梁的位移分析与刚度设计
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算强度是指梁抵抗外力的能力。
梁的强度计算一般包括了两个方面：弯曲强度和剪切强度。
其中，弯曲强度是指梁在受到弯曲作用时的承载能力，剪切强度是指梁在受到剪切力作用时的承载能力。
弯曲强度的计算通常基于弹性理论，其中最常用的方法是根据梁的截面形状和材料的弹性模量来计算梁的截面抵抗力矩。
弹性模量是材料的一种力学性质，它衡量了材料在受力后产生的应变程度。
根据梁的截面形状和边界条件，可以计算出梁在弯曲作用下的最大应力和最大应变。
将最大应力与材料的弯曲强度进行比较，就可以判断梁是否满足设计要求。
剪切强度的计算也是基于弹性理论。
梁在受到剪切力作用时，梁内部会发生剪切变形。
剪切强度的计算包括两个方面：剪切应力和剪切变形。
剪切应力是指剪切力对梁截面的作用，剪切变形是指梁截面产生的剪切位移。
剪切强度的计算要求同时满足两个条件：剪切应力小于材料的剪切强度，剪切变形小于允许的变形限制。
刚度是指梁在受到力作用后的变形程度。
梁的刚度决定了梁的承载能力和结构的稳定性。
刚度的计算通常考虑梁的弹性变形和塑性变形两个方面。
弹性变形是指梁在小荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的截面形状、材料的弹性模量和梁的长度等因素。
塑性变形是指梁在大荷载下的弯曲变形，主要涉及梁的屈服强度、截面形状和材料的塑性性质等因素。
根据梁的受力情况，可以计算出梁的弯曲刚度和剪切刚度。
弯曲刚度表示梁在受到弯曲作用时的抵抗变形能力，剪切刚度表示梁在受到剪切力作用时的抵抗变形能力。
在梁的强度和刚度计算中，需要根据具体的工程要求和设计规范进行。
梁的截面形状、材料的性质和受力情况都会对强度和刚度的计算结果产生影响。
因此，工程师需要根据具体情况选择适当的计算方法和模型进行计算。
同时，还需要进行合理的验算和对比，确保梁的设计满足强度和刚度的要求。
结构位移和刚度—梁的刚度计算(建筑力学)
二、用积分法求梁的变形
1.挠曲线近似微分方程
y( x)
M (x) EI
2.用积分法求变形 EI (x) M (x)dx C1
三、用叠加法求梁的变形
EIy(x) [ M (x)dx C1]dx C2
叠加法—梁截面的总变形，就等于各个荷载单独作用时产生变形的代数和。
四、梁的刚度计算 ymax [ f ]
梁的刚度计算
主要内容
梁的刚度条件和设计准则 梁的刚度计算 梁的刚度计算工程实例
梁的刚度计算
➢ 如果梁的弯曲变形过大，即使强度满足要求，也不能正常工作。例如：房 屋的楼面板或者梁长时间受较大荷载作用，导致变形过大，会造成抹灰面 出现裂缝，工业厂房的吊车梁变形过大，会影响吊车梁的正常使用等。设 计梁时，除了进行强度计算外，还应考虑进行刚度计算，需要把梁的最大 挠度和最大转角限制在一定的允许范围内。
l
l
课后作业：《建筑力学练习册》 练习二十五
3.6 4 4
3.6kN m
2、按正应力强度设计。查强度准则
3.6kNm
max
M max Wz
M max 0.1d 3
[ ]
得：
d3
M max
3
3.6 106 mm 153.3mm
0.1[ ] 0.110
取d=160mm
梁的刚度计算
3、按梁的刚度准则校核。
查变形表得
ymax
Fl 3 48EI
为:
ymax [ f ]
l
l
式中 ymax 为最大相对挠度，[ f ] 为许用相对挠度，其值可
l
l
根据梁的工作情况及要求查阅有关设计手册。土建工程中的许
用相对挠度值 [ f ] 常限制在
梁的变形与刚度计算
查表，得
y
C
y
4
Cq
y
Cm
l
q
A
2 5ql ml 384EI 16 EI
()
Bq
θA θAq θAm
3 ml ql 24 EI 3EI
Aq
m
A
C y cq
(
)
Bm
Am
C ycm
θB θBq θBm
3 ml ql 24 EI 6 EI
(
2
3
ml 16 EI
ml 3EI ml 3EI 一、梁的刚度条件
w
max
L
w L
max
1 1 w (对土建工程: ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[w/L]称为许用挠跨比。通常依此 条件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
梁的变形及刚度计算 一、基本概念（挠度、转角、挠曲线） 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y 平面为纵 向对称平面
x
A
y
B
一、基本概念（挠度、转角、挠曲线）
度量梁变形后横截面位移的两个基本量 1、挠度（ y）: 横截面形心 C (即轴线上的点)在垂直于 x
例题求图示梁截面B的挠度
q A EIz
a C
B
L
解法1：为了利用附录IV表中的结果，可将原荷载视 为图(1)和图(2)两种情况的叠加
q A EIz
a C
B
L L c q (2) B
q A c L (1) B A
a
q
张弦梁结构刚度参数分析与优化设计
