逻辑悖论

全能悖论
• 上帝能造出一个重到他自己也举不起的东 西吗？如果他能，那么他不能举起这个东 西，就证明他力量方面不是全能的。如果 他不能，那么不能创造出这样一个东西， 就证明他在创造方面不是全能的。
• 回答：最普遍的回答是上帝是全能的，所 以“不能举起”是毫无意义的条件。其他 的回答指出这个问题本身就是矛盾的，就 像“正方形的圆”一样。
矛盾
• 最强的矛碰上最强的盾，会是什么结果？
• 回答：最强的矛和最强的盾只能存在其一， 不能同时存在。
• •
先有鸡还是先有蛋？
• 回答取决于如鸡和蛋的定义问题。 • 先限定为“先有鸡，还是先有鸡蛋？” • 再限定为：“具体的一只鸡或具体的一只 蛋。” • 也可以从生物进化论来谈。
意料之外的绞刑
•
逻辑训练题
• 在大西洋的“说谎岛”上，住着X，Y两个部落。X部落总 是说真话，Y部落总是说假话。 有一天，一个旅游者来到这里迷路了。这时，恰巧遇 见一个土著人A。 旅游者问：“你是哪个部落的人？” A回答说：“我是X部落的人。” 旅游者相信了A的回答，就请他做向导。 他们在路途中，看到远处的另一位土著人B，旅游者 请A去问B是属于哪一个部落的？A回来说：“他说他是X 部落的人。”旅游者糊涂了。他问同行的逻辑博士：A是 X部落的人，还是Y部落的人呢？逻辑博士说：A是X部落 的人。
哲学与逻辑思维
芝诺悖论
• (Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺 （Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的 不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记 录在亚里士多德的《物理学》一书中而为 后人所知。
阿基里斯(Achilles)悖论
• ，阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。一天他正在散步， 忽然发现在他前面100米远的地方有一只大乌龟正在慢慢地 向前爬。 乌龟说：“阿基里斯! 谁说你跑得最快?你连我都 追不上!”阿基里斯回答说：“胡说!我的速度比你快何止百倍! 就算刚好是你的10倍，我也马上就可以超过你!”乌龟说： “就照你说的，我们来试一试吧!当你跑到我现在这个地方， 我已经向前爬了10米。当你再向前跑过10米时，我又爬到 前面去了。每次你追到我刚刚耽过的地方，我都又向前爬 了一段距离。你只能离我越来越近，却永远也追不上我!”阿 基里斯说：“哎呀!我明明知道能追上你，可你说的好像也 有道理，这是怎么回事呢? ”
说谎者悖论
• 一个克利特人说“所有克利特人都说谎”
• 这个人是否说谎？
理发师悖论
• 一个城市里唯一的理发师只给所有不给自 己理发的人理发。 • 这个理发师是否该给自己理发？
罗素的解释
• 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那 个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说什么都 是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但 是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话 包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” • 他认为：在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的 自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东 西，而这种东西又是总体中的一份子。”
• 只要承认推理的第一步是正确的，那么其 余的推理就跟着成立。 • 问题的关键在于“意料之外”的定义。 • 其他版本：“意料之外的考试”
还有一块钱哪里去了？
• 一天有3个人去住宿、老板要30块钱、于是 3个人一人出了10块、交了钱去休息、老板 说要给他们优惠价25块、于是叫服务员给 他们送去，服务员黑了两块给他们一人一 块、等于一人只出了10-1=9/&3个人，3乘 以9等于27.加上服务员黑了2块、一工29块、 还一块哪里去了？
• 一个罪犯在星期六被判绞刑。 “绞刑将在下周七天中的某一 天中午十二时整举行。”法官对罪犯说，“但是只有在行刑 当天的早上通知你后，你才会知道是在哪一天。”这位法官 以言出必行而声名卓著。 • 第一，下个星期六，也就是下周七天之中的最后一天，他们 不能吊死你，因为，星期五的下午你仍然没有服刑，故而可 以预期刑期将在星期六执行，也就是说没有到星期六的早上， 你已预先知道了刑期。这和法官的判决不符。” • 因此，星期五变成刑期的最后一天。但是他们也不能在星期 五掉死你。因为星期四时，离行刑的日子只剩下两天，即星 期五和星期六。既然是星期六已经被划掉，成为不能行刑的 日子，所以行刑的日子非在星期五不可。如此，你又事先知 道了行刑的日子，这又和法官的判决不符。所以星期五也要 被划掉。 • 依此类推，甚至星期四、星期二和星期一都要一一被划掉。 这就只剩下明天。但是我现在就知道是明天，所以明天也不 可以行刑了。”
•
若对方沉默、背叛会让我获释，所以会 选择背叛。 • 若对方背叛指控我，我也要指控对方 才能得到较低的刑期，所以也是会选择背 叛。 • 二人面对的情况一样，所以二人的理 性思考都会得出相同的结论——选择背叛。
• 囚徒困境（prisoner's dilemma ）是博弈 论的非零和博弈中具代表性的例子，反映 个人最佳选择并非团体最佳选择。虽然困 境本身只属模型性质，但现实中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ价格竞 争、环境保护等方面，也会频繁出现类似 情况。
