高中数学课时训练(含解析)：三角函数、解三角形 (5)

【课时训练】第20节 简单的三角恒等变换一、选择题1．(湖南岳阳联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α,则cos 2α＝( ) A ．1 B ．－1 C ．12 D ．0【答案】D【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α,∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α,∴tan α＝sin αcos α＝－1,∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0。

2．(河北沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β＝2,sin α＝2sin β－3,则sin 2(α＋β)＝( )A ．1B ．12 C ．14 D ．0【答案】A【解析】由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2,(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3。

两式相加,得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5,∴cos(α＋β)＝0,∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1。

3．(吉林梅河口五中月考)若tan(α＋80°)＝4sin 420°,则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35 B ．335 C ．319 D ．37【答案】D【解析】由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23,得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan (α＋80°)－tan 60°1＋tan (α＋80°)tan 60°＝23－31＋23×3＝37。

故选D 。

4．(湖南永州二模)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34,则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A 。

725 B ．925 C ．1625 D ．2425【答案】B【解析】∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34,∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝tan 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋1＝916916＋1＝925。

故选B 。

5．(开封模拟)设a ＝12cos 6°－32sin 6°,b ＝2tan13°1－tan 213°,c ＝1－cos 50°2,则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°,b ＝tan 26°,c ＝sin 25°,∴a ＜c ＜b 。

6．(广东佛山质检)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)·cos β＝45,且α为第二象限角,则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17C ．－7D ．－17【答案】B【解析】sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45,即sin αcos βsin β－cos αsin 2β－cos αcos 2β－sin αsin βcos β＝45,即cos α＝－45。

又α为第二象限角,∴tan α＝－34,∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17。

故选B 。

7．(内蒙古巴彦淖尔一中期中)若tan 20°＋m sin 20°＝3,则m 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．4【答案】D【解析】∵tan 20°＋m sin 20°＝sin 20°cos 20°＋m sin 20°＝3,∴m sin 20°cos 20°＝3cos 20°－sin 20°＝2sin(60°－20°)＝2sin 40°,∴m 2sin 40°＝2sin 40°,∴m ＝4。

故选D 。

8．(江西重点高中月考)若sin(α＋β)＝2sin(α－β)＝12,则sin αcos β的值为( )A 。

38B ．－38C ．18D ．－18【答案】A【解析】由sin(α＋β)＝2sin(α－β)＝12,可得 sin αcos β＋cos αsin β＝12 ①, sin αcos β－cos αsin β＝14 ②。

由①②解得sin αcos β＝38。

故选A 。

二、填空题9．(山西康杰中学月考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3,tan(α－β)＝2,则tan(β－2α)＝________。

【答案】43【解析】∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3,∴tan α＝2。

∵tan(α－β)＝2,∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝－tan [(α－β)＋α] ＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43。

10．(浙江绍兴诸暨中学期中)3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________。

【答案】－43【解析】原式＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°cos 24°sin 24°＝43sin (12°－60°)sin 48°＝－43。

三、解答题11．(东营模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4。

(1)若tan α＝2,求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2,求f (x )的取值范围．【解】(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12。

由tan α＝2,得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45。

cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35。

所以 f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35。

(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12。

由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2,得5π12≤2x ＋π4≤5π4。

∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12, ∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12。

12．(甘肃兰州一诊)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6。

(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,求函数f (x )的值域． 【解】(1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32。

所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π。

由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π,k ∈Z , 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π,k ∈Z ,所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π,k ∈Z 。

(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32。

故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32。