(完整版)福州大学有限元考试题

一 判断题（20分）（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（×）10单元位移函数包括了常应变和刚体位移，则该单元一定是完备协调单元。

二、填空（20分）1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内；后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。

3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。

4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。

6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。

等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。

7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]e D B σδ=。

（用符号表示即可）8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元三选择题（14分）1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。

（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同2 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_______B____相等。

（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。

（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次4 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用进行回代计算。

（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵5 对分析物体划分好单元后，___C_______会对刚度矩阵的半带宽产生影响。

（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。

（A）n-1 （B）n （C）2n-1 （D）2n7 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_____C_____。

（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性三．简答题（共20分，每题5分）1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。

2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。

1、答：（答对前3个给4分）（1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布2、答：一般原则有(1)广义坐标的个数应该与结点自由度数相等；(2)选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备；多项式的选取应由低阶到高阶；(3)尽量选取完全多项式以提高单元的精度。

有限元方法分析的目的：1)对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。

2)针对具有任意复杂几何形状的变形体，完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。

3)力学分析的基础上，对设计对象进行强度(strength)、刚度（stiffness）评判，修改、优化参数。

3．有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定：（1）连续性假设；（2）完全弹性假设；（3）均匀性假设；（4）各向同性假设；（5）小变形假设。

2017年福州大学硕士研究生有限单元法试卷一、填空题（15分）1、利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。

2、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。

3、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角。

4、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。

5、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

6、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（5分）1、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

（√）2、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√ ）3、平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）4、用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×）5、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。

（√）三、简答题（50分）1、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。

答：（1）位移模式必须包含单元刚体位移；（2）位移模式必须包含单元的常应变；（3）位移模式在单元内要连续，且唯一在相邻单元之间要协调。

2、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。

答：（1）单元刚度矩阵为对称矩阵；（2）单元刚度矩阵为奇异矩阵；（3）单元刚度矩阵主对角线元素恒为正值；（4）单元刚度矩阵仅与单元本身有关。

3、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。

4、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。

答：（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量。

（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。

（3）应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。

（4）应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。

（5）应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。

（6）应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。

（7）列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。

5、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。

因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。

四、计算题（30分）1、一杆件如图所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ⨯==，截面积2125.5in A =，2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。

备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = 4.45 N 。

（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（15分）解：将杆件分解成两个元素，元素1的刚度矩阵K 1=in Ibf /10125.13L E A 6111⨯=⨯， 元素2的刚度矩阵K2=in Ibf /10375.9L E A 6222⨯=⨯y总刚度矩阵单元刚度矩阵形成后，应将各单元刚度矩阵组装集合成整体刚度矩阵（即总刚矩阵）。

如所示为杆系结构两单元节点编号示意图，可得总刚度矩阵为()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33232223222222121112111100k k k k k k k k K杆系结构两单元节点编号示意图引入边界条件求解节点位移总刚矩阵[]K 组集完成后，即可获得整个结构的平衡方程为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧321222211113211101111011u u u l l l l l l l l E F F F 整个结构的边界条件为01=u ，2F 、3F 已知，三个未知量三个方程，因此上式可求得唯一解。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3221111321F F l l l l l E u u ()321F F F +-= 解出节点位移：u 1=0u 2=0.762×10-5inu 3=0.18295×10-4in2、对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。

采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。

（15分）解：沿杆单元建立X 坐标：（A ）每个单元刚度矩阵如下：()()12611111101111AE k k L --⎡⎤⎡⎤===⨯⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦N/m ()361121011k -⎡⎤=⨯⎢⎥-⎣⎦N/m 总体刚度矩阵：()()()123K k k k =++ 61100121011001320022K -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⨯⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦（B ）总体刚度矩阵方程：1122633441100121011001320022x x x x x x x x F d F d F d F d -⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⨯⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎣⎦⎩⎭⎩⎭ 边界条件：25000x F N =， 30x F =，10x d =，40x d =解得：20.003x d m =，30.001x d m =，13000x F N =-，42000x F N =-（C ）单元②的应力 22633ˆ11110ˆ11x x x x f d d f ⎧⎫-⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⨯⎨⎬⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭ 解得：2ˆ2000x f N =，3ˆ2000x f N =- ()23ˆxx f A σ==4200010210MPa --=-⨯杆单元②受压。