第二节 二元函数的极限
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数的极限与连续
2021/6/16
y0
6
lim 1 x2 y2
例4 求 x
x2 y2
y
解
lim 1 x 2 y 2
x x 2 y 2
y
1
lim x (1 x 2 y 2 )
y
1
2021/6/16
7
例5 求 lim xy11. x0 xy
y0
解 原式 limxy11 x0x(y xy11)
为函数z f ( x, y)当 P P0 （或 x x0， y y0）
时的极限，
记为：
lim f (x, y) A
p p0
或 lim f ( x, y) A x x0 y y0
2021/6/16 lim 或 ( x, y)( x0, y0 ) f (x, y) A
2
定义 2 设函数z f ( x, y)在 N ( p0, ) 内有定义，如果对
sin( xy ) x
y2
解
lim x0
sin( xy ) x
y2
lim lim
sinx(y)
y =1×2=2.
xy0 xy
y2
2021/6/16
Байду номын сангаас
5
例2 求
lim x 0
1 x y
y1
解
lim x 0
1 1 1 x y 01
y1
lim 例3
求
x0
(x
y)sinx2
1
y2
y0
lim 1
解 x0 (xy)sinx2 y2 0
y0
lim 1 x0 xy11
y0
1. 2
2021/6/16
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。
它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。
因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。
一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。
这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。
首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。
如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。
具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。
其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。
反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。
最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。
总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。
因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
《二元函数极限》PPT课件
2 2
5. 二重极限的性质 （1） 极限存在的唯一性。 若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的. （2） 极限存在的的局部保号性。
若
( x , y )( x0 , y0 )
推论2 lim f ( P ) A
P P0 pD
对D中任一满足Pn P0 , lim Pn P0的点列{Pn },函数列{ f ( Pn )}都收敛.
n
y
例4
1, 0 y x 2 讨论 f ( x, y ) 在(0,0)的极限. 0, 其它
O
y
解: 当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时, f(x,y)的极限为0 当动点(x,y)沿抛物线
恒有
| f ( P ) A || f ( x, y) A | ,
则称 f 在 D 上当 P P0 时,以A为极限,记作
P P0 pD
lim f ( P ) A, 或 lim f ( P) A, 或
P P0
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) A.
0 ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2
时,恒有
| f ( x, y ) A | .
2. 用定义证明极限 基本思路: 根据 找 , 使当 | x - x0 | ,| y - y0 | ,( x, y) D,( x, y) ( x0 , y0 ),
对任何 ,都有r 0
2 2 2 x2 y 2 | r cos sin (cos sin ) | | xy 2 0| = 2 x y 1 1 = | r 2 sin 2 cos 2 | = | r 2 sin 4 | 2 4 2 2 1 2 x y 1 2 2 ( x y ) = | xy 2 0|≤ r 2 4 4 x y 2 2 x y 1 2 2 | xy 2 0 | 2 ( x y ) ( x2 y 2 ) 4 只要： x y 4
16.2二元函数的极限
有 : (x2 xy y2) 7 7 14
故 lim (x2 xy y2 ) 7 ( x, y)(2,1)
例
2.用“
”定义验证极限lim x0
xy 2 x2 y2
0.
y0
证明: 0,要使:
xy 2 x2 y2
0
x
2
xy
y
2
y
0
1 2
y0
取 2 0, 当(xx, y)0U ,((y0,00),)(方时),
则称函数 z f (x, y)在点P0 (x0, y0 )存在极限，且
称 A为函数 z f (x, y)当 x x0， y y0 时的极
限（全面极限），记为 lim f (x, y) A x x0 y y0
或 lim f (x, y) A，或 lim f (P) A
x, y x0 , y0
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
f
(P)
A.
PE
推论 1.设 E1 D ， P0 是 E1 的聚点。若极限
lim f (P)不存在，则极限 lim f (P)也不存在 .
