高中数学：一元二次方程实根的分布
一元二次方程根的分布
3 m 1 时，根 x 2 3,0 ，即 m 1 满足题意；当 m 时， 得出 m 1或 m 3 ，当 2 2
15 3 m 或 m 1 根 x 33,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 14 2
3.一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
2.两根有且仅有一根在(m,n)内
f m f n 0
综合结论 (不讨论 a)
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的 根相对于零的关系。比如二次方程有一正根， 有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比 零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布 在零的两侧。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个 实根为x1，x2，且x1<x2。
f m 0 f n 0
已知关于 x 的方程 x2 (2m 1) x 4 2m 0 ，求满足下列条件的 m 的取值范围. （1） 两个正根 （2）有两个负根 （3） 两个根都小于 1 （4） 两个根都大于 1 2 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6） 两个根都在 (0, 2) 内 （7） 两个根有且仅有一个在 (0, 2) 内 （8）一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内 （9） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大 （10）一个根小于 2，一个根大于 4
一元二次方程根的分布
知识要点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根从几 何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与 轴交点的横坐标,所以研究方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根的情况,可借助二次函数图象来研 究求解．(几何法) 若在 (- ∞ ,+ ∞)内研究方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根情况,只需考察函数 y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴交点个数及交点横坐标的符号,利 用韦达定理和判别式来解,由 y=ax2+bx+c (a≠0) 的系数可判断出 △,x1+x2,x1x2的符号,从而判断 出实根的情况．（代数法）
高中数学专题一元二次方程实数根的分布
一元二次方程实数根的分布教学目标：使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理，加强求解一元二次不等式及不等式组，初步训练学生的数形结合能力。
教学重点：利用二次函数的图象，把一元二次方程根的分布−−→−转化图形问题−−→−转化代数表达式（不等式组）−−→−计算参数取值范围。
教学难点：图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
1、两个正根⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩， 2、两负根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 3、一正根一负根 021<=acx x 4、一正根一负根，负根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<-=+002121a c x x a b x x 5、一正根一负根，正根绝对值大⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>-=+002121a c x x a b x x 6、有一根为0 0,0,021=>-==c abx x 例1：若方程0)5()2(2=++++m x m x有两正根，求实数m 的取值范围.变式1：两根两负？ 变式2: 两根一正一负？变式3: 两根一正一负，且正根绝对值大？ 变式4: 两根一正一负，且负根绝对值大？例2：若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知k －3=0，∴k =3，代入原方程得32x +5x =0，另一根为负。
二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
高一数学一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一．知识要点二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f分布情况两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<kk k大致图象（>a ）得出的结论 ()()0002f m f n b m n a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩ ()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩ 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
浅析一元二次方程根的分布问题
（） １若 ｍ） ＝０或 ｎ ＝ ， ） ０ 则此 时 ｍ）－ ｎ ・（ ） 厂 ＜ ０不成立 ， 但对 于这 种 情况 是知 道 了方 程有 一根 为 ｍ 或 ｎ 可 以 求 出另 外 一 根 ， 后 可 以根 据 另 一 根 ， 然 在 区 间 （ ｎ 内 ， 而 可 以 求 出 参 数 的 值 。如 方 程 ｍ， ） 从 （ ＋２ ＋ ｍ ） ２＝０在 区 间 （ ， ） 有 一 根 ， 为 １３上 因
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5.1一元二次方程实根的分布
实系数一元二次方程实根分布1：当m 为何值时，方程03524222=--++m m mx x的两根异号？答案：(321<<-m )2：已知方程02322=-+-k kx x 的两个根都大于1，求k 的取值范围。