张弦梁结构刚度参数分析与优化设计蒋友宝;黄星星【摘要】Stiffness analysis and optimization were performed for beam string structure ( BSS ) with the finite element method since it lacks sufficient discussion on parameter analysis and optimization on stiffness in current studies. Multiple models were built by varying the values of the major parame-ters ( e. g. ratio of the bending stiffness of upper chord to the axial stiffness of lower chord, ratio of the axial stiffness of upper chord to that of lower chord, height-to-span ratio and cable area of lower chord) of a beam string structure. The corresponding analysis was performed, and the effects of the major parameters on the global vertical stiffness and the suggestion on stiffness optimization were ob-tained. The results show that, within the mentioned ranges of the parameters, the stiffness of BSS is nearly proportion to its lower chord area when the height-to-span ratio, ratio of axial stiffness of up-per chord to that of lower chord and slenderness of upper chord are given;that it is recommended to adopt a large height-to-span ratio, a large sag-to-span ratio of cable and a small axial stiffness ratio of upper chord to lower chord for BSS design in order to obtain a large stiffness based on economic optimization.%针对现有关于张弦梁结构基于刚度的参数分析和优化研究较为缺乏的不足，采用有限元方法对此问题进行研究。
混凝土梁线刚度的计算
混凝土梁线刚度的计算混凝土梁是建筑结构中常见的构件之一，用于承载和传递荷载。
在设计梁的过程中，计算梁的线刚度是非常重要的一步。
线刚度决定了梁的变形和位移情况，对于结构的安全性和稳定性有着重要影响。
混凝土梁的线刚度计算需要考虑多个因素，包括梁的几何形状、材料性质和截面特性等。
下面将从这些方面逐步介绍混凝土梁线刚度的计算方法。
1. 梁的几何形状混凝土梁的几何形状包括梁的长度、宽度和高度等。
梁的长度是一个关键参数，影响梁的刚度。
通常情况下，梁的长度越大，梁的刚度越小；梁的宽度和高度也会对梁的刚度产生影响，一般来说，梁的截面越大，梁的刚度越高。
2. 材料性质混凝土梁的材料性质主要包括混凝土的弹性模量和钢筋的弹性模量。
混凝土的弹性模量是一个描述混凝土刚度的参数，通常通过试验来确定。
钢筋的弹性模量也是一个重要的参数，它决定了钢筋对梁刚度的贡献程度。
在计算线刚度时，需要考虑混凝土和钢筋的弹性模量。
3. 梁的截面特性混凝土梁的截面特性是计算梁线刚度的关键因素之一。
梁的截面形状和钢筋布置方式会影响梁的刚度。
常见的梁截面形状包括矩形截面、T形截面和I形截面等。
不同截面形状的梁具有不同的刚度。
此外，钢筋的布置方式也会影响梁的刚度，通常在梁底部设置纵向钢筋，以增加梁的刚度。
在计算混凝土梁的线刚度时，可以使用简化的计算方法。
一种常用的方法是根据梁的几何形状和截面特性，计算梁的截面面积和抵抗力矩。
然后，根据梁的材料性质和截面特性，计算梁的刚度系数。
最后，根据梁的长度和刚度系数，计算梁的线刚度。
需要注意的是，混凝土梁的线刚度计算只是设计过程中的一部分，还需要考虑其他因素，如荷载、变形和位移限值等。
在进行线刚度计算时，还需要遵循相关的设计规范和标准，以确保结构的安全性和稳定性。
混凝土梁线刚度的计算是建筑结构设计中的重要一环。
通过考虑梁的几何形状、材料性质和截面特性等因素，可以计算出梁的线刚度。
线刚度的计算结果将影响梁的变形和位移情况，对于结构的安全性和稳定性有着重要影响。
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
材料力学第五章梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
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第七章 弯 曲 变 形1基本概念及知识要点1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。
1.2 挠度和转角梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。
以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。
梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。
梁的弯曲变形用两个基本量来度量：1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。
2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。
逆时针转动为正，顺时针转动为负。
