222222,121,⎧=+⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c a b c a 得22=b ，24=a ．所以椭圆C 的方程为22142+=x y ．……………5分 （Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)=-y k x ． 由(4),10=-⎧⎨-=⎩y k x x 得1,3.=⎧⎨=-⎩x y k 所以(1,3)-Q k ． 由22(4),24=-⎧⎨+=⎩y k x x y 得222(4)4+-=x kx k . 整理得2222(12)16(324)0+-+-=k x k x k .由2222(16)4(12)(324)0∆=--+->k k k，得<<k ．设直线l 与椭圆C 的交点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则21221612+=+k x x k ，212232412-=+k x x k .因为λ=u u u r u u u r AP PB ，μ=u u u r u u u r AQ QB 且11(4,)=--u u u r AP x y ，22(4,)=-u u u r PB x y ，11(1,3)=---u u u r AQ x k y ，22(1,3)=-+u u u r QB x y k ， 所以111212222241(4)(1)(1)(4)41(4)(1)λμ----+--+=+=----x x x x x x x x x x1212225()28(4)(1)+--=--x x x x x x . 因为22121222163245()285281212-+--=⨯-⨯-++k k x x x x k k22228064881612-+--=+k k k k 0=，所以0λμ+=.……………14分29．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得，.………………2分又因为，………………3分 所以，.故椭圆的方程为.………………5分（Ⅱ），.设，则.………………6分所以直线的方程为，………………7分令，得点的坐标为.………………8分设，由，得（显然）.……9分 直线的方程为，………………10分将代入，得，即. ………………11分故直线的斜率存在，且……12分.…………13分又因为直线的斜率，所以，即三点共线.………………14分30.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意得解得…………….3分即椭圆的方程为．…………….5分（Ⅱ）法一由题意，直线的斜率存在.当时，直线的方程为.代入椭圆方程有.则.所以所以…………….8分当时，则直线的方程为．由，得.…………….9分设，，则．…………10分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分法二设直线的斜率为，则直线的方程为．…………….6分由，得.…………….7分设，，则．…………….9分又，所以，.…………….11分因为即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．…………….15分31.（本小题共14分） 解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1x y C a b +=经过点(10)A ,，所以21a =解得1a =.由△AOB的面积为4可知，124ab =，解得2b =，所以椭圆C 的方程为2221x y +=．………3分（Ⅱ)设直线l 的方程为1y kx =+，1122()()M x y N x y ,,,． 联立22211x y y kx +==+⎧⎨⎩，消y 整理可得：22(21)410k x kx +++=．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以22164(21)0k k ∆=-+>，解得212k >．因为0k >，所以k的取值范围是)2+∞．………7分 （Ⅲ）因为(10)(01)A P ,,,1122()()M x y N x y ,,,,所以直线AM 的方程是：11(1)1y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-.所以点S 的坐标为11(0)1y x --,. 同理可得：点T 的坐标为22(0)1y x --,. 所以11(01)1y PS x -=--u u r ,,22(01)1y PT x -=--u u u r ,,(01)PO =-u u u r,. 由,,μλ== 可得：12121111y y x x λμ---=--=---,， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--． 同理22111kx x μ+=+-．由（Ⅱ)得121222412121kx x x x k k +=-=++,， 所以121211211kx kx x x λμ+++=++--()121212122(1)()221kx x k x x x x x x +-+-=+-++22222222142(1)()22121214()121212442(21)21421(1)2(1)121kk k k k kk k k k k k k k k k k ⋅+---++=+--+++-+-+=++++-+=++=-++g所以λμ+的范围是2)．………14分32.（本小题14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 依题意，2a =，12c a =.得1c =，2223b a c =-=.所以，椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）依题意，可设(,)P m n （22m -<<且0m ≠），则(,)Q m n -. 点P 在椭圆C 上，则22143m n +=， AP 的斜率为12n k m =+，直线AP 方程为(2)2n y x m =++， BQ 的斜率为12n k m -=-，直线BQ 的方程为(2)2n y x m -=--. 设(,)M x y ，由(2)2(2)2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩ 得42x m ny m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M 的坐标为42(,)n m m. 所以P ，M 的横坐标之积等于44m m⋅=. OM ==== 由204m <<， 所以，OM 的取值范围是()2,+∞.33.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得解得所以椭圆的方程为，离心率．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为．设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．方法二（1）当直线垂直于轴时解得与的坐标为．由点，易证．（2）当直线斜率存在时设直线的方程为：，联立方程化简得．显然点在椭圆的内部，所以．设，，则，．又因为，所以，．所以=0所以，即是定值．。
北京市密云区2020届高三二模数学试题及答案
局二试题密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6、选择题：本大题共 符合题目要求的一项. 10小题,每小题 共40分.在每小题列出的四个选项中 ，选出1.已知集合M {x A. {0,1}R|x> 0} , N 一- 2 _ B. {x|x 2 1} 则在下列集合中符合条件的集合N 可能是■2…C. {x|x 2 0}D.2.在下列函数中, 定义域为实数集的偶函数为 A. y sin x B . y cosx C. y x|x| D.y ln|x|3.已知x 则下列各不等式中一定成立的是C. D.3x 3 y 24.已知函数 f (x)满足 f(x 1)2f(x)，且 f(5)3f⑶ 4,则B.C. 4D.5.已知双曲线 1(a 0)的一条渐近线方程为x 2y 0,则其离心率为A 技f\. 2B.476.已知平面向量a 和b,则" |b| |a b|” 是“ (bA.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2a 母B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件0”的2 7.已知圆C ：x 2 - (y 1) 2, 若点P 在圆C 上, 并且点p 到直线y x的距离为华则满足条件的点 P 的个数为 C.1 -sin( x 且f (x)的最小正周期大于2 ,则 8 .