人教版数学九年级中考备考训练习题：圆的综合(含答案)

人教版数学九年级中考备考训练习题：圆的综合（含答案）1．如图，四边形ABCD是正方形，E是AD边上的一个动点（有与A、D重合），以E为圆心，EA为半径的⊙E交CE于G点，CF与⊙E切于F点．AD＝4，AE＝x，CF2＝y．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）是否存在x的值，使得FG把△CEF的面积分成1：2两部分？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵CF与⊙E切于F点，

∴EF⊥CF，

∵AE＝x，AD＝4，

∴DE＝4﹣x，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝AD＝4，∠ADC＝90°，

∴CE2＝DE2+CD2＝（4﹣x）2+16，

在Rt△EFC中，CF2＝CE2﹣EF2，

∴y＝（4﹣x）2+16﹣x2＝32﹣8x（0＜x＜4）；

（2）∵FG把△CEF的面积分成1：2两部分，

∴EG＝EC，或EG＝EC，

∴x＝，或x＝

∴x＝±﹣，或x＝

∵0＜x＜4，

∴x＝，或x＝．

2．AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，F是AC的中点，OF的延长线交⊙O于点D，点E

在AB的延长线上，∠A＝∠BCE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若BC＝BE，判定四边形OBCD的形状，并说明理由．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵OC＝OA，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠A+∠BCO＝90°，

∵∠A＝∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO＝90°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：四边形OBCD是菱形，

理由：∵BC＝BE，

∴∠E＝∠ECB，

∵∠BCO+∠BCE＝∠COB+∠E＝90°，

∴∠BCO＝∠BOC，

∴BC＝OB，

∴△BCO是等边三角形，

∴∠AOC＝120°，

∵F是AC的中点，

∴AF＝CF，

∵OA＝OC，

∴∠AOD＝∠COD＝60°，

∵OD＝OC，

∴△COD是等边三角形，

∴CD＝OD＝OB＝BC，

∴四边形OBCD是菱形．

3．如图，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求证：P A+PB＝PC；

（2）若BC＝，点P是劣弧AB上一动点（异于A、B），P A、PB是关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0的两根，求m的最大值．

证明：（1）在PC上截取PD＝AP，如图，

又∵∠APC＝60°，

∴△APD是等边三角形，

∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．

又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，

∴∠ADC＝∠APB，

在△APB和△ADC中，

，

∴△APB≌△ADC（AAS），

∴BP＝CD，

又∵PD＝AP，

∴CP＝BP+AP

（2）由（1）可知P A+PB＝PC，

∵P A、PB是方程的两根，

∴P A+PB＝m，

要使m有最大值，则P A+PB最大，即PC为⊙O的直径，连BO并延长交⊙O于点M，连接CM，

则∠BCM＝90°，

∴BMC＝∠BPC＝60°，

∵BC＝2，

∴BG＝4，

∴m的最大值为4．

4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A．

（1）求证：直线PC是⊙O的切线；

（2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长．

解：（1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠A＝∠1＝∠2，

∴∠2＝∠ACO，

∴∠2+∠BCO＝90°，

∴∠PCO＝90°，

∴OC⊥PC，

∴直线PC是⊙O的切线；（2）∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠ABC＝90°

∴∠1＝∠A，

∴∠1+∠ABC＝90°，

∴∠CDB＝90°，

∴CD2＝AD•BD，

∵CD＝4，BD＝2，

∴AD＝8，

∴AB＝10，

∴OC＝OB＝5，

∵∠OCP＝90°，CD⊥OP，∴OC2＝OD•OP，

∴52＝（5﹣2）×OP，

∴OP＝，

∴PB＝OP﹣OB＝．

5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝6，劣弧DE的长为π，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

解：（1）直线BC与⊙O相切．理由如下：

连接OD．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝∠DAB，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠DAC＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

∴OD⊥BC，

∴直线BC与⊙O相切．

（2）∵l＝，AE＝6，劣弧DE的长为π，

∴∠DOE＝60°．

∵∠ODB＝90°，

∴BD＝OD＝3，

∴S

＝BD•OD＝．

△BOD