第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换 2

写成矩阵的形式：
即表象F’ 基矢与F表象基 矢的标积。 上式就是同一个量子态在表象 F’中的表示与它在F表象中的 表示的关系，它们通过一个矩 阵S相联系。
可以证明：
即变换矩阵S是么正矩阵， 所以变换也称为么正变换。
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证明：SS+= S+S=I
封闭性关系
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2.力学量（算符）的矩阵表示
仍以平面矢量做类比，设矢量A逆时针转动θ角后，变为另一矢 量B。在 x1x2坐标系中，它们分别表示为
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上式表成矩阵形式则为：
这里矩阵 [Ljk] 称为算符L 在F表象中的矩阵表示。不难看 出，矩阵[Ljk] 一旦给定，任何矢量在L 作用下如何变化也 就完全确定了。
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矩阵Fnm的共轭矩阵表示为
Fnm* un (x)[Fˆum (x)]* dx
因为量子力学中的算符都是厄米算符，
Fnm* un (x)[Fˆum (x)]* dx [Fˆum (x)]*un (x)dx
令
R(θ)表沿逆时针方向把矢量转过θ角的运算。用分量形式写出 分别用e1和e2点乘，得
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上式表明，把矢量逆时针旋转θ角的操作可用矩阵R(θ)刻画
其矩阵元是描述基 矢在旋转下如何变 化的。例如:
第一列元素是基矢e1经旋转后(变成Re1 )在坐标系各基矢方向的 投影；第二列元素描述e2 在旋转下如何变化。故R矩阵给定，则 所有基矢在旋转下的变化完全确定。 力学量的矩阵表示 与此类比，设态Ψ经算符L运算后变为另一态: 在以Ψk为基矢的F表象中，上式表示成: 两边左乘Ψj＊（取标积），得：
F表象：力学量完全集的共同 F′表象：力学量完全集的共同
本征态Ψk,满足 （Ψj，Ψk）＝δjk
本征态Ψ′α,满足 （Ψ′α，Ψ′β）＝δαβ
体系的任何一个态Ψ可以用它们展开：
(a1,a2,..)就是态在F表象中 的表示。
(a’1,a’2,..)就是态在F’表象中 的表示。
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以上两个表示有何联系？显然 以Ψ′α* 左乘上式并取标积，利用正交归一性得
um* (x)Fˆun (x)dx
即 Fnm* Fmn
将满足该式的矩阵称为厄米矩阵
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Q在自身表象中的矩阵元
Qum (x) Qmum (x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
Qnm un (x)Qum (x)dx un (x)Qmum (x)dx
Qm un (x)um (x)dx Qm nm
n
2 sin n x
aa
能级
En

22n2 2a 2
n=1,2,3,…..
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坐标算符x
当m=n时,对角元为: 当m 时n ，非对角元为:
xnn

2 a
பைடு நூலகம்
a x sin 2 nx dx a
0
a
2
xmn

2 a
a (sin mx )x(sin nx )dx
0
a
a
1
结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵
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例：的坐标x,动量p和Hamilton量H在能量表象中的矩阵表 示。 谐振子的能量本征函数ψn (n=0, 1, 2, ……)满足
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例:
求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 xˆ 及哈密顿算符
Hˆ 在能量表象中的矩阵表示。
解： 一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为:
a
a 0
x
cos
(m
n)
a
x cos (m n)
a
xdx

a
2
(1)mn

1

(m
1
n)2

(m
1
n)2


(1)mn 1
4amn
(m2 n2 )2 2
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哈密顿算符 Hˆ
对角元：
22n2 En 2a2
Review 力学量用算符表达
算符运算规则 （线性算符，算符之和，算符之积，逆算 符，算符函数、厄米算符 等） 厄米算符
1.体系任何状态下厄米算符的平均值为实数 2.任何状态下平均值为实的算符都是厄米算符
算符对易式
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量子力学的一个基本假定是：测量力学量A时所有可能出现的值，都
是相应的线形厄米算符的本征值。当体系处于本征态Ψn ，则每次测 量得到的结果都是An .
如X在坐标空间中 可表示为
动量p在动量空间 中表示为
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力学量的表象变换
F表象中(基矢Ψk )，力学量L表示成矩阵(Lkj )
Lkj k , Lˆ j
F’表象中(基矢Ψ’α )，L表示成矩阵(L’αβ )
利用 k k , k Sk
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现假设有另一直角坐标系x1′x2′，其基矢为e1′,e2′满足
在此坐标中矢量A 表示为
（A1′,A2′） 就是矢量A 在x1′x2′ 系中的表示。
x2
A’2
A2
e2 θ
O e’1
ee’21 θ A’1
x’2 A
A1
x1 x’1
是把在两个坐标系的表示联系起来的变换矩阵。
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RT(θ)是R(θ)的转置矩阵。易看出，变换矩阵R有如下的性质
又因R＊=R ，所以 R＋=RT＊=RT，因而 即R是么正矩阵，因此，一个矢量在两个坐标系中的表示通 过一个么正变换相联系。
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1.2 同一量子态在两不同表象中的表示
在量子力学中，按态的叠加原理，任何一个量子态，可以看 成是抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”，体系的任何一组力 学量完全集的共同本征态可以用来构成此态空间的一组正交完备 的基矢（称为表象）。
厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备系统
一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组 算符两两对易。
量子理论中，测量对系统影响很大。在微观原子系统中，测 量将极大地扰乱系统。每次测量之后，波函数受到严重干扰， 发生突变（波函数坍缩）
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第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换
教学内容
§1 量子态的不同表象，幺正变换 §2 力学量（算符）的矩阵表示 §3 量子力学的矩阵形式 §4 Dirac 符号
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§1 量子态的不同表象，幺正变换
1.1 一矢量在两坐标系中的表示
x2
x’2
平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长
A’2
度为1，彼此正交，即
A2
A
平面内任意矢量可表示为
e2 θ
O e’1
ee’21 θ A’1
A1
x1
x’1
当A1,A2确定之后就确定了平面上一个矢量A。因此,(A1,A2)可 以认为就是矢量A在坐标系x1x2中的表示（列矢）。