第五章 三角形单元的有限元法
5、单元内任意点的应力列阵
{ } [ x y xy ]T
y
i m
（1-5）
·
j
6、几何方程
x
u v u v x , y , xy x y y x
将上式代入式(1-4），
u { } x y u y x
图1-2
i ]T
(i, j, m)
（1-10）
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序）， 共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
i T { } j [ui i u j j um m ] m (1-11）
（7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要 求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地 选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由 度数。
1 x y
2 3 2
x xy y
2 2 3
x x y xy y
x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4
（1-7）
x
E ( x y ) 2 1
式中 E、——弹性模量、泊松比。
上式可简写为
{ } [ D]{ }
其中
（1-8）
1 E [ D] 2 1 0
对 1 称 1 0 2
(1-9）
矩阵[D]称为弹性矩阵。对于平面应变问题，将式(1-9） 中的E换为
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
①、②、③、④单元的位移函数都是
u a1 a2 x a3 y
a4 a5 x a6 y
可以看出： 位移函数在单元内是连续的； 位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。 以③、④的边界26为例
5 6 5 6
③ ④
2y x 3 2
u6 u
6
③
u2 u2
u6
u
④
2 3
两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。
1 E ， 换为 2
1
。
{ } [ D]{ }
(1-8）
各种类型结构的弹性物理方程都可用式(1-8）描 述。但结构类型不同，力学性态 (应力分量、应变分 量)有区别， 弹性矩阵[D]的体积和元素是不同的。
5.3 位移函数和形函数
• 1、位移函数概念 由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而 必须事先设定位移函数。 “位移函数”也称 “位移 模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐 标的函数。 一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响 计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取位移函数 不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得 足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获 得相当好的精确度。这正是有限单元法具有的重要优 势之一。
式中
ai x j ym xm y j
bi y j ym
j
ci x j xm
m (i, j, m) (1-17）
i
式(1-17）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下 标，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情 况时，照此推理。式(1-17）表明： aj、bj、cj～am、 bm、cm是单元三个节点坐标的函数。
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A (1-16） 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
y vi
i
vm
m
um
v u j
vj uj x
·
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：
u a1 a2 x a3 y
a4 a5 x a6 y (1-12）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是 连续函数。 u v
第五章 三角形单元的有限元法
5.1 基本思想
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变 形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离 散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计 算精度和计算机能力来确定。
P
2
○
4
6
8
10
4
4
6 6
6
8
② ①
○
④ ③
3 5
⑥ ⑤
7
⑧ ⑦
9
④
⑥ ⑤
① ②
（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 （5）位移函数中必须包含单元的常应变。 （6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。 条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
用形函数把式(1-16）写成矩阵，有
u N i v 0
缩写为
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui v i 0 u j Nm v j um vm
{ f } [ N ]{ }
(1-20）
[N]为形函数矩阵，写成分块形式：
3
③
5 5 5
⑦ ⑧
7 7
1
单元、节点需编号 弹性悬臂板剖分与集合
5.2 基本力学量矩阵表示
1、单元表面或边界上任意点的表面力列阵qs
qsx {qs } [qsx qsy ]T qsy q
y
j
（1-1）
y
j
·
s
qV
i m m
·
x
i
x
2、单元内任意点的体积力列阵qV
y
m（7） j （1） i （2）
1 A 1 xj 2 1 xm
1
xi
yi yj ym
(1-15）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号 的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节 点作为起始节点i，则没有关系。
1 u [( ai bi x ci y)ui (a j b j x c j y)u j (am bm x cm y)u m ] 2A 同理 1 [( ai bi x ci y) i (a j b j x c j y) j (am bm x cm y) m ] 2A
u j a1 a2 x j a3 y j
um a1 a2 xm a3 ym
ui a1 a2 xi a3 yi
i a4 a5 xi a6 yi j a4 a5 x j a6 y j m a4 a5 xm a6 ym
(1-13）
从式(1-13）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为
1 a1 uj 2A um ui xi xj xm yi yj ym
1 a2 1 uj 2A 1 um
1 ui
yi yj ym
(1-14）
1 a3 1 xj 2A 1 xm
1积，有
x
x a2 , y y a5 , xy a3 a5 a2 a6
选取位移函数应考虑的问题
（1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中 有u和v，与此相应，有2个位移函数；
（2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y；
（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以 便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本 单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个 待定常数。
3、形函数
（1）形函数确定 形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的 u a a x a y a a x a y (1 12) 插值函数。
1 2 3 4 5 6
现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定 常数a1、a2、…、a6 。设节点i、j、m的坐标分别为 （xi、yi）、（ xj、yj ）、（ xm、ym ），节点位移分别 为（ui、vi）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们 代入式（1-12），有
[ N ] [[Ni ] [ N j ] [ Nm ]]
(1-21）
其中子矩阵
Ni 0 [ Ni ] Ni [ I ] 0 Ni [I]是2×2的单位矩阵。
(i, j, m) (1-22）
（2）形函数性质 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
qVx T {qV } [qVx qVy ] qVy
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
有限元方法
§7. 两点边值问题的有限元方法
本节以两点边值问题为例，并从Ritz法和Galerkin法两 种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程.
