高中数学第1章第3课课时分层训练

分层训练(三)
A 组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．(2017·启东中学高三第一次月考)命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是________. 导学号：62172014
∃x ∈R ，x 2<0 [“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2<0”．]
2．(2017·如皋市高三调研一)命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是________命题．(填“真”或“假”)
假 [∵命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”是真命题，故其否定是假命题．]
3．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为________．
(綈p )∨(綈q ) [“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p ∧q ，而p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．]
4．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的
图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)
①p 为真；
②綈p 为假； ③p ∧q 为假； ④p ∧q 为真．
③ [p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．]
5．下列命题中为假命题的是________．
①∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，x ＞sin x ； ②∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2；
③∀x ∈R,3x ＞0；
④∃x 0∈R ，lg x 0＝0.
② [对于①，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故①正确；对于②，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故②错误；对于③，易知3x ＞0，故③正确；对于④，由lg 1＝0知，④正确．]
6．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范 围是________. 导学号：62172015
(－∞，0)∪(4，＋∞) [因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，
所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，
则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，
解得a ＜0或a ＞4.] 7．(2017·盐城中学月考)已知命题“綈p 或綈q ”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③綈p 或q ；④綈p 且q .其中真命题的个数为________．
3 [∵“綈p 或綈q ”是假命题；∴綈p 及綈q 均是假命题，从而p ，q 均是真命题．即p 或q ，p 且q ，綈p 或q 均是真命题，綈p 且q 为假命题．]
8．(2017·南京二模)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
[e,4] [若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈
[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.]
9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0 ＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________.
导学号：62172016
(1，＋∞) [命题p 为真时，a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或
a ≤－
2.(綈p )∧q 为真命题，即綈p 为真且q 为真，即a >1.]
10．已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋2≤0；q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0.若
“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．
[1，＋∞) [若存在x 0∈R ，mx 20＋2≤0成立，则m <0，所以若p 为假命
题，m 的取值范围是[0，＋∞)；若任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，则Δ＝4m 2－4<0，即－1<m <1，所以若q 为假命题，m 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是[1，＋∞)．]
二、解答题
11．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)当a ＝1时，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围.
导学号：62172017
[解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.
∴若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]．
(2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，
∴m ≤1，
∴命题q 为真时，m ≤1.
∵p 且q 为假，p 或q 为真，
∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．
当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧
1≤m ≤2，m >1，得1<m ≤2；
当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m <1或m >2，m ≤1，
得m <1. 综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．
12．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．
[解] 由“p 或q 为真，p 且q 为假”可知，p ，q 中有且仅有一个为真命题，
又p 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0⇒m >2，
x 1·
x 2＝1>0 q 真⇔Δ<0⇒1<m <3.
(1)若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≤2，1<m <3
⇒1<m ≤2； (2)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧
m >2，m ≥3
⇒m ≥3. 综上所述，m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知下面四个命题：
①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”；
②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；
③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；
④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
①②③ [①正确．
②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，
所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确．
由于存在性命题的否定为全称命题，所以③正确．
若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]
2．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件
是綈p ，则a 的取值范围是________．
[1，＋∞) [由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1.]
3．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数m 的取值范围．
[解] 因为∀x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，
即f (x )min ＝0.若∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则只要满足g (x )min ≤0.
而函数g (x )在区间[0,2]上是单调减函数，
故g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ≤0，即m ≥14.故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫14，＋∞. 4．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：∀x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，x ＋1x >c .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数c 的取值范围．
[解] 若命题p 为真，则0<c <1.
若命题q 为真，则c <⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x min ， 又当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 则必须且只需2>c ，即c <2.
因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， 所以p 、q 必有一真一假．
当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，c ≥2，
无解； 当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧
c ≥1，c <2，所以1≤c <2. 综上，c 的取值范围为[1,2)．。