2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第二章 2.2 2.2.2 向量数乘运算及其几何意义
人教A版高中数学必修四同步课时分层训练：第2章 平面向量 2.2 2.2.2
第二章 2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．(2019·涪城区校级期中)设OA →＝a ，OB →＝b ，点P 与R 关于点A 对称，点R 与Q 关于点B 对称，则向量PQ →＝( )A ．2(a －b )B ．2(b －a )C ．12(a －b )D ．12(b －a )解析：选B ∵点P 与R 关于点A 对称，点R 与Q 关于点B 对称， ∴PQ→＝OQ →－OP →＝(OQ →＋OR →)－(OP →＋OR →)＝2OB →－2OA →＝2(b －a )．故选B. 2．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c ＋d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 由题意得，BA →＋DC →＝0，∴OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，即a －b＋c －d ＝0，故选B.3．已知△ABC 为等腰直角三角形，且A ＝90°，给出下列结论：①|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|； ②|BC→－BA →|＝|CB →－CA →|； ③|AB→－CB →|＝|AC →－BC →|； ④|AB→－AC →|2＝|BC →－AC →|2＋|CB →－AB →|2. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选D如图，以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．故选D.4．在四边形ABCD 中，若AB →＝－CD →，且|AB →－AD →|＝|AB →＋AD →|，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：选C 因为AB→＝－CD →，所以AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．因为|AB→＋AD →|＝|AB →－AD →|，所以|AC →|＝|DB →|，即▱ABCD 的对角线相等，所以四边形ABCD 为矩形．故选C ．5．(2019·河南三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB →的是( )①AC →＋CD →－BD →；②AC →－CB →；③OA →＋OB →；④OB →－OA →. A ．①④ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A 因为AC→＋CD →－BD →＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →，所以①正确，排除C 、D ；因为OB→－OA →＝AB →，所以④正确，排除B.故选A ．6．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →可用a ，b ，c 表示为________．解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a －b ＋c .答案：a －b ＋c 7.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA→＋OD →＋DA →＝________. 解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA→＝CA →. 答案：CA→8．若向量a ，b 满足：|a |＝2，|a ＋b |＝3，|a －b |＝3，则|b |＝________. 解析：由|a ＋b |＝3，|a －b |＝3，可得|a |2＋|b |2＝9，又|a |＝2，解得|b |＝ 5. 答案： 59．设O 是△ABC 内一点，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，若以OA ，OB 为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC ，OD 为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H .试用a ，b ，c 表示DC→，OH →，BH →.解：由题意可知四边形OADB 为平行四边形， OD→＝OA →＋OB →＝a ＋b ， ∴DC→＝OC →－OD →＝c －(a ＋b )＝c －a －b . 又∵四边形ODHC 为平行四边形， ∴OH→＝OC →＋OD →＝c ＋a ＋b ， BH→＝OH →－OB →＝a ＋b ＋c －b ＝a ＋c .10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |； (2)|a －b ＋c |.解：(1)由已知得，a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC→＝c ， 延长AC 到E ，使|CE→|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF→＝AC →，连接CF ， 则DB→＋BF →＝DF →， 而DB→＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ， ∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →，且|DF →|＝2.∴|a －b ＋c |＝2.‖层级二‖|应试能力达标|1．(2019·山东淄博六中期中)对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 在菱形ABCD 中，向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB→－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC→|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，所以③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC→＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C ．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，|BC →|2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB→－AC →|，则|AM →|＝( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选C 以AB →，AC →为邻边作▱ACDB ，则|AD →|＝|AB →＋AC →|，|CB →|＝|AB →－AC →|.因为|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以|AD →|＝|CB →|，所以四边形ACDB 为矩形，故AC ⊥AB ，所以AM 为Rt △BAC 斜边BC 上的中线，因此|AM→|＝12|BC →|＝2.故选C ．3．