答案：(2≥k )3：已知集合A ＝｛045|2≤+-x x x ｝，B ＝｛022|2≤++-a ax x x ｝，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围。
答案：(7181≤<-a )4、关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负的实根，则a_____________ (1≤a )5、01032=+-k x x 有两个同号且不相等的实根,则k__________- (3250<<k )6、要使关于x 的方程0322=+-kx x 的两个实根一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是__（ 5>k ）7、已知抛物线m x m x y +-+=)3(2与x 轴的正半轴交于两点，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿。
（10<<m ）8、设A ＝｛01|2=-x x ｝，B ＝｛012|22=-+-a ax x x ｝，若A ∩B ＝B ，则a 等于＿＿＿。
(0=a )9、已知A ＝｛01)2(|2=+++x p x x ，R x ∈｝，若A ∩R ＋＝φ，则p 的范围是＿＿＿＿＿。
(4->p )10、已知方程0222=++-a ax x 的两根都在区间（1,4）内， 求a 的取值范围。
(7182<≤a )11、若关于x 的方程0532=+-a x x 的一个根在（－2,0）内，另一个根在（1,3）内，求a 的取值范围。
12、已知方程01222=+-+m mx x 的两个实根都大于2,求实数m 的取值范围。
（4316-≤<-m ）13已知A ＝｛023|2≤+-x x x ｝，B ＝｛02|2≤+-a ax x x ，R a ∈｝，且A ∩B ＝B ，求a 的取值范围。
一元二次方程根的分布
一元二次方程的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
一元二次方程根的分布取决于方程的解的个数，有如下三种情况：1 两个不相等的实根：如果一元二次方程有两个不相等的实根，那么方程的解为x1=r1、x2=r2，其中r1和r2是方程的两个实根。
2 两个相等的实根：如果一元二次方程有两个相等的实根，那么方程的解为x1=x2=r，其中r是方程的两个相等的实根。
3 两个复数根：如果一元二次方程有两个复数根，那么方程的解为x1=r1+r2i、x2=r1-r2i，其中r1和r2是方程的两个复数根的实部和虚部。
一元二次方程的根分布可以通过求解方程的判别式来确定。
判别式为b^2-4ac，如果判别式>0，则方程有两个不相等的实根；如果判别式=0，则方程有两个相等的实根；如果判别式<0，则方程有两个复数根。
在数学中，一元二次方程是由一个二次项和一个一次项组成的方程。
它的形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数。
解决一元二次方程的方法有多种，常见的方法有求解公式法、因式分解法、二分法、牛顿迭代法等。
求解公式法是最常见的求解一元二次方程的方法，它的公式为：x1= (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2= (-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中sqrt(b^2-4ac)表示根号内的值。
因式分解法是将一元二次方程写成两个一次方程的形式，然后分别求解两个一次方程的解。
二分法是一种数值解法，通过取方程的两个端点的中点来逐步缩小解的范围，最终得到方程的解。
牛顿迭代法是一种逐步迭代的方法，通过不断迭代来逼近方程的解，最终得到方程的解。
在解决一元二次方程时，应根据具体情况选择合适的方法。
一元二次方程实根的分布问题
专题二、一元二次方程的实根分布问题
问题: 已知方程0)3(2=+-+m x m x ，求实数m 的取值范围。
条件1：若方程有两个正根。
条件2：若方程的两个根均小于1。
条件3：若方程的一个根大于1，一个根小于1。
条件4：若方程的两个根均在( 0，2)内。
条件5：若方程的两个根有且仅有一个在( 0，2)内。
条件6：若方程的一个根在(–2 ，0)，另一个根在(0 ，4)。
条件7：若方程的一个根小于2，另一个根大于4。
条件8：若方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大。
1.若方程02)13(22=--++-m m x m x 在区间(0，1)、(1，2)上各有一个实根，求实数m 的取值范围。
2.若方程02)2(22=----m m x m x 的两根在区间[0，1]之外两旁，求实数m 的取值范围。
3.关于x 的方程023222=---k x kx 的二根，一个小于1，另一个大于1，则
求实数k 的取值范围。
4.若方程0122=-+-m mx x 在区间(–2，4)上有两根，求实数m 的取值范围。
高中数学 一元二次方程的根的分布问题教案 苏教版必修1
一元二次方程的根的分布问题 一、定理： 设：f (x )=ax 2+bx +c （a ＞0），△=b 2－4ac定理1 方程f (x )=0的两实根都大于（或小于）给定的实数m 的充要条件是 定理2 方程f (x)=0的两实根在区间（m ，n ）的充要条件是 定理3 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（q ，r ）内的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)(0)(0)(r f q f p f定理4 方程f (x)=0的两实根分别在区间（p ，q ）与（r ，s ）（r ≥q ）的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>0)(0)(0)(0)(s f r f q f p f 定理5 方程f (x)=0的两实根中一根小于m ，另一根大于n （m ＜n ）的充要条件是 定理6 方程f (x)=0的两实根x 1、x 2满足x 1＜m ＜x 2的充要条件是x y o m －a b 2 －a b2 x y o mxyo －a b 2 m n p q rp q r s xy o m n m x 1 x 2小结：⑴若两实根分布在同一开区间．．．（m ，n ），则必须考虑三点：①判别式△≥0；②对称轴在所给区间内，即m ＜a b2 ＜n ；③在区间端点处函数值的符号，即f (m)＞0且f (n)＞0.⑵若两实根分布在两个不同的开区间．．．内，则只要考虑在区间端点处函数值的符号.二、例题：例1、若方程（k 2+1）x 2－2（k+1）x+1=0的两根在区间（0，1）内，求k 的取值范围.