┴───────┴────┴───┴──┴──┴── A B C D E F……
• 庄子在《天下篇》中说：一尺之棰，日取 其半，万世不竭。道理与芝诺悖论完全一 样。
现代科学的解答
• 芝诺悖论之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取 了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数， 而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔 取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话 说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。其 实这归根到底是一个时间的问题。 • 这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过 一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完 这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就 永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过 1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流 动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷 无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。 • 1=lim（n趋于∞） 1/2+1/4+1/8+……1/（2的n次方）
解答
• 每人10元，3人30元。
• 老板25元+三人的3元 +服务员2元=30元 • ---------------------------• 每人付9元，一共27元。老板得25元+服务员2元 =27元
• 每人付9元，共27元，相比原来付30元，实际上得 到3元，27元+3元=30元
宗教学中的逻辑：帕斯卡赌注
• 1 教义虚假：没有损失 • 拒绝接受教义 2 教义真实：承受莫大苦难 • 接受教义：1 教义虚假：损失一点人生的享受
• 2 交谊真实：享受莫大福报
• 所以应该接受教义
伦理学中的逻辑：囚徒困境
• 警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够 证据指控二人入罪。于是警方分开囚禁嫌 疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以 下相同的选择： • 若一人认罪并作证检控对方（相关术 语称“背叛”对方），而对方保持沉默， 此人将即时获释，沉默者将判监10年。 • 若二人都保持沉默（相关术语称互相 “合作”），则二人同样判监1年。 • 若二人都互相检举（相关术语称互相 “背叛”），则二人同样判监8年。
•
设：A是X部落的人。 （1）如果A遇见的B是X部落的人，那么，B就说自己是X部落的 人（因X族人是说真话的），这时，A向旅游者如实地传达了这个回 答。 （2）如果A遇见的B是Y部落的人，那么，B也会说自己是X部落 的人（因Y族人是说假话的），这时，A也向旅游者如实地传达了这 个回答。
设：A是Y部落的人。 （1）如果A遇见的B是X部落的人，那么，B就说自己是X部落的 人，由于A是Y部落的人，他是说假话的，所以，他会把B的回答向旅 游者传达为“B说他是Y部落的人”。 （2）如果A遇见的B是Y部落的人，那么，B就说自己是X部落的 人，而A也会把B的回答传达为”他说他是Y部落的人”。
• M：著名的十七世纪数学家布莱斯· 帕斯卡把中立原理应用 于基督徒的忠诚上。 • 帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。 教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币， 两种可能性均等。可报应是什么呢？ • 帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人 的，则他什么也没有损失。可是，如果教义是真实的，那 他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。 帕斯卡：假定 这个人接受了教堂的宣传。如果教义是骗人的，他就什么 也得不到。可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享 受无穷的至福。
鳄鱼困境
• 一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如 果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将 儿子还给父亲。那么如果这个父亲猜“鳄 鱼不会将儿子还给他”，那鳄鱼该还还是 不还？
• 回答：混淆了想做什么和实际做了什么。
• 回答：这是一个无解的问题。如果鳄鱼不 还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就违背 了诺言。如果鳄鱼将儿子还给他，那么父 亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。