设函数f(x) ), ..5 1 •若叩；，官°，82824 B. 12 C.24D.129.某-棱锥的-视图如图所示，则该-棱锥中最长的棱长为A .厄B . 2C.2也D.2^3第9题图10.已知函数f (x)的定义域为R,且满足下列三个条件：①对任意的为总乏丘［4.8］，且工］芋厘，都有; --------- 了―;—A；②;③F=/(X-4)是偶函数；若” 5 = , c f (2020)，贝U气奴r的大小关系正确的是A . a b C B. h < a <c C. D . c <a 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .抛物线y2mx(m为常数)过点(1,1),则抛物线的焦点坐标为1.6 _ . ........... ...........................................12.在(X -)的展开式中，常数项为 .(用数字作答).13.已知&是数列{a n}的前n项和，且& n2 11n(n N*)，则a〔=, &的最小值为.14.在VAB C中，三边长分别为 a 4 , b 5 , c 6,则VAB C的最大内角的余弦值为, VABC的面积为.15.已知集合A {a|a x2 y2,x Z,y Z}.给出如下四个结论：① 2 A,且3 A;②如果B {b|b 2m 1,m N*}，那么B A；③如果C {c|c 2n 2,n N*}，那么对于c C,则有c A；那么a1a2A.④如果a1 A, a2A,其中，正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. (本小题满分14分)1…如图，直二梭柱 ABC A 1B 1C 1 中，AC BC — AA), D 是棱AR 的中点，DC i BD .(I)证明：DC 1 BC ;(口)求二面角 A 1 BD 。
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的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．
18.（本小题满分 14 分） 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
人数 40
30 20
35 25 20
10 8 0
2
，
2
则满足条件的点 P 的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
8．设函数
f
(x)
1 sin(x 2
)
，
xR
，其中
0
，|
|
．若
f
( 5 ) 8
1 2
，
f
()
8
0
，
且 f (x) 的最小正周期大于 2 ，则
A．
1 3
，
24
B．
2 3
，
12
C． 1 ，
3
24
D． 2 ，
3
12
密云区 2019-2020 学年第二学期高三第二次阶段性测试
数学试卷 2020.6
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出
符合题目要求的一项．
1．已知集合 M {x R | x ≥ 0} ， N M ，则在下列集合中符合条件的集合 N 可能是
高三数学第二次阶段性测试试题 第 1页共 4页
9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为
A． 2
B．2
C． 2 2 D． 2 3
10. 已知函数 f (x) 的定义域为 ，且满足下列三个条件：
第 9 题图
①对任意的
，且
，都有
；
② ③ 若
A． a b c
；
是偶函数；
，
， c f (2020) ，则 ， ， 的大小关系正确的是
小值为_______．
14. 在 V ABC 中，三边长分别为 a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 V ABC 的最大内角的余弦值为 _________， V ABC 的面积为_______．
15. 已知集合 A {a a x2 y2, x Z, y Z} ．给出如下四个结论： ① 2 A，且 3 A； ②如果 B {b | b 2m 1, m N*}，那么 B A ； ③如果 C {c | c 2n 2, n N*} ，那么对于 c C ，则有 c A ；
A. {0,1}
B. {x | x2 1}
C. {x | x2 0}
D. R
2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为
A. y sin x
B. y cos x
C. y x | x |
3. 已知 x y ，则下列各不等式中一定成立的是
A． x2 y2
B．
1 x
1 y
C． (1 )x (1 ) y 33
（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为 2000 元、2700
元和 3200 元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在
(0,1600]、(1600,3200] 、(3200, 4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会
员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的 消费金额．
该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星” 给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励 500 元、600 元和 元． 方案 2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球 （球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球 的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励 金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员
B．
C．
D．
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11．抛物线 y2 mx(m为常数) 过点 (1,1) ，则抛物线的焦点坐标为_______.
12．在 (x 1 )6 的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）． x
13. 已知 Sn 是数列{ an }的前n项和，且 Sn n2 11n(n N*) ，则 a1 =_________， Sn 的最
中，AC
BC
1 2
AA1
，D
C1 A1
B1
是棱 AA1 的中点， DC1 BD ．
（Ⅰ）证明： DC1 BC ；
D
（Ⅱ）求二面角 A1 BD C1 的大小．
17.（本小题满分 15 分）
B C A 第 16 题图
已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当 x [0, π] 时，关于 x 的不等式 f (x) ≥ m _______，求实数 2
D. y ln | x |
D． 3x 3 y 2
4.已知函数 y f (x) 满足 f (x 1) 2 f (x) ，且 f (5) 3 f (3) 4 ，则 f (4)
A．16
B．8
C．4
D． 2
5.已知双曲线 x2 y2 1(a 0) 的一条渐近线方程为 x 2 y 0 ，则其离心率为 a
[0,800]
8
4
消费金额/元
(800,1600] (1600,2400] (2400,3200] (3200,4000] (4000,4800]
（Ⅰ）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中
பைடு நூலகம்
随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率；
5
A.
2
17
B.
4
3
C.
2
15
D.
4
6.已知平面向量 a和b ，则“| b || a b |”是“ (b 1 a)a 0 ”的 2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7．已知圆 C : x2 ( y 1)2 2 ，若点 P 在圆 C 上，并且点 P 到直线 y x 的距离为
④如果 a1 A ， a2 A ，那么 a1a2 A ． 其中，正确结论的序号是__________．
高三数学第二次阶段性测试试题 第 2页共 4页
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
16.（本小题满分 14 分）
如图，直三棱柱
ABC
A1B1C1