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：选A ∵OA→＋OB →＋OC →＝0，OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边的平行四边形的对角线且过AB 的中点，设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，∴2OD →＋OC →＝0.∴|OD→|＝12|OC →|.又∵D 为AB 的中心，C ，O ，D 三点共线， ∴O 为△ABC 的重心．4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，则下列结论正确的是( )A ．点P 在△ABC 的内部B ．点P 在△ABC 的边AB 上 C ．点P 在AB 边所在直线上D ．点P 在△ABC 的外部解析：选D 由P A →＋PB →＝PC →，可得P A →＝PC →－PB →＝BC →，∴四边形PBCA 为平行四边形，∴点P 在△ABC 的外部．故选D.5．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB →＝b ，OC →＝c ，则EF→等于________．解析：EF →＝CB →＝OB →－OC →＝b －c .答案：b －c6．对于向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7．已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，则|AB →－AD →|的取值范围是________．解析：∵||AB→|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD→|≤15，∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]． 答案：[3,15]8．(2018·江苏泰州中学模考)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM→＝a ，CA →＝b ，求证： (1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC 中，由M 是斜边AB 的中点，得|CM →|＝|AM→|，|CA →|＝|CB →|.在△ACM 中，AM→＝CM →－CA →＝a －b .于是由|AM →|＝|CM →|，得|a －b |＝|a |. (2)MB→＝AM →＝a －b ， 在△MCB 中，CB→＝MB →－MC →＝a －b ＋a ＝a ＋(a －b )，从而由|CB →|＝|CA →|，得|a ＋(a －b )|＝|b |.由Ruize收集整理。
高一数学人教A版必修四练习：第二章 平面向量2.2.2 含解析
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在三角形ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，则AB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析： AB →＝CB →－CA →＝－BC →－CA →＝－a －b . 答案： D2．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|BC →－AC →|的值为( ) A ．0 B ．1 C .3D ．2解析： |BC →－AC →|＝|BC →＋CA →|＝|BA →|＝1. 答案： B3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A .EF →＝OF →＋OE → B .EF →＝OF →－OE → C .EF →＝－OF →＋OE →D .EF →＝－OF →－OE →解析： EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B . 答案： B4．已知一点O 到▱ABCD 的3个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析： 如图，点O 到平行四边形的三个顶点A ，B ，C 的向量分别是a ，b ，c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案： B二、填空题(每小题5分，共15分) 5．下列四个等式： ①a ＋b ＝b ＋a ； ②－(－a )＝a ； ③AB →＋BC →＋CA →＝0； ④a ＋(－a )＝0，其中正确的是________(填序号)．解析： 由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案： ①②③④6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________． 解析： 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0， 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1，∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 答案： 0 27．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析： 根据题意画出图形，如下图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ；d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b . 答案： c b三、解答题(每小题10分，共20分) 8．化简：(1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →； (2)BD →＋DC →＋AB →－AC →. 解析： (1)MN →－MP →＋NQ →－PQ →＝(MN →＋NQ →)－(MP →＋PQ →)＝MQ →－MQ →＝0.(2)BD →＋DC →＋AB →－AC →＝(BD →＋DC →)＋(AB →－AC →) ＝BC →＋CB →＝0.9．如图，解答下列各题： (1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.解析： 由图可知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .。
高中数学课时训练(人教版必修四)第二章2.32.3.2平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算预习导学