7.1 基于Ritz法的有限元方程 7.2 基于Galerkin法的有限元方程
这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：
K(i)u(i) F(i)
第二步：总体合成.总体合成就是将单元上的有限元特征 式进行累加，合成为总体有限元方程. 这一过程实际上是将 单元有限元特征式中的系数矩阵（称为单元刚度矩阵）逐个 累加，合成为总体系数矩阵（称为总刚度矩阵）；同时将右 端单元荷载向量逐个累加，合成为总荷载向量，从而得到关 于的线性代数方程组．为此，记
于是有 u(i) (ui1,ui)TB (i)u
从而式(7.16)右端第一个和式为
1 nu iT K iu i 1 nu T [ ( B i) T K iB i] u 1 u T K u ，
2 i 1
2 i 1
2
其中
（未标明的元素均为0）这就是总刚度矩阵． 对式(7.16)右端第二个和式，有
其中，p x C 1 a , b , p 0 , q C a , b , q 0 , f C a , b
精选版课件ppt
3
1. 写出Ritz形式的变分问题
与边值问题(7.1)、(7.2)等价的变分问题是：
求
u*
H
1，使
E
其中，
Ju*m uH in1 EJu J u 1 a u ,u f,u
u j
便得到确定 u1,u2,
,un的线性代数方程组
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
三角形单元数值积分
三角形单元数值积分一、引言数值积分是数值分析中的一个重要内容，它是利用数值方法来近似计算定积分的过程。
在实际应用中，很多函数都无法求出其解析式，因此需要采用数值积分方法来进行近似计算。
本文将重点介绍三角形单元数值积分的相关知识。
二、三角形单元三角形单元是有限元方法中最基本的单元之一，它由三个节点构成。
在实际应用中，我们通常采用局部坐标系来描述三角形单元。
假设三角形的三个顶点为A、B、C，则可以定义局部坐标系x-y为：以AB边为x轴正方向，以C点到AB边垂线为y轴正方向。
三、三角形单元上的积分对于一个在三角形上定义的函数f(x,y)，我们需要对其进行积分。
根据高斯公式，可以将二维平面上任意闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分。
因此，在三角形内部进行二重积分时，可以将其转化为对该三角形边界上的积分。
四、高斯公式高斯公式是将一个闭合曲线内部的积分转化为该曲线上的积分的公式。
对于一个在平面区域D上连续可微的函数f(x,y)，高斯公式可以表示为：∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，P和Q是f(x,y)的偏导数，C为D的边界曲线。
五、三角形单元数值积分在实际应用中，我们需要采用数值方法来进行三角形单元上的积分计算。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法、高斯积分法等。
其中，高斯积分法是一种比较常用和精确的方法。
六、高斯积分法高斯积分法是一种通过求解一组带权重系数和节点坐标的代数方程组来近似计算定积分的方法。
在三角形单元上进行高斯积分时，我们通常需要将其转化为在标准三角形（即顶点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)）上进行计算。
七、标准三角形上的高斯积分对于一个定义在标准三角形上的函数f(x,y)，可以采用如下公式进行高斯积分：∫∫f(x,y)dxdy=∑wi*f(xi,yi)其中，wi为权重系数，(xi,yi)为高斯积分点的坐标。
在实际应用中，通常采用2-3-4-5阶高斯积分公式进行计算。
有限元平面问题三角形实例
有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。
其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。
在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。
而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。
三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。
下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。
假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。
首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。
每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。
在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。
然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。
具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。
而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。
通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。
有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。
例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。
除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。
例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。
有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。
通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。
这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。
第五章 三角形单元的有限元法
{ } [ x y xy ]T （1-4）
（1-6）
7、物理方程矩阵式 对于弹性力学的平面应力问题，物理方程的矩阵形 式可表示为：
x E y 2 1 xy 1 0 对 x 1 称 y 1 xy 0 2
