高中数学课时训练(含解析)：不等式 (1)
高中数学课时素养评价第3章不等式3..基本不等式的应用含解析苏教版第一册
课时素养评价十二基本不等式的应用（15分钟35分)1.已知a〉b>0,全集为R，集合M=x b<x〈，N={x|<x〈a},P=｛x｜b〈x≤},则M，N，P满足（）A.P=M∩（R N) B。
P=(R M)∩NC.P=M∪N D。
P=M∩N【解析】选A。
由a>b〉0结合基本不等式可得，a>〉〉b,故P=M∩(R N）。
2。
某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a，第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则（)A。
x= B.x≤C.x>D.x≥【解析】选B.由条件知A(1+a）（1+b）=A(1+x)2,所以(1+x）2=（1+a)（1+b)≤,所以1+x≤1+,故x≤。
3。
已知a〉0，b〉0,ab=1，且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是(）A。
3 B.4 C.5 D。
6【解题指南】利用“1”的代换解题。
【解析】选B。
因为ab=1,所以m=b+=2b，n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4。
当且仅当a=b=1时，等号成立。
【补偿训练】若实数a，b满足+=,则ab的最小值为（)A.B。
2 C。
2 D.4【解析】选C。
由题意知a>0，b〉0,则+≥2=，当且仅当=，即b=2a时等号成立。
所以≥，即ab≥2.4。
周长为+1的直角三角形面积的最大值为________。
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则+1=a+b+≥2+,解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号，所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.答案：5。
某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________。
【解析】总运费与总存储费用之和f（x）=4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=，即x=20时取等号。
答案：206.设a，b,c均为正数，且a+b+c=1。
高中数学必修一高中数学第章(第课时)含有绝对值的不等式(一)公开课教案课件课时训练练习教案课件
课 题：含有绝对值的不等式（1）教学目的：1．理解含有绝对值的不等式的性质；2．培养学生观察、推理的思维能力， 使学生树立创新意识； 3运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质；4．认识不等式证法的多样性、灵活性教学重点：含有绝对值不等式的性质、定理的综合运用教学难点：对性质的理解、常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题我们知道，当a ＞0时，|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ,|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质二、讲解新课：定理：||||||||||b a b a b a +≤+≤-证明：∵|||||)||(|||||||||b a b a b a b b b a a a +≤+≤+-⇒⎭⎬⎫≤≤-≤≤- ||||||b a b a +≤+⇒ ①又∵a =a +b -b |-b |=|b |由①|a |=|a +b -b |≤|a +b |+|-b | 即|a |-|b |≤|a +b | ②综合①②: ||||||||||b a b a b a +≤+≤-注意：1︒ 左边可以“加强”同样成立，即||||||||||b a b a b a +≤+≤-2︒ 这个不等式俗称“三角不等式”—三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3︒ a ,b 同号时右边取“=”，a ,b 异号时左边取“=”推论1：||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++推论2：||||||||||b a b a b a +≤-≤-证明：在定理中以-b 代b 得：|||||)(|||||b a b a b a -+≤-+≤--即 ||||||||||b a b a b a +≤-≤-三、讲解范例：例1 已知|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, 求证 |x +2y －3z |＜ε 证明：|x +2y －3z |≤|x |＋|2y |＋|－3z |=|x |＋2|y |＋3|z |∵|x |＜3ε，|y |＜6ε,|z |＜9ε, ∴|x |＋2|y |＋3|z |＜εεεε=++93623 ∴|x ＋2y －3z |＜ε说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备例2 设a , b , c , d 都是不等于0的实数，求证||||||||a d d c cb b a +++≥4证明：∵ ,0||,0||,0||,0||>>>>ad a c c b b a ∴,||2||2||||2||||ca cb b ac b b a c b b a =⋅=⋅≥+ ① ,||2||2||||2||||ac ad d c a d d c a d d c =⋅=⋅≥+ ② 又 2||2||||2||||4=⋅=⋅≥+a c c a a c c a ac c a ③ 由①，②，③式，得4)||||2( ||2||2||||||||≥+=+≥+++ac c a a c c a ad d c c b b a 说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法例3 已知|a |＜1,|b |＜1,求证|1|abb a ++＜1 证明：|1|ab b a ++＜122)1()(ab b a ++⇔＜1 .0)1)(1(012122222222222>--⇔>+--⇔++<++⇔b a b a b a b a ab b ab a 由|a |＜1,|b |＜1,可知（1－a 2）(1－b 2)＞0成立，所以 |1|abb a ++＜1 说明：此题运用了|x |＜a ⇔x 2＜a 2这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性例4 