数学 ·必修 4(人教 A 版)2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.2 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算预习导学基 础提高．若 →＝(2， 3)，且点 A 的坐标为 (1,2)，则点 B 的坐标为 ( )1 ABA ．(1,1)B.(－1，1)C.(3，5)D.(4， 4)答案： C．已知平行四边形 为原点 ， → →2 OABC(O＝(2,0)，OB ＝(3,1)，则) OAOC 等于( )A ．(1,1)B ．(1，－ 1)C ．(－ 1，－ 1)D ． (－1,1)分析：→→ → →OC ＝AB ＝OB －OA ＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，应选 A.答案： A3．若向量 a＝(1,1)，b＝(1，－ 1)，c＝ (－1,2)，则 c 等于 () 1313A．－2a＋2b B.2a－2b3131C.2a－2b D．－2a＋2b答案： B4．已知 a＝(1，2)，b＝(2， 3)，实数 x，y 知足 xa＋yb＝(3，4)，则 x＝________.答案：－1π5．若将向量 a＝( 3，1)按逆时针方向旋转2获得向量 b，则 b 的坐标为 ________．答案： (－ 1，3)6．已知平行四边形 ABCD 中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点 D 的坐标为 ________．答案： (3，5)巩固提高7．作用于原点的两个力F1＝(2，2)，F2＝(1，3)，为使它们均衡，需加力 F3＝________.答案： (－3，－5)8．已知 A(2， 3)，B(4，－ 3)，点 P 在线段 AB 的延伸线上，且AP →＝32 PB→，求点 P 的坐标．分析：设 P x，y ，由点 P 在线段 AB 的延伸线上，且AP→＝32 PB→，得3x－2，y－3 ＝2 x－4， y＋3 ，2x－4＝3x－12，x＝8，即解得2y－6＝3y＋9，y ＝－ 15.∴P 点的坐标为8，－ 15 .9．已知 A(－2,1)，B(1, 7)，求线段 AB 的三平分点 P，Q 的坐标 (其中 P距点 A近)．分析：设 P(x，y)，∵P 为 AB 的三平分点，→ 1 →，即＋，－＝1∴AP＝1)．3AB(x 2y3(3,6)x＋2＝1，x＝－ 1，∴?y－1＝2，y＝3.∴P(－1,3)同理可求 Q(0,5)．10．在正方形ABCD 中， P 为对角线 BD 上的一点， PECF 是矩形，用向量方法证明PA＝EF ．证明：成立如右图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，→2a)，则 F 2λ， 0则 A(0，a)．设 |DP|＝λ(0＜λ＜2，222P 2λ，2λ，E a，2λ，→＝22因此 EFλ－，－λ，2a2→2λ，a－2PA＝－22λ，由于→ 222 |EF | ＝λ－ 2aλ＋a，→ 222 |PA| ＝λ－2aλ＋a，因此→→|EF |＝|PA|，即 EF ＝PA.．已知点，，及→→→＝OA＋tAB，试求 t 为什么11O(0,0)A(1,2)B(4,5)OP值时：(1)点 P 在 x 轴；(2)点 P 在 y 轴；(3)点 P 在第一象限．→分析：∵OP＝(1＋3t,3t＋2)，∴P(1＋3t,3t＋2)．2(1)若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，∴t＝－3；1(2)若点 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，∴t＝－3；1＋3t>0，1(3)若点 P 在第一象限上，则t>－3.2＋3t>0，。
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第二章 2.1.2 演 绎 推 理
栏 目 链 接
点评：这些基本问题有助于准确理解“三段论”的表述形式， 应该重点掌握．
跟 踪 训 练
1．将下列的演绎推理写成“三段论”的形式． (1)三角形内角和为 180° ，所以正三角形的内角 和是 180° (2)0.332是有理数． (3)两直线平行，同旁内角互补．∠A 与∠B 是 两条平行直线的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180° .
第二章
推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
栏 目 链 接
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理 的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些 简单推理. 栏 差异.
目 2.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和链 接
基础 自测 3．命题 “ 有些有理数是无限循环小数，整数是有理数， 所以整数是无限循环小数 ” 是假命题，推理错误的原因是 ( ) A．使用了归纳推理 栏 B．使用了类比推理 目 C．使用了“三段式”，但大前提错误 链 接 D．使用了“三段式”，但小前提错误
解析：此推理使用了“三段式”，但小前提错误．故选 D.
栏 目 链 接Fra bibliotek基础 自测
1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边 形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( ) A．① B．② C．③ D．①②
解析：此推理的小前提是 “三角形不是平行四边形”． 故选 B. 答案：B
栏 目 链 接
基础 自测
栏 目 链 接
基础 梳理
1．演绎推理． 一般性 的原理出发，推出某个特殊情况 从________ ________下的结论，这种推 理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．演绎推理的一般模式——“三段论”，包括： 大前提——已知的一般原理； (1)______ 小前提 ——所研究的特殊情况； (2)______ 结论 ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． (3)______
2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第二章 2.2.1 综合法和分析法
基础 自测
( 1．设 x，y∈R＋，且 x＋y＝6，则 lg x＋lg y 的取值范围是 ) A．(－∞，lg 6] B．(－∞，2lg 3] 栏 C．[lg 6，＋∞) 目 链 D．[2lg 3，＋∞) 接
解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2 xy≤6，即 0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即 lg x＋lg y≤2lg 3.故选 B. 答案：B
基础 自测
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a＞b ＞c， 且 a＋b＋c＝0， 求证： b2－ac＜ 3a”索的因应是( ) A．a－b＞0 B．a－c＞0 栏 C．(a－b)(a－c)＞0 目 链 D．(a－b)(a－c)＜0
接
解析： b2－ac＜ 3 a ⇐ b2 － ac ＜ 3a2⇐ 3a2＋ ac－ (a ＋ c)2 ＞ 0⇐ (2a ＋ c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选 C. 答案：C
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
证明：(1)∵ sin θ 与 cos θ 的等差中项是 sin x， 等比中项是 sin y， ∴ sin θ＋cos θ＝2sin x，① 2 sin θcos θ＝sin y，② ①2－②×2，可得 (sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝4sin2x－2sin2y， 即 4sin2x－2sin2y＝1. 1－cos 2x 1－cos 2y ∴ 4× －2× ＝1, 2 2 即 2－2cos 2x－(1－cos 2y)＝1. 故证得 2cos 2x＝cos 2y.