例2、求实数m ，使方程7x 2－（m+13）x+m 2－m －2=0有两实根，且它们分别在区间（0，1）与（1，2）中.例3、方程x 2+（a 2－1）x+a －2=0有一根大于1，另一根小于－1，求a 的取值范围.例4、若方程x 2－11x+m=0的两根都大于5，求m 的取值范围.例5、若方程x 2 l ga －2x+1=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围.例6、若a ＞b ＞0，证明方程0112=+-+-b x a x ，有两相异实根，且一根在（b ，a ）之间，另一根比b 小.练习题1、 已知方程x 2－2x+ l g （2a 2－a ）=0有一正根和一负根，求实数a 的取值范围.2、求使方程x 2－2mx+m+1=0有两实根，且一根大于5，一根小于5的实数m 的取值范围.3、方程x 2+2（k+3）x+2k+4=0有两个相异实根， ⑴若一根大于3，另一根小于1，求k 的取值范围； ⑵若两根都在区间（－2，2）内，求k 的取值范围； ⑶若方程有且只有一个实根在（1，2）内，另一根不在其内，求k 的取值范围.4、设a 是任意实数，二次方程3x 2－1=a （2x －1）有两个不等的实根，证明两根中至少有一个在区间（0，1）之间.。
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2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负
y y
x1
o
x2
x
x1 o
x2
x
a＞0 a＜ 0 或 x1<0<x2 f（0）＞0 f（0）＜ 0
注:只要满足上述两个条件,就能判断函 数在指定区间内存在零点。
二、引入
问题：讨论方程ax2+bx+c=0 (a0) 的根的情况， (1)根的个数：a、b、c满足什么条件时，方程 有两个不等的实根？相等实根？无根实根？ (2)根的大小：a、b、c满足什么条件时，方程 有两个正根？两个负根？两根异号？一根为零？ (3)根的范围：a、b、c满足什么条件时，方程 两根都大于1？都小于1？一根大于1，一根小 于1？
4.一元二次方程ax2+bx+c=0两根都在区间（k1，k2）内
y 若方程 x2+ （ k+2 ） x-k=0 的两实根均在 区间（-1，1），求m的取值范围。 x2 k2 x
a 0 0 f（k1） k1 x1 x2 k2 f（k 2） 0 0 若是a<0,请同学们画出 b 图形,写出它的等价式 k1 k2 2a
①f ( ) f ( ) 0； ②f ( ) 0； (要验证) ③f ( ) 0 (要验证)
x
练一练
1.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 有且仅有一实根 在（0，1），求m的取值范围。 2.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较大根在（0，1）， 求m的取值范围。 3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 较小根在（0，1）， 求m的取值范围 变3.已知方程x +（m-2）x+2m-1=0 有根在（0，1）， 求m的取值范围
x1 o
k1
三、巩固提高
已知A x x 2ax 1 0
2
B x x 2x 3 0
2
(1)若B A, 则a的范围? (2)若A B, 则a的范围?
作业
1、方程 5x2-ax-1=0(a∈R)的一个根在区间（ -1， 0） 上，另一个在区间（1，2）上 ，求a的取值范围。 2、已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象的零点至少 有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
a>0
y
k x1 x2
b 2 4ac 0 （ f k） 0 b k 2a
o
k x1
x2 x
若a<0呢?
b2 4ac 0 af（k） 0 b k 2a
k x1 x2
(a≠0)
三、例题
一、知识铺垫
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
三、例题
1.当m为何值时，方程 2 x 4 mx 3m 1 0
2
(1)有两个正根； 且负根的绝对值小于正根 (2)有两个负根； (3)有两个大于1的根；
0 注( 3) : x1 x2 2 是错的 x x 1 1 2
如：x 5 x 4 0
2 2 2 2
3.一元二次方程ax2+bx+c=0两根分别在区间（k1，k2） 以及（p1，p2）之间 y
k1
k2 p1 o x1
x2
p2
x
k1 x1 k2 p1 x2 p2
a 0 f（ k ） 0 1 f（ k 2 ） 0 f（ p ） 1 0 0 f（P2）
af（0）＜ 0
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0一根大于k,另一根小于k
y y
k
x1
o
x2
x
x1 o
k x2
a＞0 a＜ 0 或 x1<k<x2 f（k）＞ 0 f（k）＜ 0
af（k）＜ 0
练一练 1.kx2+3kx+k-3=0的两根均为负，求k的取值范围。
2
两根为1、 4
四、归纳
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为正根 y
b 2 4ac 0 f 0） c 0 （ b 0 2a
x1>0,x2 >0
o x1
x2
x
类比:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为负根呢?
推广:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)两根均为大于K
3.已知集合A={x|x2－7x+10≤0}, B={x|x2－(2-m)x+5-m≤0}, 且B A,求实数m的取值范围.
2.如果二次方程mx2-（m+1）x+3=0的两根均大于-1， 求m 的取值范围。 3.如果f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6的一个零点大于2， 另一个零点小于2,求m 的取值范围。
例2. 求实数m的取值范围，使关于 x 的方程 x 2( m 1) x 2m 6 0，
2
(1)有两个根一个比 1大，另一个比 2小； (2)两个根均在区间( 2, 1)内； (3)有两个实根、 满足0 1 2； (4)只有一个根在区间( 2, 1)内； (5)只有一个根在区间[ 2, 1]内.
y f ( ) 0 f ( ) 0 (3)若两根在(， )之间， 则有 b 2a 0
x
f ( ) 0 则有 (4) 若一根小于，另一根大于 ， f ( ) 0
y
(5) 若两根中只有一根在(， )之间，则有