设|a |<1, |b |<1 求证|a +b |+|a -b |<2证明：当a +b 与a -b 同号时，|a +b |+|a -b |=|a +b +a -b |=2|a |<2当a +b 与a -b 异号时，|a +b |+|a -b |=|a +b -(a -b )|=2|b |<2∴|a +b |+|a -b |<2例5 已知21)(x x f += 当a ≠b 时 求证：|||)()(|b a b f a f -<- 证法一：1111|11||)()(|222222+++--+=+-+=-b a b a b a b f a f|||||)(||||))((|11||222222b a b a b a b a b a b a b a b a +-+=+-+<+++-= |||||||||)||(|b a b a b a b a -=+-+≤ 证法二：（构造法）如图21)(a a f OA +==，f OB =||||b a AB -=，由三角形两边之差小于第三边得|||)()(|b a b f a f -<-四、课堂练习：已知：|x －1|≤1,求证：（1）|2x ＋3|≤7; (2)|x 2－1|≤3证明：（1）∵|2x ＋3|=|2(x －1)＋5|≤2|x －1|＋5≤2＋5=7(2)|x 2－1|=|(x ＋1)(x －1)|=|(x －1)[(x －1)＋2]|≤|x －1||(x －1)＋2|≤|x －1|＋2≤1＋2=3五、小结 ：通过本节学习，要求大家理解含有绝对值不等式的性质，并能够简单的应用，同时认识证明不等式的方法的灵活性、多样性六、课后作业： 1:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε;(3)已知|h |<c ε, c <|x | (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε 分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n |=|a |n ,|b a |=ba 等证明:(1)证法1:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b |∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b |证法2:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立故(|a |+|b |)2≥|a +b |2又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0，所以|a |+|b |≥|a +b |, 即|a +b |≤|a |+|b |(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)，∴0≤|hk |＝|h |·|k |<ε·ε=ε(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε,∴c h x 11<⋅·c ε,即|xh |<ε 2:|x +x1|≥2(x ≠0) 分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1| 证法一:∵x 与x 1同号,∴|x +x1|=|x |+x 1∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,即|x +x 1|≥2 证法二:当x >0时,x +x1≥2x x 1⋅=2 当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-xx x x x ∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2 即|x +x1|≥2 方法点拨:不少同学这样解: 因为|x +x 1|≤|x |+x 1,又|x |+x 1≥2xx 1⋅=2,所以|x +x 1|≥2 学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的 3:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证: (1)|(A +B )-(a +b )|<ε；(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会证明:因为|A -a |<2ε,|B -b 2所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε 即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
不等式练习题及讲解高中答案
不等式练习题及讲解高中答案### 不等式练习题及讲解#### 一、基础不等式练习题1. 题目一：若 \( a, b, c \) 均为正数，证明不等式 \( a + b\geq 2\sqrt{ab} \) 成立。
2. 题目二：已知 \( x \) 和 \( y \) 均为实数，且 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求证 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
3. 题目三：若 \( a, b \) 均为正整数，证明 \( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
4. 题目四：对于任意实数 \( x \)，证明 \( \frac{x^2}{2} +\frac{1}{2x^2} \geq 1 \)。
5. 题目五：若 \( x, y, z \) 均为正数，证明 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{xy + yz + zx} \)。
#### 二、不等式练习题讲解题目一讲解：利用算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：\[ a + b \geq 2\sqrt{ab} \]这是因为对于任意非负实数 \( a \) 和 \( b \)，它们的算术平均数总是大于或等于它们的几何平均数。
题目二讲解：由于 \( x^2 + y^2 = 1 \)，我们有 \( (x + y)^2 \leq 2(x^2 +y^2) = 2 \)，从而 \( x + y \leq \sqrt{2} \)。