第二章
推理与证明
2.2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
栏 目 链 接
1.结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基 本的方法：综合法和分析法. 2.了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会 栏 目 用综合法和分析法证明具体的问题.通过实例充分认识这两种证 链 接 明方法的特点，认识证明的重要性
高中数学人教A版必修四课时训练：2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 Word版含答案
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝__________.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝________.(2)(λ＋μ)a ＝____________. (3)λ(a ＋b )＝____________.特别地，有(－λ)a ＝____________＝________； λ(a －b )＝____________. 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________． 4．向量的线性运算向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a ±μ2b )＝__________________.一、选择题1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0 B.45 C.83D ．36．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|等于( )A ．8B ．4C ．2D ．1题 号1 2 3 4 5 6 答 案7．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_______. 8．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________.9. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →②－BC →－12BA →③BC →－12BA →④BC →＋12BA →10. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)三、解答题11．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．12. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝______.(用a ，b 表示)能力提升13．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心14．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b2．2.3 向量数乘运算及其几何意义知识梳理1．向量 数乘 λa (1)|λ||a | (2)λ>0 λ<0 0 02．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 3．b ＝λa4．加 减 数乘 λμ1a ±λμ2b 作业设计1．D [当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线．]2．C [∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线．]3．D [P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．]4．B [∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.]5．C [∵CD →＝CB →＋BD →＝4BD →， ∴CB →＝3BD →.∴CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC → ＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC → ∴r ＝43，s ＝－43，r －s ＝83.]6．C [∵BC →2＝16， ∴|BC →|＝4.又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4， ∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.]7.421a －17b ＋17c 8．1解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴∃λ∈R 使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)． ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1. 9．①解析 －BC →＋12BA →＝CB →＋12BA →＝CB →＋BD →＝CD →.10.14(b －a ) 解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )． 11．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 12．证明 设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量加法的三角形法则可知： CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b ＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线．13．B [AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．] 14．B [如图所示，∵E 是OD 的中点， ∴OE →＝14BD →＝14b .又∵△ABE ∽△FDE ， ∴AE EF ＝BE DE ＝31. ∴AE →＝3EF →，∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b .∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b .]。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)课时训练第二章 2.2 2.2.2 直线与平面平行的性质
跟 踪 训 练
1．如图所示，过正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 BB1 作一平 面交平面 CDD1C1 于 EE1，求证：BB1∥EE1.
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
证明：∵BB1∥CC1，BB1⊄平面 D1DCC1， CC1⊂平面 D1DCC1， ∴BB1∥平面 D1DCC1. 又∵BB1⊂平面 BB1E1E， 平面 BB1E1E∩平面 DD1C1C＝EE1， ∴BB1∥EE1.