PP0
PP0
二元函数求极限的基本思路与方法
二元函数求极限的基本思路与方法在数学中，我们经常需要研究函数在某一点的极限情况。
而当涉及到二元函数时，也就是函数有两个自变量x和y的情况下，我们需要采用一些特殊的方法来求解其极限。
本文将介绍求解二元函数极限的基本思路与方法。
一、定义二元函数的极限对于二元函数f(x,y)，当自变量x和y的取值都趋近于某个确定值(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取怎样的值都趋近于一个确定值L，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处的极限为L，记作：lim(f(x,y)) = L(x,y)->(a,b)与一元函数类似，我们也需要关注函数在点(a,b)附近的取值情况，以确定其极限。
二、二元函数极限求解的思路对于一元函数，我们常用的求极限方法主要有：代入法、夹逼准则、无穷小量法等等。
而对于二元函数，我们可以结合这些方法以及一些特殊的技巧来求解其极限。
1. 代入法：和一元函数求极限一样，我们可以尝试将自变量x和y代入函数，看其极限是否存在。
如果代入后能够得到一个确定的值L，那么我们可以初步判断函数在点(a,b)处的极限为L。
2. 极限分解法：对于形式复杂的二元函数，我们可以采用极限分解法来求解其极限。
即将二元函数分解为一元函数的形式，然后再利用一元函数求极限的方法来求解。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 - y^2)/(x + y)，我们可以将其分解为f(x,y) = f1(x,y) * f2(x,y)，其中f1(x,y) = x + y，f2(x,y) = (x - y)/(x + y)。
然后分别求解f1(x,y)和f2(x,y)的极限，最后确定原函数的极限。
3. 夹逼准则：夹逼准则也是一种常用的求极限的方法，适用于一元函数和二元函数。
夹逼准则的基本思想是将待求极限的函数夹在两个已知函数之间，这两个已知函数的极限都存在且相等。
例如，对于函数f(x,y) = (x^2 * y)/(x^2 + y^2)，我们可以通过夹逼准则来求解其极限。
二元函数的极限
§2 二元函数的极限(一) 教学目的：掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系．(二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限．基本要求：(1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限存在性的基本方法．(2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题．(三) 教学建议：(1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极限的方法．(2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法．一 二元函数的极限先回忆一下一元函数的极限： A x f x x =→)(lim 0的“δε-” 定义(c31)： 设函数)(x f 在0x 的某一空心邻域),(100δx U 内由定义，如果对 1,0,0δδδε≤>∃>∀，当 ),(0δx U x ∈，即 δ<-||0x x 时，都有 ε<-|)(|A x f ，则称0x x →时，函数)(x f 的极限是 A.类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下：设二元函数),(y x f 为定义在2R D ⊂上的二元函数，在点),(000y x P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 0,0>∃>∀δε，使得当 D P U y x P ),(),(00δ∈ 时，都有 ε<-|)(|A P f ，则称f 在D 上当 0P P →时，以A 为极限。
记作A P f D P P P =∈→)(lim 0也可简写为 A P f P P =→)(lim 0 或 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00例1 用定义验证 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x证明: |16||7|2222-+-+-+≤-++y x xy x x y xy x|1||1||2||3|-+++-+≤y y x x x限制在 （2，1）的邻域 }1|1|,1|2||),({<-<-y x y x6|1|,6|3|<++<+y x x取 }6/,1min{εδ=，则有ε<++||22y xy x由二元函数极限定义 7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f ，证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 |||||),(|2222xy yx y x xy y x f ≤+-≤0||lim |),(|lim )0,0(),()0,0(),(=≤→→xy y x f y x y x 所以 0|),(|lim )0,0(),(=→y x f y x对于二元函数的极限的定义，要注意下面一点：A P f P P =→)(lim 0 是指： ),(y x P 以任何方式趋于),(000y x P ，包括沿任何直线，沿任何曲线趋于),(000y x p 时，),(y x f 必须趋于同一确定的常数。
第二节二元函数的极限
lim
x0 ykx
f (x, y)
lim
x0
x2
kx2 (1 k
2
)
1
k k
2
当 k 不同时, 极限也不同、 因此, f (x, y) 在 (0, 0)
得极限不存在 、
请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0) 得情形、
沿 x 轴, y = 0、 函数极限
lim
x0
f
(x,
二元函数得极限运算举例
例 求 lim( x2 2 y2 3xy).
x0
y1
解 lim( x2 2 y2 3xy) lim( x2 ) lim(2 y2 ) lim(3xy)
x0
x0
x0
x0
y1
y1
y1
y1
lim( x2 ) 2lim( y2 ) 3(lim x)(lim y)
x0
x0
x0 x0
记作 lim f (P) A, 或 P P0
lim f (x, y) A,
x x0 y y0
也可记作 f (P) A (P P0), 或,
f (x, y) A (x x0, y y0 )
注 定义中要求X0就是定义域D得聚点, 这就是
为了保证 P0得任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进
都收敛、
上述定理及其推论相当于数列极限得子列定理 与一元函数得海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 lim f ( x) A,
元 x x0 0
lim f ( x) A.