题目三讲解：同样使用AM-GM不等式：\[ a^2 + b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2} = 2ab \]当且仅当 \( a = b \) 时，等号成立。
题目四讲解：利用AM-GM不等式：\[ \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} \geq 2\sqrt{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{2x^2}} = 1 \]等号成立条件是 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时基本不等式学案含解析新人教A版必修第一册
2．2 基本不等式第1课时 基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明． [难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点 两个不等式[填一填]1．重要不等式：∀a ,b ∈R ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立．2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式ab ≤a ＋b2的一种几何解释,请你补充完整． 如图所示,AB 为⊙O 的直径,AC ＝a ,CB ＝b ,过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于D ,连接OD ,AD ,BD .(1)由射影定理可知,CD ＝ab ,而OD ＝a ＋b2；(2)因为OD ≥CD ,所以a ＋b2≥ab 当且仅当C 与O 重合,即a ＝b 时,等号成立；(3)基本不等式ab ≤a ＋b2的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数,否则不成立． (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R .类型一 用基本不等式比较大小[例1] 若0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,试找出a ＋b ,a 2＋b 2,2ab ,2ab 中的最大者． [解] ∵0<a <1,0<b <1,且a ≠b ,∴a ＋b >2ab ,a 2＋b 2>2ab ,∴四个数中最大的应从a ＋b ,a 2＋b 2中选择． 而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1), ∵0<a <1,0<b <1,∴a (a －1)<0,b (b －1)<0, ∴a 2＋b 2－(a ＋b )<0,即a 2＋b 2<a ＋b , ∴a ＋b 最大．利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质.(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0.[变式训练1] (1)已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：对于A,当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ,所以A 错误；对于B,C,ab >0只能说明a ,b 同号,当a ,b 都小于0时,B,C 错误；对于D,因为ab >0,所以b a >0,a b >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ,即b a ＋ab≥2成立．(2)已知a ,b 是不相等的正数,x ＝a ＋b2,y ＝a ＋b ,试比较x ,y 的大小．解：a ,b 是不相等的正数,由x ＝a ＋b 2得x 2＝a ＋b ＋2ab 2<a ＋b ＋a ＋b2＝a ＋b ,又∵y ＝a ＋b ,即y 2＝a ＋b ,∴x 2<y 2,即x <y . 类型二 用基本不等式证明不等式[例2] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0.∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项1．利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．3．解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式．[变式训练2] 已知a ,b ,c 为正数,且a ＋b ＋c ＝1,证明：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab ≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①③④均可以．2．已知x >0,y >0,且2x ＋1y ＝1,若x ＋2y >m 恒成立,则实数m 的取值范围是( D )A ．{m |m <6}B ．{m |m ≤6}C ．{m |m ≤8}D ．{m |m <8}解析：本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8(当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立),所以x ＋2y >m 恒成立,只需(x ＋2y )min >m .所以m <8.故选D.3．设b >a >0,且a ＋b ＝1,则四个数12,2ab ,a 2＋b 2,b 中最大的是( A )A ．bB ．a 2＋b 2C ．2abD.12解析：因为b >a >0,所以a 2＋b 2>2ab .又因为a ＋b ＝1,所以b >12.又b ＝b (b ＋a )＝b 2＋ab >b 2＋a 2,所以b 最大,故选A.4．若a >0,b >0,a ＋b ＝2,则下列不等式对一切满足条件的a ,b 恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a >0,b >0,a ＋b ＝2,所以ab ≤(a ＋b 2)2＝1,所以①恒成立； a ＋b ≤2(a )2＋(b )22＝2,所以②不恒成立； a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2,所以③恒成立；当a ＝b ＝1时,a 3＋b 3＝2<3,所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )(1a ＋1b )＝12(2＋a b ＋ba )≥2, 所以⑤恒成立． 5．已知x ,y 都是正数． 