栏 目 链 接
题型三
线面平行性质的有关计算
例3 如图所示，在三棱锥PABC中，PA＝4，BC＝6， 与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的
基 础 梳 理
线面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则 文字语言
过这条直线的任一平面与此平面的交线 __________________________
栏 目 链 接
与该直线平行
符号语言
a⊂β α∩β＝b
基 础 梳 理
图形语言
栏 目 链 接
作用
线线平行 线面平行⇒__________
基 础 梳 理
练习：如右图所示，已知 E 为空间四边形 ABCD 的边 AB 的中点，EF∥平面 BCD，求证：F 是 AD 的中点．
栏 目 链 接
证明：因为EF∥平面BCD，BD＝面ABD∩面BCD，所 以EF∥BD，因为E为空间四边形ABCD的边AB的中点，所 以F是AD的中点．
思 考 应 用
由扣在桌面上的书的实例思考： 当一条直线与一个平面 平行时， 过该直线可作多少个平面与已知平面相交， 相交的 交线与这条直线又有怎样的位置关系？
栏 目 链 接
高中数学课时训练(人教版必修四)第二章2.32.3.1平面向量基本定理)
数学·必修 4(人教 A 版)2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理基础提高1．假如 e1、e2是平面α内全部向量的一组基底，那么 ()A ．若实数λ、λ使λ ＋λ＝0，则λ＝λ＝0 121e12e212B．空间任一直量＋λ，这里λ、λ是实数a 能够表示为 a＝λ1e12e212、λ，λ ＋λ不必定在平面α内C．对实数λ121e12e2D．对平面α中的任一直量 a，使 a＝λ1e1＋λ的实数λ、λ有无2e212数对答案： A2．假如 3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，此中 a，b 为已知向量，则 e1＝________， e2＝ ________.- 1 -3．设 e1，e2是平面内一组基底，假如→→＋AB＝3e1－2e2，BC＝4e1→e2，CD＝8e1－9e2，则共线的三点是 ()A．A、 B、C B．B、C、 DC．A、 B、D D．A、C、D答案： C4．设 e1，e2是平面内全部向量的一组基底，则下边四组向量中，不可以作为基底的是 ()A．e1＋e2和 e1－e2B．3e1－2e2和 4e2－6e1C．e1＋2e2和 e2＋2e1D．e2和 e1＋ e2分析：∵4e2－6e1＝－ 2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与 4e2－6e1共线，应选 B.答案： B5．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 知足 (3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y＝________.分析：由题意，得 3x－4y＝6 且 2x－3y＝3，解得 x＝ 6，y＝3，∴x －y＝3.答案： 3巩 固提高6．以下列图所示， 已知 E 、F 分别是矩形 ABCD 的边 BC 、CD 的中→ → →点，EF 与 AC 交于点 G ，若AB ＝a ，AD ＝ b ，用 a 、b 表示 AG ＝________.分析： ∵E 、F 分别为相应边中点，∴→3→3 3 3 AG ＝ 4AC ＝4(a ＋b)＝4a ＋4b.3 3答案： 4a ＋4b→ 1 → →7．在三角形 ABC 中， AE ＝5AB ，EF ∥BC 交 AC 于 F 点，设 AB → → ＝a ，AC ＝b ，试用 a ，b 表示向量 BF.分析：以下图，→1→→→→∵AE＝5AB，EF ∥BC 交 AC 于 F 点，∴BF＝BE＋EF4→ 1 →＝5BA＋5BC4 → 1 →→＝－5AB＋5 AC－AB→ 1 →1＝－ AB＋5AC＝－ a＋5b.8．若 a，b 是两个有同样起点且不共线的非零向量，当t(t∈R)为1何值时，三向量a，tb，3(a＋b)的终点在同一条直线上？→→→ 1→ →→2分析：设OA＝a，OB＝tb，OC＝3(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－3a1→ →→→→＋3b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使 A，B，C 三点共线，则 AC＝λAB，221－3＝－λ，11即－3a＋3b＝λtb－λa，∴1解得 t＝2.∴当 t＝2时，三3＝λt，向量终点在同向来线上．9．在平行四边形ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，→→→若AC＝λAE＋μAF，此中λ，μ∈ R，则λ＋μ＝________________________________________________________ ________________.→→→1→1→分析：设 BC＝b，BA＝a，则 AF＝2b－a，AE＝b－2a，AC＝ b－→→→24a.代入条件 AC＝λAE＋μAF得λ＝μ＝3.∴ λ＋μ＝3.。
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分析：用向量数乘运算律． 解析：(1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝15a－10b＋8b－12a＝ 3a－2b.
(2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c) ＝6a－18b＋6c＋4a－4b＋4c＝10a－22b＋10c. (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b) ＝(x－y)(a＋b－a＋b)＝2(x－y)b. 点评：关于向量的运算要遵循向量数乘运算律进行 化简．
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自 测 自 评
1．若 a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2，则 a＝____b，b＝____a.