中 lim f ( x) A,
x x0
x x0 0
多 元
二元函数的极限求法
求解二元函数的极限需要根据具体函数形式和极限的定义进行分析。
以下是常见的二元函数极限求解方法：
代数法：对于简单的二元函数，可以直接使用代数法进行极限求解。
例如，对于二元函数f(x, y)，可以将x和y分别替换成具体的数值，然后计算函数值，观察当变量趋于某个值时函数的变化情况。
分量法：对于形如f(x, y) = g(x)h(y)的二元函数，可以使用分量法将二元函数转化为一元函数的极限问题。
将其中一个变量固定，求解关于另一个变量的一元函数的极限，然后再将这些极限组合起来求得原二元函数的极限。
二重极限法：当二元函数在某点的极限存在但与路径有关时，可以使用二重极限法求解。
首先固定其中一个变量，求解关于另一个变量的极限；然后再固定另一个变量，求解关于第一个变量的极限。
如果两个单变量极限存在且相等，则可以得到二元函数的极限。
极坐标法：对于以极坐标表示的二元函数，可以使用极坐标法求解。
将二元函数转化为极坐标表示，然后求解关于极径r和极角θ的一元函数的极限。
通路法：对于二元函数的极限存在但与路径有关的情况，可以使用通路法进行求解。
通过选取不同的路径，比如直线路径、曲线路径等，求解沿该路径的一元函数极限，并观察不同路径下的极限值是否相同。
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的情形.
沿 x 轴, y = 0. 函数极限
0 lim f ( x, y ) lim 2 =0 x 0 x 0 x 0
y 0
沿 y 轴, x = 0. 函数极限
0 lim f ( x, y ) lim =0 2 x 0 0 y y 0
x 0
但不能由此断定该二重极限为0
例4
x 2 x y 2 y 1 y 3
先限制在点（2，1）的
1
的方邻域
( x, y)
x 2 1, y 1 1
内讨论，则有
y 3 y 1 4 y 1 4 5
x y 2 ( x 2) ( y 1) 5
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) 0
证明： 对函数的自变量作极坐标变换
x r cos
y r sin
这时
( x, y) (0, 0)
等价于对任何
都有
r0
.由于
x2 y2 r 2 r2 f ( x, y) 0 xy 2 2 sin 4 4 4 x y
注 定义中要求X0是定义域D的聚点, 这是为了
保证 P0的任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进而才 有可能判断 | f (P)– A | 是否小于 的问题. 若D是一区域. 则只须要求 就可保证 P0 是D的一个聚点.
P 0 D D D,
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
性质１（局部有界性）
性质２（保号性）
lim f ( x) 存在，则存 若P P
0
0 f ( x ) 0 U 在 ，使得 在 (P0 ; ) 内有界；
lim f ( x) A 0 ，则存在 若P P
0
0 U 0 ，使得在 (P 0 ; ) 内取正值； f ( x) A ， lim g ( x) B ， 性质３（比较性） 若 lim xa xa
y = f ( x)
f ( x)
x
x x0
lim f ( x) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图
z A
如果当 X 在 D 内
因此， 0 ，只须取 2
0r x2 y2
，当
时，不管 取什么值都有
f ( x, y) 0
所以
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
f ( x, y ) 0
定理16.5
P P0 PD
lim f ( P) A
的充要条件是：对于
x 2 xy y 2 7 7 2 14
由二元函数极限定义知
( x , y )( 2,1)
lim ( x xy y ) 7
2 2
例 求证
x 0 y 0
lim ( x 2 y 2 ) sin
1 0. 2 2 x y
证
( x 2 y 2 ) sin x 2 y 2 sin
例1 用 ”定义验证极限 “
( x , y )( 2,1)
lim ( x 2 xy y 2 ) 7
证明 因为
x 2 xy y 2 7
( x 2 4) xy 2 ( y 2 1)
( x 2)(x 2) ( x 2) y 2( y 1) ( y 1)( y 1)
证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函
数f (x, y)对应的极限也不同即可.
