小波与多分辨率分析

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第7章图像处理课后答案

7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)，中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预测残差。迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级第7级第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号）和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽小，子带可以无信息损失的抽样。原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：

外文翻译---多分辨率分析 & 连续小波变换

题目：多分辨率分析＆连续小波变换TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELETTRANSFORM院系：电气信息工程系专业：通信工程姓名：学号：毕业设计（论文）外文资料翻译多分辨率分析＆连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。

MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。

每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。

MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。

这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。

幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。

例如，下面显示了这种类型的信号。

它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。

连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。

小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。

但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。

2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。

连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。

psi(t)为转化功能，它被称为母小波。

母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。

小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。

小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究

ｄｅｃｏｍｐｏｓｅｄｕｓｉｎｇｔｈｅａｔｒｏｕｓｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｍ．Ｔｒｈｅｎ，Ｍｕｌｔｉ — ＳｃａｌｅＥｎｔｒｏｐｙ（ＭＳＥ）ａｎａｌｙｓｉｓｔｈａｔｈｅｌｐｓｔｏｅｌｕｃｉｄａｔｅｓｏｍｅ
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ｅｎ
小波变换分析降水时间序列的多分辨率特性研究
何锡玉，蔡夕方，景嘉洲
（海军海洋水文气象中心，北京１００１６１）
（｝通信作者电子邮箱ｈｅｘｙｎｅｗ＠１６３．ｃｏｎｒ）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＩＳＳＮ１０ｏ１．９Ｏ８１Ｃ０ＤＥＮＪＹＩＩＤＵ
２Ｏ１３．Ｏ６．３Ｏ
计算机应用，２０１３，３３（Ｓ１）：３３１ —３３４文章编号：１００１ —９０８１（２０１３）Ｓ１ — ０３３１ —０４
ｔｈａｔｔｈｅＭａｎｎ．Ｋｅｎｄａｌｌ（ＭＫ１ｒｎｋａｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｔｅｓｔｏｆＭＳＥＣＵｌ－Ｖｅｓｏｆｒｅｓｉｄｕｌｓａａｔｖａｉｒｏｕｓｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｌｅｖｅｌｓｃｏｌｄｕｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔｈｅ

Loop细分小波对网格模型的多分辨率分析

计算机时代２０１３年第２期
ｖｏ：曼 ± ＋ — ｖ．＋ — ｖ３
８８・１５・Fra bibliotek ｉ
‘
（１）
‘
ｉ
ｅ００００６００６．０Ｏ１００００２００００００３０００ＯＯ１
ｏｐｔｉｏｎｕｓｉｎｇｕｎｉｉｅｆｄｆｏｒｍｕｌａ，ｉｔｉｓｏｎｌｙｓｕｉｔａｂｌｅｔｏｄｏｓｏｍｅｓｉｍｐｌｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｏｎｍｏｄｅｌｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｅｓｈｍｏｄｅｌ；Ｌｏｏｐｓｕｂｄｉｖｉｓｉｏｎｗａｖｅｌｅｔ；ｍｕｌｔｉ — ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｎａａｌｙｓｉｓ；ｗａｖｅｌｅｔｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｗａｖｅｌｅｔｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ
：：
Ｖ。＝６０；、，ｌ＋ｙ。 ∑Ｖ
（２）
ｖｌ
其中＝
点ｖ。的价。
＝詈＋（吾＋ｌｃ０２ｋ１ｒ）２，Ｖ。为Ｖ。的１一邻域顶点，ｋｉ为
中。
、 ‘
：一一 —
—
（８）
。
８
８
图ｌ由Ｌｏｏｐ细分模板得到的Ｌｏｏｐ细分小波示意图
Ｖ＝（Ｖ；。一８ｉ ∑Ｖ

小波变换与多分辨率分析课件

有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对较低，容易实现，而多分辨率分析的算法复杂度较高，实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
03
结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域已经得到广泛应用，未来随着技术的不断发展，它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的分析方法。
定义目的多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。

02-多分辨率信号分解理论：小波变换

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

小波变换和多分辨率处理

例如，N=4时，
k
p
q
k,p,q的值如右：
0
0
0
1
0
1
2
1
1
3
1
2
则，4×4变换矩阵H4
1 1 1 1
H4
1
2
4 2
1 2
1 0
10ຫໍສະໝຸດ 002 2
2×2变换矩阵H2
H2
1 1 2 1
1 1
离散小波变换的哈尔函数
64×64
128×128
图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数
T=HFHT
F是N×N图象矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果
哈尔基函数
h0zh00 z
1 N
z0,1
2p/2 q1/2pzq0.5/2p
hkzhpq z1 N 2 0p/2
q0.5/2pzq/2p
其它 z 0,1 ，
(3) 哈尔变换
N×N哈尔变换矩阵第i行包含元素hi(z)，其中z = 0/N, 1/N, …, (N-1)/N。
主要内容
背景图象金字塔子带编码哈尔变换
多分辨率展开一维小波变换快速小波变换二维小波变换小波包
1.背景
物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。
物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。
物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用不同的分辨率对其进行研究。
12G1(z)[H1(z)X(z)H1(z)X(z)]
滤波h0(n)的输出
h 0 n * x n h 0 n k x k H 0 z X z