挠度和转角之间有如下关系：()dw x dxθ=可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。
1.3 挠曲线近似微分方程梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为1()()()M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。
在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为22()d w M x dx EI= 1.4 梁变形的求解1 直接积分法对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程()()()dw x M x x dx C dx EI θ==+⎰ （a ） 再积分一次，得挠度方程()()M x w x dxdx Cx D EI=++⎰⎰（b ） 其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。
2 叠加法在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。
1.5 梁的刚度条件梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件max max[][]w w θθ≤≤式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。
1.6 简单超静定梁由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。
求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤：（1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统； （2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程； （3）由变形协调方程求解未知的约束反力。
多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。
1.7 提高梁刚度的措施从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。
故提高梁刚度的措施为：（1）改善结构形式，减小弯矩M ； （2）增加支承，减小跨度l ；（3）选用合适的材料，增加弹性模量E ：（4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。
2 重点与难点及解析方法2.1挠曲线近似微分方程梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EIx M x )()(1=ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。
解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的，求解梁的弯曲变形时应特别注意。
2.2梁变形的求解1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。
解析方法：应用积分法时，坐标原点一般取在梁的左端，x 轴向右为正，w 轴向上为正。
在列出各段的弯矩方程后，分别对各段挠曲线微分方程进行二次积分，利用边界条件及分界点处的光滑连续性求解各积分常数，即可得到梁各段的转角方程和挠度方程。
2 叠加法在计算多载荷或变截面梁指定截面的变形值时，采用叠加法较为方便。
应用叠加法的技巧性较强，需要特别注意全面考虑梁的变形。
解析方法：叠加法是利用简单静定梁在基本载荷作用下的位移，求解一般梁在复杂载荷作用下的位移，可分为载荷叠加和变形叠加两种： （1） 载荷叠加：适用于等截面直梁同时受几个载荷作用。
（2）变形叠加：用于较复杂的梁、弹性支承梁及刚架等。
求解时把梁（刚架）分解为几段简单静定梁，各段梁除受本段梁的载荷外，还应考虑其它段梁所受载荷的影响；不但要考虑各段梁本身的变形，还应考虑相邻梁段的变形（包括弹性支承的变形）所引起该段梁的刚性位移。
3 典型问题解析例题7.1：求图7－1所示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求max w 和maxθ，梁的抗弯刚度EI 已知。
解：1 求约束反力，列弯矩方程梁的约束反力及所选坐标系如图所示。
因载荷在C 处不连续，应分两段列弯矩方程。
AC 段()20lx ≤≤ ()qlx x M 811= CB 段()l x l ≤≤2 ()2222181⎪⎭⎫⎝⎛--=l x q qlx x M2 建立挠曲线近似微分方程，并进行积分212118d w qlx dx EI = ()20l x ≤≤ （a 1）图7－12222111822d w l qlx q x dx EI ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()l x l≤≤2（a 2）()21111116dw x qlx C dx EI θ==+ （b 1） ()()322221112166dw l x qlx q x C dx EI θ⎡⎤==--+⎢⎥⎣⎦（b 2） ()31111148w x qlx C x D EI =++ （c 1） ()()4322211124824l w x qlx q x C x D EI⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦（c 2） 3 确定积分常数 根据光滑连续条件2l x =处，21θθ=，12w w =求得21C C =，21D D =根据边界条件0=x ，10w =，求得021==D Dl x =，20w =，求得EIql C C 3847321-==将求得的4个积分常数代回()1b 、()2b 、()1c 、()2c ，求得两段梁的转角和挠度方程。