求证：(1)y x ＋xy≥2；(2)(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3. 证明：(1)∵x ,y 都是正数,∴x y >0,yx >0,∴y x ＋x y≥2y x ·x y ＝2,即y x ＋x y≥2, 当且仅当x ＝y 时,等号成立． (2)∵x ,y 都是正数,∴x ＋y ≥2xy >0, x 2＋y 2≥2x 2y 2>0,x 3＋y 3≥2x 3y 3>0.∴(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥2xy ·2x 2y 2·2x 3y 3＝8x 3y 3,即(x ＋y )(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3, 当且仅当x ＝y 时,等号成立．——本课须掌握的两大问题1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时,a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时,也有a ＝b .2．在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式．。
高中不等式试题及答案解析
高中不等式试题及答案解析试题一：已知不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \)，其中 \( a < 0 \)，求 x 的取值范围。
答案解析：由于 \( a < 0 \)，二次函数 \( ax^2 + bx + c \) 的图像是一个开口向下的抛物线。
不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 表示函数值在 x 轴上方的区域。
要找到 x 的取值范围，我们需要找到抛物线的根，即解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。
设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，根据韦达定理，我们有：\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]由于 \( a < 0 \)，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 必定异号，这意味着\( x_1 x_2 < 0 \)。
因此，不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集是 \( x \in (x_1, x_2) \)。
试题二：若 \( x > 0 \)，求不等式 \( \frac{1}{x} + x \geq 2 \) 成立的条件。
答案解析：我们可以使用 AM-GM 不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来解决这个问题。
对于任意正数 \( a \) 和 \( b \)，有：\[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]令 \( a = \frac{1}{x} \) 和 \( b = x \)，我们得到：\[ \frac{\frac{1}{x} + x}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{x} \cdot x} \]\[ \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} \geq 1 \]两边乘以 2，得到：\[ \frac{1}{x} + x \geq 2 \]当且仅当 \( a = b \) 时，AM-GM 不等式取等号，即 \( \frac{1}{x} = x \)。
高中数学不等式性质专项训练(含答案)
高中数学不等式性质专项训练1．设a,b,c,d ∈R,若a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有 ( )A. ad=bcB. ad<bcC. ad>bcD. ad≤bc2．若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c 的取值范围是（ ） A.B.C.D. 3．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b <D ．若0a b <<，则b a a b> 4．设11a b >>>-，则下列不等式中一定成立的是C. 2a b >D. 22a b > 5．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是 （ ）A ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D 6．设a,b,c,d ∈(0,+∞),若a+d=b+c 且|a-d|<|b-c|,则有( )(A)ad=bc (B)ad<bc(C)ad>bc (D)ad ≤bc7．已知a,b,c 满足c<b<a 且ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( )8．若实数x ，y 满足不等式xy ＞1，x ＋y≥－2，则( )A ．x ＞0，y ＞0B ．x ＜0，y ＜0C ．x ＞0，y ＜0D ．x ＜0，y ＞09．若实数a,b 满足a+b<0,则( )(A)a,b 都小于0(B)a,b 都大于0(C)a,b 中至少有一个大于0(D)a,b 中至少有一个小于010．如果a<0,b<0,则必有( )(A)a 3+b 3≥ab 2+a 2b (B)a 3+b 3≤ab 2+a 2b(C)a 3+b 3>ab 2+a 2b (D)a 3+b 3<ab 2+a 2b11．已知a ，b ，c 是实数，给出下列四个命题：①若a >a >b ，且k ∈N *，则a k >b k ；③若ac 2>bc 2，则a >b ；④若c >a >b >0的序号是( )．A ．①④B ．①②④C ．③④D ．②③12．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是( )A ．a c b c +≥-B ．2()0a b c -≥C ．ac bc > 13．已知1(,1)x e -∈，（ ）A ．c b a >>B 14．设,,a b c 都是正数， ( )．A ．M N ≥B ．M N <C ．M N =D ．M N ≤15．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x a 的取值范围是A ．