第8章 梁的位移分析与刚度设计资料

位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着
密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处 有位移；有位移也不一定有变形。
这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，
而且还与杆件所受的约束有关。
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在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运
算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。
若材料的应力-应变关系满足胡克定律，且在弹性范围
内加载，则位移与力(均为广义的)之间均存在线性关 系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以 相互叠加。
本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁
位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工 程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。
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弯矩的符号与前面第五章的规定一致，与坐标选取无关。
即M(x)为+，则梁的曲线向下凸。
M(x)为-，则梁的曲线向上凸。
M
M
1 M (x)
(x) EI
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ω
ω
M 0
x
d
2 w( x) dx2
w'' (x)
0
x
M 0
x
d 2w(x) 0
dx2
x
ω
M 0
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d 2w(x) 0
1M
EI
其中，ρ和M都是横截面位置x的函数，EI为横截面的 弯曲刚度。
(x) M M (x)
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8.1.2 梁的挠度与转角
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移 (Displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度(deflection)，用ω表示
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失效(failure)或破坏
工程构件在外力作用下丧失正常功能的现象。 失效类型：
(1) 强度失效(failure by lost strength) 指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。
(2) 刚度失效(failure by lost rigidity) 指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。
应用挠度曲线的曲率与弯矩和弯曲刚度之间的关系 式，以及数学中关于曲线的曲率公式有
1M
EI
1
1
w'' w'
2
3 2
在小变形条件下，由于w' 2 1，故被忽略。
d 2w(x) M (x)
dx2
EI
梁的挠曲线近似微分方程，又 称为Euler-Bernoulli方程。
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dw tan
dx
tan
+
所以我们得到了挠度ω和转角θ之间的微分关系
dw(x)
y
dx
挠度方程(deflection equation) Z
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8.1.3 梁的位移与约束密切相关
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约束不同导 致梁的位移 不相同。
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8.2 小挠度微分方程及其积分
dx2
ω
M 0
d 2w(x) w'' (x) 0 dx2
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通常选取的坐标：
x
ω
M 0
d
2 w( x) dx2
0
根据弯矩的正负号规则和上面所选取的坐标系，弯 矩和挠度二阶导数总是不一致的，所以在公式右边应该 取负号。
d
2 w( x) dx2
M (x) EI
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对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方 程M(x)，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠 度方程与转角方程为:
(x) 1
f '' (x)
f
' ( x)
2
3 2
1
w'' (x) w'(x) 2
3 2
''
1
d 2w(x)
(x)
dx2
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1 M (x)
(x) EI
d 2w(x) M (x)
dx2
EI
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1 d 2w(x)
(x)
dx2
挠度符号按照数学中的符号规定，与坐标系的选取有关。
第八章 梁的位移分析与刚度设计
主讲教师：毛卫国 单 位：材料与光电物理学院
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在第7章，我们主要学习了梁的纯弯曲、横向弯曲和 斜弯曲中正应力与外加力偶的关系，分析了正应力的分 布情况，如何判别最大正应力的位置，进而如何判断梁 的强度问题。
x
Mz Iz
y
max
另外，我们知道，当梁受到横向载荷或外加力偶时，其 中不仅产生正应力，而且在梁的不同位置处其变形情况 也不同。
(3) 稳定失效(failure by lost stability) 指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。
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研究的意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形
和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都 有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能， 即发生刚度失效。 尤其是在高精密的仪器、器械中对于材料的弹性变形控制尤为重要。
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度
(slope)，用θ表示。
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移
(horizontal displacement)，用u表示。
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度ω相比为高
阶小量，故通常不予考虑水平位移u 。
所以我们主要关注挠度ω和转角θ之间的关系
符号问题：
挠度ω和转角θ的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正向的挠度ω为正+，反之为负； 将x轴绕坐标原点旋转90o与y轴重合，转角θ和它的转向
相同为正，反之为负。 弯矩M(x)的正负号确定依旧与第5章的符号规则一样。
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补充知识
曲率的定义：
w (x) 1
我们要研究材料的变形和位移之间的关系。 位移分析也是解决超静定问题与振动问题的基础。
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上一章中已经提到，如果忽略剪力FQ的影响，在平面弯 曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面 变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由 于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变， 这种改变 称为位移(Displacement)。
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8.1 基本概念
8.1.1 梁弯曲后的挠度曲线
若在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一条连续
光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线(elastic curve)
或挠度曲线(deflection curve)，简称弹性线或挠曲线。
2020，弹性范围内的挠度曲线在 一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存 在下列关系