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32138471611ql qlx EI x θ （d 1） ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=332238472611611ql l x q qlx EI x θ （d 2） ()33111748384w x qlx ql x EI ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（e 1） ()()4332111724824384l w x qlx q x ql x EI⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦（e 2） 4 求最大转角和最大挠度将0=x 代入式()1d ，得EIql A 38473-=θ顺时针）将l x =代入式()2d ，得EI ql B 38493=θ（逆时针）EIql 38493max=∴θ，出现在支座B 处。
令()02=x θ，可解得挠度为最大值截面的位置，进而利用()2w x 求出最大挠度值。
但对简支梁，通常以跨中截面的挠度近似作为最大挠度。
()4max52768ql lw w EI≈=解题指导：用重积分法分段求梁的挠曲线方程时，列弯矩方程必须以同一点为起点；积分过程中，括号应闭合。
上两个条件可以保证积分常数例题7.2：承受集中力偶的简支梁如图7－2（a ）所示。
若M a b l 、、、及y EI 等均为已知。
求梁的挠曲线方程，并确定加力点的挠度。
图7－2解：1 建立Owx 坐标系，分段列弯矩方程将梁分为AC 和BC 两段，如图7－2（b ）所示，即 0x a ≤≤和0x l ≤≤两段。
AC 段，如图7－2（c ）所示，根据平衡条件有0x a ≤≤ 1()M M x x l=(a) CB 段，如图7－2（d ）所示，由平衡条件得到0x l ≤≤ 11()M M x x M l=- (b) 3 建立挠曲线近似微分方程，并进行积分0x a ≤≤：2112d 1d y w M x x EI l= 21111()2y M x x C EI lθ=+ (c)311111()6y M w x x C x D EI l=++ (d)a x l ≤≤：22112d 1()d y w M x M x EI l=- 212121()()2y M x x M x C EI lθ=-+ (e) 32112221()()62y M M w x x x C x D EI l =-++ (f) 3 确定积分常数根据光滑连续性，12,()()x a a a θθ== 12,()()x a w a w a ==根据A 、B 处的约束条件，0,(0)0,()0x w x l w l ====以上几式联立解得2111132y y y M l M a M a C EI EI EI l =-+ 211232y y M l M a C EI EI l =+10D = 2122yM a D EI =-于是得到梁的挠度曲线方程为23111111()[()632y M M lM a w x x M a x EI l l=+-+ （0x a ≤≤）22321111121()[()]62322y M M M l M a M a w x x x x EI l l =-++-（a x l ≤≤）将x a =代人1()w x 或2()w x 表达式，得到加力点的挠度32112()()33C y M a la w w a a EI l ==+-221(23)3y M aa l al EI l=+- 例题7.3：外伸梁如图7－3（a ）所示，试用叠加法计算梁C 截面的挠度。
解：图示结构可看成悬臂梁及简支梁变形之和 1 首先刚化AB 段梁简化为图7－3（b ）所示悬臂梁，C 截面挠度查表挠度表得418C qa w EI=-2 再刚化CA 段梁简化为图7－3（c ）所示，AB 段为简支梁，CA 段为刚性段，将分布力静力等效到支座A ，得到一集中力qa 及集中力偶22qa，集中力作用在支座上，不会引起AB 段的变形。
集中力偶作用下，A 截面出现逆时针转角21223A qa a EIθ=-，引起刚性段CA 向下的位移 423C A qa w a EIθ==-，故C 截面的挠度()44412118324C C C qa qa w w w qa EI EI =+=--=-↓这种方法称为逐段刚化法，在梁的变形求解中，应用较多。
解题指导：载荷叠加时可以使用逐段刚化法，求解时把梁分解为几段简单静图7－3(a)(b)(c)定梁，先计算每一分段在载荷作用下产生的位移，各段梁除受本段梁的载荷外，还应考虑其它段梁所受载荷的影响；不但要考虑各段梁本身的变形，还应考虑相邻段梁的变形（包括弹性支承的变形）所引起该段梁的刚体位移。
然后将各分段产生的位移求和，即为所求位移。
例题7.4：图7－4（a ）所示之结构中，AB 梁一端为固定铰支，另一端则支承在一弹性刚架BCD 上，C 处为刚节点。
AB 梁中点受有集中力P F 作用．若P F a EI 、、均为已知。
求AB 梁中点的挠度。
图7－4解：AB 梁中点E 处的挠度包括两部分：一是由简支梁本身的弹性变形引起的1E w ，如图7－4（b ）所示。