a ≥0B ．a ≥－2C ．aD ．a ≥－316．已知,则ab 应满足的条件是 . 17．已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,则(a-b)c 2的取值范围是 .18．已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式序号为________．19．若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ．20．已知a≥b>0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b.21．已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b ∈M 时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.22．（设函数f(x)＝｜x ＋a ｜－｜x －4｜，x ∈R（1）当a=1时，解不等式f （x ）＜2；（2）若关于x 的不等式f(x)≤5－｜a ＋l ｜恒成立，求实数a 的取值范围．23，且(2)0f x -≤的解集为[3,1]-.（1）求m 的值；（2）已知c b a ,,都是正数，且a b c m ++=，求证：答案第1页，总1页 参考答案1．C2．D3．B4．A5．B6．C7．C8．A9．D10．B11．C12．D13．B14．A15．C16．ab>0或ab<-117．(0,8)18．①②③1920．见解析21．（1）{}22|<<-=x x M ；（2）证明过程详见解析.22．（1（2）50a -≤≤. 23．（1）2；（2）参考解析。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
高中不等式练习题及答案
高中不等式练习题及答案高中不等式练习题及答案在高中数学学习中，不等式是一个重要的概念和工具。
不等式是数学中描述数值大小关系的一种方式，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在学习不等式的过程中，练习题是必不可少的，下面我将为大家提供一些高中不等式练习题及其答案。
1. 练习题一：解不等式：2x - 5 < 3x + 2解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < 2 + 5化简得：-x < 7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > -72. 练习题二：解不等式：3(x - 2) > 2(x + 3)解答：先进行分配律的运算，得到：3x - 6 > 2x + 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：3x - 2x > 6 + 6化简得：x > 123. 练习题三：解不等式：4x + 5 > 3 - 2x解答：将变量移到一边，常数移到另一边，得到：4x + 2x > 3 - 5化简得：6x > -2由于系数为正数，所以不等号方向不需要翻转，得到：x > -1/34. 练习题四：解不等式：2x - 3 > 5x + 1解答：将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 5x > 1 + 3化简得：-3x > 4由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x < -4/35. 练习题五：解不等式：2x + 1 < 3(x - 2)解答：先进行分配律的运算，得到：2x + 1 < 3x - 6将变量移到一边，常数移到另一边，得到：2x - 3x < -6 - 1化简得：-x < -7由于系数为负数，所以不等号方向需要翻转，得到：x > 7通过以上的练习题，我们可以看到解不等式的基本步骤。
首先，将不等式中的变量移到一边，常数移到另一边；然后，化简不等式；最后，根据系数的正负确定不等号的方向。
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【课时训练】第33节 二元一次不等式(组)与简单的线性
规划问题
一、选择题
1．(江西七校质检)若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，
y ≥0，则3x ＋5y 的取值范
围是( )
A ．[－5,3]
B ．[3,5]
C ．[－3,3]
D ．[－3,5]
【答案】D
【解析】做出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3.故选D.
2．(济南模拟)已知变量x ,y
满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥1，x ＋y ≥1，
1＜x ≤a ，
目标函数z ＝x ＋2y
的最大值为10,则实数a 的值为( )
A ．2
B ．8
3 C ．
4 D ．8
【答案】C
【解析】依据线性约束条件做出可行域如图中阴影部分所示,当目标函数经过点A (a ,a －1)时取得最大值10,所以a ＋2(a －1)＝10,解得a ＝4.故选C.
3．(四川绵阳二诊)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于
( )
A.32
B ．23
C ．43
D ．34
【答案】C
【解析】做出平面区域如图中阴影部分所示．
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，解得A (1,1)．易得B (0,4),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43,|BC |＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.
4．(安徽蚌埠二模)实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥a ，y ≥x ，
x ＋y ≤2，(a ＜1)且z ＝2x ＋y 的最大值是
最小值的4倍,则a 的值是( )
A.2
11
B ．14
C
．12 D ．11
2
【答案】B
【解析】做出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,平移直线2x ＋y ＝0,可知在点A (a ,a )处z 取最小值,即z m i n ＝3a ,在点B (1,1)处z 取最大值,即z m a x ＝3,所以12a ＝3,即a ＝1
4.
