函数和方程、数形结合

高中数学思想—函数和方程、数形结合知识点：函数与方程，数形结合的数学思想考点：几种常见题型：构造函数，不等式，最值问题，位置关系能力：变量间关系的理解和分析；数学语言与直观的图像结合方法：启发式教学重难点：变量间关系的理解和分析第一讲函数与方程思想1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。

2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。

4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。

（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： ①解方程或解不等式；②带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系； ④构造方程或不等式求解问题。

5.导数函数在解题中常用的有关结论（需要熟记）：1、曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。

2、若可导函数()y f x =在 0x x =处取得极值，则0()0f x '=。

反之，不成立。

3、对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。

4、函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ∀∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）.5、函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。

（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0∆>）。

6、 ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立7、若x I ∀∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ∀∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0<8、若0x I ∃∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ∃∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<.9、设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立，则有[]min ()()0f x g x ->.10、若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.11、已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

12、若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大于0，极小值小于0.题型一（运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题） 例1、若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。

变式：已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支A. 上任一点，若 212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A .(1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞ 题型二（运用函数与方程思想解决方程问题） 例2、已知函数211()2cos coscos 2,222x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--若()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。

变式：设函数∈-=-m x e x f mx 其中,)(R .（I ）求函数)(x f 的最值；（Ⅱ）证明:当1>m 时，函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点.题型三：（运用函数与方程思想解决不等式问题） 例3、已知且那么（ ）变式：设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取值范围．题型四（运用函数与方程思想解决最优化问题）例4、图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB =2x ,BC =y .（Ⅰ）写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； （Ⅱ）求当x 取何值时，凹槽的强度最大.变式：一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？例5、已知函数xax x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数4)(2+-=mx x x h , 当2=a 时，若)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．变式：已知关于x 的函数f(x)＝331x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函数为f +(x)。

. 令g(x)＝()f x ',记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-34，试确定b 、c 的值： （Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M ≧K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值。

模拟训练1：1.已知正数x,y 满足xy=x+9y+7，则xy 的最小值为( ) (A)32 (B)43 (C)49 (D)60 2．方程有解，则m 的最大值为（ ） (A)1(B)0(C)-1(D)-23.一个高为h 0，满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h 时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（ ）adl4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )(A)1<x<3 (B)x<1或x>3 (C)1<x<2 (D)x<1或x>25.若正实数a,b满足a b=b a，且a<1,则有( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)不能确定a,b的大小6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值范围是（）7.国际上钻石的重量计量单位为克拉.已知某种钻石的价值v（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54 000美元.（1）写出v关于ω的函数关系式；（2）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；（3）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1∶1切割，价值损失的百分率最大.第二讲数形结合思想题型一：（利用数学概念或数学式的几何意义解题）例1、实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点（a,b）对应的区域的面积；（2）的取值范围；（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．总结：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；（2）之间的距离；（3）为直角三角形的三边；（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法． 题型二：（用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题）例2、已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2,则方程f(x)=lgx 解的个数是（ ）(A)5 (B)7 (C)9 (D)10变式：设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x ∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a 的范围．题型三：（数形结合在解析几何中的应用） 例3、已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点(0,2)F ，且长轴长与短轴长的比是2:1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．题型四：（数形结合在立体几何中的应用）例4、如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===, M 为线段AB 的中点.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ； (Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.变式：已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）。