1 解析：根据向量共线条件得 a＝－ b，b＝－2a. 2 1 答案：－ －2 2
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自 测 自 评
AC 5 → ＝________AB →， 2．点 C 在线段 AB 上，且CB＝ ，则AC 2 → ＝________AB →. BC
栏 目 链 接
基 础 梳 理
2．运算定律．
(λμ)a ， 结合律：λ(μa)＝________
第一分配律：(λ＋μ)a＝ ________ λa ＋μa ， 第二分配律：λ(a＋b)＝ λ________. a＋λb 练习 1： a 为单位向量， 则|3a|＝ ＝ . ， |2a|＝ ， |23a|
基 础 梳 理
二、向量共线
1．向量共线的条件． (1)对于向量 a(a≠0)、b，若有实数 λ，使________ b＝λa ，则 a 与 b 为共线向量． (2)若 a 与 b 共线(a≠0)，则有实数 λ，使__________ b＝λa ． 2．向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线的条件是 ___________________________________________________. 当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa 练 习 3 ： M 是 线 段 AB 的 中 点 ， 对 于 任 意 一 点 O ， 都 有 .
第二章
平面向量
2.2 平面向量的线性运算 2．2.2 向量数乘运算及其几何意义
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1．理解向量数乘运算的几何意义． 2．掌握向量数乘运算的运算律． 3．掌握向量共线的条件．
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基 础 梳 理
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5 答案： 7
2 － 7
自 测 自 评
3．已知|a|＝3，|b|＝5，b 与 a 的方向相反，若 a＝λb，则 |b|， b 与 a 的方向相反， ∴a＝－ b， 5 5 3 ∴λ＝－ . 5 3 答案：－ 5
一、向量的数乘运算
1 ． 实数与向量的积：实数 λ 与向量 a 的积是一个
______ 向量 ，记作：______. λa |λ||a| (1)|λa|＝______. (2)λ>0 时 λa 与 a 方 向 ________ 相同 ； λ<0 时 λa 与 a 方 向 相反 ；λ＝0时λa＝________. ________ 0
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→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ， 解析：∵CB 1 2 1 2 → ＝CD → －CB → ＝(2e －e )－(e ＋3e )＝e －4e . ∴BD 1 2 1 2 1 2 因为 A、B、D 三点共线． → ＝λBD →， ∴存在实数 λ，使得AB 即 2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，解得 k＝－8. 点评：待定系数法是解决两向量平行的重要工具， 适用于两个向量平行的判定中实数的确定．
自 测 自 评
4．已知向量 e，分别求作向量 a＝3e，b＝－3e. e ――→
解析：如下图所示：
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题型1 例1
有关向量的运算
化简： (1)5(3a－2b)＋4(2b－3a)； (2)6(a－3b＋c)－4(－a＋b－c)； (3)(x－y)(a＋b)－(x－y)(a－b)．
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1 → → → 答案：OM＝ (OA＋OB) 2
思 考 应 用
2．在向量共线定理中，为什么附加上条件 a≠0?
解析：当 a＝0 时，不论实数 λ 为何值，都有 b＝0，而当 b≠0，a＝0 时，向量 a 与 b 共线，此 时 λ 不存在，共线定理不成立．也就是说当 a＝0 时，不能表示任意的向量 b.
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题型2
向量的共线问题
→ ＝2e ＋ke ，CB →＝ 例2 设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 1 2 → ＝2e －e ，若三点 A，B，D 共线，求 k. e1＋3e2，CD 1 2
→ ＝e ＋3e ，CD → ＝2e －e ，求得BD → ＝CD → 分析：由CB 1 2 1 2 → ＝e －4e .因为 A、B、D 三点共线．所以AB → 与BD →存 －CB 1 2 在数量关系．
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答案：3 2
6
.
练习 2：－3×4a＝
答案：－12a
思 考 应 用
1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行 加法、减法运算呢？
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解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数 量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．
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跟 踪 训 练
1．已知 a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，求 a＋b，a－b 与 3a－2b.
解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2， ∴a＋b＝(e1＋2e2)＋(3e1－2e2)＝4e1， a－b＝(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝－2e1＋4e2， 3a－2b＝3(e1＋2e2)－2(3e1－2e2)＝－3e1＋10e2.