qVx T {qV } [qVx qVy ] qVy
（1-2）
3、单元内任意点的位移列阵f
{ f } [u
y
i m
]T
y
m
（1-3） ·
i
·u
v
j
j
x
x
图1-1
4、单元内任意点的应变列阵
{ } [ x y xy ]T
（1-4）
[ N ] [[Ni ] [ N j ] [ Nm ]]
(1-21）
其中子矩阵
Ni 0 [ Ni ] Ni [ I ] 0 Ni [I]是2×2的单位矩阵。
(i, j, m) (1-22）
（2）形函数性质 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
用形函数把式(1-16）写成矩阵，有
u N i v 0
缩写为
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui v i 0 u j Nm v j um vm
{ f } [ N ]{ }
(1-20）
[N]为形函数矩阵，写成分块形式：
第五章 三角形单元的有限元法
5.1 基本思想
把整体结构离散为有限个单元，研究单元的平衡和变 形协调；再把这有限个离散单元集合还原成结构，研究离 散结构的平衡和变形协调。划分的单元大小和数目根据计 算精度和计算机能力来确定。
有限元方法-第五章--平面三角形单元
D
E
1 2
1
0
对 1 0
称
1
(i)
2
所以，[S]的子矩阵可记为
Si DBi
E
2 1 2
bi
1
bi
2
ci
ci
1
ci
2
bi
（ i
,
j
,
m轮换） (5-19)
对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ， 换成 /1-，即得到其弹性矩阵
D
1
E1 1 2
1
1
起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种 化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法 的绝妙之处。
基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，
单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过
插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，
故设
u 1 2x 3y
v 4 5x 6y
(b)
0
(b)
Ni xm
,
ym
1 2
ai
bi xm
ci ym
0
(c)
类似地有
N j xi , yi 0 , N j x j , y j 1 , N j xm , ym 0 (d) Nm xi , yi 0 , Nm x j , y j 0 , Nm xm , ym 1
式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个
自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于 这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分 别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式， 得：
ui 1 2 xi 3 yi
数值模拟：第五讲 平面问题(二)——三角形单元分析
2) 单元刚度方程和单元刚度矩阵的建立是单元分析的核心内容。
3) 一般情况下，单元应变矩阵是坐标的函数矩阵，所以单元刚度矩 阵的计算需要进行积分运算。
4) 所建立的单元刚度矩阵反映了一般弹性体小单元近似的弹性性质， 是单元特性的核心。
.
• 单元刚度矩阵的计算
➢ 弹性力学平面问题的单元刚度矩阵通式：Fra bibliotekllm
s2llm
3）形函数在单元上的积分：
Ni(x,y)dxdy
A 3
(i l,m,n)
.
5.2.4 单元应变和应力
• 已知节点位移插值形式的单元位移模式：
u v
N
e
• 代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
xxyy 0x
0
y uv 0x
0 yN 0l
0 Nl
（简单三角形单元的形函数只有2个独立）
.
➢ 性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间， 在该点对边上值为零。
简单三角形单元形函数的几何意义
❖ 由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形。
.
❖ 根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
.
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数 的下列性质。
➢ 性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
N l ( xl , yl ) 1 N l (xm , ym ) 0 N l (xn, yn ) 0
(l，m，n)
➢ 性质2：单元上所有形函数之和等于1。
Nl NmNn1
有限元基础第五章-线性三角形单元
x3 ) y
N3
1 2A
x1 y2
x2
y1
( y1
y2 )x
( x2
x1) y
其中A是三角形的面积
1 A 1 1
2
x1 x2
y1 y2
1 x3 y3
17:57
5
平面三角形单元
u x, y N1u1 N2u2 N3u3
同理
v x, y N1v1 N2v2 N3v3
u(x, y) N(x, y)de
17:57
6
平面三角形单元
三角形的形函数可统一表示为：
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
其中
ai
x
j
ym
xm
y
j
xj xm
yj ym
1 bi yi ym 1
yj ym
k
j i
1 ci xm x j 1
xj xm
1 xi yi 2A 1 xj yj
1 xm ym
k k = 3, 1, 2
i = 1, 2, 3 i
j j = 2, 3, 1
17:57
7
形函数的性质
在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性)
Ni (x, y) N j (x, y) Nm (x, y)
1 2A
(ai
a
j
am )
(bi
bj
bm )x
(ci
cj
cm
) y
1
第一列与它的 第一列与第二
代数余子式乘 列的代数余子
积之和
式乘积之和
17:57
10
形函数的性质
Ni (x,