5．(江苏南京模拟)已知点P
的坐标(x ,y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，
过点P 的直线l
与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值是( )
A ．2 6
B ．4
C ． 6
D ．2
【答案】B
【解析】根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示．设点P 到圆心的距离为d ,则求最短弦长等价于求到圆心距离d 最大的点,即为图中的P 点,其坐标为(1,3),则d ＝1＋32＝10,此时|AB |m i n ＝214－10＝4.故选B.
6．(沈阳质量监测)实数x ,y
满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ＋2，x ＋y －2≥0，
x ≤2，
则z ＝|x －y |的最大值是
( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】B
【解析】依题意画出可行域如图中阴影部分所示．令m ＝y －x ,则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距,由图知在点A (2,6)处m 取最大值4,在C (2,0)处取最小值－2,所以m ∈[－2,4],所以z 的最大值是4.故选B.
7．(烟台模拟)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0所
表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )
A ．2
B ．1
C ．－
1
3 D ．－12
【答案】C
【解析】如图所示,⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
所表示的平面区域为图中的阴影部分．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0
得A (3,－1)． 当点M 与A 重合时,OM 的斜率最小,k OM ＝－1
3.故选C. 8．(河南八市质检)已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，
－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝
6x ＋2y 的最小值是10,则z 的最大值是( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．26
【答案】A
【解析】由z ＝6x ＋2y ,得y ＝－3x ＋z
2,做出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示,由图可知当直线y ＝－3x ＋z
2经过点C 时,直线的纵截
距最小,即z ＝6x ＋2y 取得最小值10,由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－1，
将其代入
直线－2x ＋y ＋c ＝0,得c ＝5,即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0,平移直线3x ＋y ＝0,当
直线经过点D 时,直线的纵截距最大,此时z 取最大值,由⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋5＝0，
x ＋y ＝4，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝1，
即D (3,1),将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ,得z m a x ＝6×3＋2＝20.故选A.
9．(吉安质检)若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤2，|x |－y ＋1≤0，
则z ＝x ＋y
x －2的最小值为( )
A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－5
【答案】B
【解析】做出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,目标函数z ＝x ＋y x
－2＝x －2＋y ＋2x －2＝1＋y ＋2x －2,设k ＝y ＋2
x －2
,则k 的几何意义为区域内的点与定点D (2,－2)连线的斜率,数形结合可知,直线AD 的斜率最小,由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2，x －y ＋1＝0，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝2，
即A (1,2),此时直线AD 的斜率k AD ＝2＋2
1－2＝－4,则z m i n ＝1＋k AD ＝1－4
＝－3.故选B.
10．(贵阳监测)已知O 是坐标原点,点A 的坐标为(－1,2)．若点M (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，x ≤1，
y ≤2
上的一个动点,则OA →·OM →
的取值范围是( )
A ．[－1,0]
B ．[0,1]
C ．[1,3]
D ．[1,4]
【答案】D
【解析】做出点M (x ,y )满足的平面区域,如图中阴影部分所示,易知当点M 在点C (0,2)时,OA →·OM →取得最大值,即为(－1)×0＋2×2＝4,当点M 在点B (1,1)时,OA →·OM →取得最小值,即为(－1)×1＋2×1＝1,所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]．故选D.
二、填空题
11．(河北唐山摸底)已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －
4y ＋8的最小值为________．
【答案】9
2
【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ,y 所满足的不等式组做出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又|2＋2－1|2
＝3 22,所以w m i n ＝92.
12．(石家庄模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，
0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三
角形及其内部,则实数k 的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)．做出可行域如下图阴影部分所示,要使可行域为一个锐角三角形及其内部,需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间,即k ∈(0,1)．
三、解答题
13．(安徽淮南一模)画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3表示的平面区域,并回答
下列问题：
(1)指出x ,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点． 【解】(1)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－52，3, y ∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
⎩⎨⎧
－x ≤y ≤x ＋5，
－5
2≤x ≤3，且x ∈Z ，
当x＝3时,－3≤y≤8,有12个整点;
当x＝2时,－2≤y≤7,有10个整点;
当x＝1时,－1≤y≤6,有8个整点;
当x＝0时,0≤y≤5,有6个整点;
当x＝－1时,1≤y≤4,有4个整点;
当x＝－2时,2≤y≤3,有2个整点;
∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．。