考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形. 如图 对应函数值
y
xy f ( x, y ) 2 x y2
o
x
kx 2 2 , ( x, y ) (0,0) 2 x (1 k )
z = f ( x, y) M
变动并无限接近于 X0 时 ( 从任何方向 ,
f (X) o x X D X0 X y
以任何方式),对应
的函数值 f (X)无限 接近于数 A,
则称 A 为当 X 趋近于
X0时f (X)的极限.
类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | < 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无 限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离
时,
| f (P)– A | <
则称 A 为z = f (P)的, 当 P 趋近于P0时(二重)极限. 记作
lim f ( P) A, 或 P P0
x x0 y y0
lim f ( x, y ) A,
也可记作 f (P) A (P P0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 )
（2）二元函数的极限也叫二重极限
x x0 y y0
lim f ( x , y );
（3）二重极限的几何意义：
º º (P0, ) > 0，P0 的去心 邻域 U (P0, )。 在 U
内，函数 z f ( x , y ) 的图形总在平面 z A 及 z A 之间。
第十六章 多元函数的极限与连续
§2 二元函数的极限 一 二元函数极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f ( x) A, 表示
x x0
y A f ( x) 0 x x0 x x x0
当 x 不论是从 x0的左边
还是从 x0 的右边无限接 近于 x0 时 , 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
是它们的聚点，
P P0 PE2
lim f ( P) A1
lim f ( P) A2
lim f ( P) 不存在 但 A1 A2 ,则 P P
0
PD
推论3 极限
P P0 PD
lim f ( P)
存在的充要条件是：对于
lim Pn P0
n
D 中任一满足条件 Pn P0 且
|| X X 0 || ( x x0 )2 ( y y0 )2 来刻划.
定义1 设二元函数 z = f (P) = f (x, y). 定义域为D.
P0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若 > 0, > 0, 当 P U 0 (P0 ; ) D 对应的函数值满足
的点列 Pn ，它所对应的函数列 f (Pn ) 都收敛. 上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理 与一元函数的海涅归结原则
注意： P P0 是指 P 以任何方式趋于P0 .
一 元 中 多 元 中
x x0 0 x x0 0
lim
f ( x ) A, f ( x ) A,
lim f ( x ) A x x0 y y0
x x0 y y0
x x0 y0 ky ) A (沿 y y0 k ( x x0 )
P0 )
确定极限不存在的方法：
(1) 令 P ( x , y ) 沿 y y0 k ( x x0 ) 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ， 若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，但
lim f ( x ) A.
x x0
lim
lim f ( x ) A, f ( x ) A ( P 以某种方式趋于 P0 ). P P0
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A (沿平行 x 轴 P0 ) lim f ( x , y ) A (沿平行 y 轴 P0 )
二元函数
1 当0 y x 2 , x 时 f ( x, y) 其余部分 0
请看p95图16-7， 尽管当 ( x, y ) 沿任何直线趋于原点时 f ( x, y) 都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限
2 y kx ( 0 k 1) ( x , y ) 就是零，因为当 沿抛物线
x 2 y 1 5 7
所以
x 2 xy y 2 7
7 x 2 5 y 1
7 x 2 y 1
于是
0 ，取
y 1
min1, 14
，则当 时，就有
x2
( x, y) (2, 1)
趋于原点时 f ( x, y) 的值趋于 1 而不趋于零， 所以该极限不存在.
非正常极限 极限
( x , y ) ( x0 , y 0 )
lim
f ( x, y ) 的定义
设二元函数 f ( x, y) 为定义在 D R 2上的二元函数， 点 P0 为 D 的一个聚点，如果 M 0 0
使得当 P U 0 (P0 , ) D 时，都有 f ( P) M 则称
f ( x, y) 在 D 上当 P P0 时，存在非正常极限
记作 或
P P0
lim f ( P )
lim f ( x, y )
( x , y ) ( x0 , y 0 )
仿此可类似地定义
并且当 P U 0 (P0 ; ) 时有 f ( x) g ( x) ，则 A B ；
性质４（四则运算）与一 元函数运算相同 除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极 限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自 变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。