正交小波基与多分辨分析

具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
2021/4/22
5
正交小波
且对任意
f
(t
)
S 2
m
有
f
(t)
nZ
f
(2
m
n)
sin 2m
2m
(t
(t
2m n) 2m n)
记S
2m
在S 2m1
中的正交补为V2m
，则
V2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m或 2m1}
R
d j,k
f (t), j,k (t)
f (t)2 j/2 (2 j t k)dt
§4 正交小波基与多分辨分析
正交小波多分辨分析小波函数和小波空间信号空间L2(R)的分解双尺度方程标准正交小波基的构造滤波器系数h(k)和g(k)的性质 Mallat快速算法紧支集正交小波的性质
2021/4/22
1
正交小波
定义：
j
设有允许小波 (t)，记 j,k (t) 22 (2 j t k)，其中
2021/4/22
图4-1
13
双尺度方程
双尺度方程描述了两个相邻尺度空间V
j和V
j
1函数、相邻尺度空间V
j
1和W
的基函数
j
j1,k , j,k和 j,k之间的内在联系。
由于V0 V1，W0 V1，所以(t)， (t)也属于V1空间，可以用 1,k(t)来线性表示

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•多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis)
•V0 •V1 •V2
•小波分析深圳大学信息工程学院
小波函数和小波空间
•S
•W1
•V1
•W2 •V2
•W1 •W2
•小波分析深圳大学信息工程学院
•V0 •V1 •V2
•小波函数和尺度函数的性质
•Poisson公式：
•小波函数和尺度函数满足
小波与多分辨率分析
小波的应用
J.Morlet，地震信号分析。 S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构 Farge，连续小波用于涡流研究 Wickerhauser，小波包用于图像压缩。 Frisch噪声的未知瞬态信号。 Dutilleux语音信号处理 H.Kim时频分析 Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化
•Near Symmetry
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离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)
•二进小波Dyadic Wavelet（数学显微镜）
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尺度空间和尺度函数(Scaling Space)
•尺度j越大，尺度函数定义域变大，实际平移间隔也变大， •不能反映函•小数波分（析小深于圳大该学尺信息度工程）学院的细微变化。
•重建核方程
•小波分析深圳大学信息工程学院
常用的连续小波
•Morlet Wavelet
•morl(x) = exp(-x^2/2) * cos(5x) •No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support •Effective support=[-4 4], Symmetry
•Morlet小波是一种复数小波，时频均具有很好的局部性。
•小波分析深圳大学信息工程学院
•常用的连续小波
•Mexican hat Wavelet
•mexh(x) = c * exp(-x^2/2) * (1-x^2)where c = 2/(sqrt(3)*pi^{1/4}) •No Orthogonal, No Biorthogonal,No Compact Support •Effective support=[-5 5], Symmetry
•Meyer小波是在频域具有紧支集和任意阶正则性， •时频缺乏很好的局部性。
•小波分析深圳大学信息工程学院
•常用的正交连续小波 •Symlets Wavelets
•General characteristics: Compactly supported wavelets with least assymetry and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are near linear-phase filters. •Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support(width 2N-1)
•小波分析深圳大学信息工程学院
基底
•张成span
•基底 •正交 •标准正交系 •完全的标准正交系 •双正交基
•小波分析深圳大学信息工程学院
Hilbert空间
•小波分析深圳大学信息工程学院
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
•小波分析深圳大学信息工程学院
小波分析
•小波分析深圳大学信息工程学院
•小波分析与付里叶变换的比较
•小波分析深圳大学信息工程学院
连续小波变换
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连续小波变换的再生核
•尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如下描述
•1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 •2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。
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双尺度方程
•小波分析深圳大学信息工程学院
滤波器系数h0(k)和h1(k)的性质
•小波分析深圳大学信息工程学院
•正交小波变换的Mallat快速算法
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离散信号的多分辨率分析与正交小波变换
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•双通道多分辨率滤波器组的设计
•A.Brice, D.Donoho, H.Y.Gao, Wavelet Analysis, IEEE Spectrum, 33(10),1996
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距离空间
•距离空间
•常用的距离空间
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函数空间
•线性空间 •线性间
信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算
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软件包
Math Works:Wavelet Toolbox Standford: Wave Tool Yale:WPLab MathSoft:S+WAVELETS Aware:WaveTool Rice: Wavelet ToolBox
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•常用的正交连续小波
•Meyer Wavelet
•General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet
•Orthogonal,Biorthogonal,No Compact Support
•Effective support=[-8 8],Symmetry
•Mexican Hat小波是Gaussian二阶导数， •时频均具有很好的局部性。
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•常用的正交连续小波
•Daubechies Wavelet
•General characteristics: Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filters are minimumphase filters. •Orthogonal,Biorthogonal,Compact Support •Support width 2N-1, No Symmetry
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•正交镜像滤波器组Quadrature Mirror Filter Bank
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