数形结合在函数中的应用

三、教法学法分析
考点检测 自我检测 激发兴趣 自主探究 提升能力
教 法
学 法
发现问题
引导探究 总结规律
四、教学目标分析
（一）、三维目标
1、知识与技能： ①熟练掌握函数的三要素、函数的性质、函数的 图像以及导数的应用，灵活的应用数形结合的思想 解决函数问题。
②充分领悟数形结合思想的特点，通过“以形助
五、课时安排
设计函数共分2个专题：函数的图像与性质、
函数与方程及函数的应用，每个专题拟用3课时，
共计6课时。
六、教学内容设计
函数性质的应用
函 数
函数、基本 初等函数的 图象与性质
函数图象的应用（数形
结合思想在函数中的应用）
基本初等函数的图 象、性质及其应用 函数零点的求解与判定 函数与方程 函数与方程的综合应用 函数的实际应用问题
1 D.0， 2
分析路：
题型三：利用数形结合讨论方程的解或图像的交点个数
1 例 3、若 f(x)＋1＝ ，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内 fx＋1 g(x)＝f(x)－mx－m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是(
1 A.0， 2 1 B. ，＋∞ 2 1 C.0， 3
（二）知识整合
数 函 函 数 数 函数的性质 单调性、奇偶性、周期性 中 设计意图：对函数的三要素、函数的性质、函数的 数 图像的作法以及函数与图像的关系进行梳理整合， 形 平移 基本初等函数的图像 结 使学生对函数的相关知识有了全面系统地认识，形 合 成基本知识网络，为进一步探究应用数形结合的思 形 思 想解决函数问题铺平道路。 利用图像的变换 伸缩 作图像 想 函 数 看图像 利用函数的性质作图像 翻折 的 图 利用图像解题 像 --函数的三要素 定义域、值域、对应法则 ---
题型二：利用数形结合解不等式或求参数的取值范围
1 例 2、 若不等式|x－2a|≥ x＋a－1 对 x∈R 恒成立， 则 a 的取值范围是______。 2
分析思路：
1 作出 y＝|x－2a|和 y＝ x＋a－1 的简图， 解： 2 1 依题意知应有 2a≤2－2a，故 a≤ . 2
题型二：利用数形结合解不等式或求参数的取值范围
．
数、以数解形”，使复杂的问题简单化，抽象问题 具体化，形成解题能力 。
2、过程与方法：
通过合作探究过程，应用数形结合思想寻求最 合理最简捷的解题思路，培 养学生独立思考问题、 灵活处理问题、快捷解决问题的能力。
3、情感态度与价值观： 数形结合思想是数学的规律性与灵活性的有机 结合，通过图形的直观效果反映数量之间的关系， 通过定 量计算可以精确的反映图形的性质，使学生 深刻 体会数学的和谐美，激发学生学习数学的兴趣。
（二）、教学重难点
◇ 教学重点：
1.掌握应用数形结合的思想解决函数问题的几 种常 见题型，会应用数形结合的思想解决函数问题。 2.领悟数形结合的思想方法，培养学生灵活运用数 形结合的思想方法解决数学问题的能力。
◇教学难点：
深入理解“数”与“形”之间相辅相承的关系，巧
妙的“以形助数，以数解形”，从而使问题得到简
湖北卷文科近两年考情报告
考点 题型
年份
小题
大题
第3题：函数零点的个数 第22题：函数与导数（求 解析式、最值、切线，文 2012年 第6题：函数图像的变换 科首次涉及不等式的证明 ） 第8题：高斯（取整）函 数的奇偶性、单调性、 第21题： 函数与导数（分 周期性的判断 式函数单调性的判断、不 2013年 第10题：导数的综合题 等式的证明及取值范围的 求解） （含参函数的极值点， 涉及切线、单调性）
二、学情分析
在一轮复习中已经对函数的三要素、函数的 性质、函数的图像以及导数的应用进行了系统的 复习，学生对函数的基础知识有了全面深入的理 解，对数形结合的思想也有了初步认识，但不知 道在什么情况下用数形结合的思想使问题更简捷， 不知道如何实现数与形之间的相互转化，更谈不 上灵活运用数形结合的思想解函数问题。
二、考纲变化及命题趋向
2014年高考考纲与2013年相比变化不大，仅函数的概念与 表示由掌握变为理解。 预测2014年高考函数部分仍会以考查函数的图象与性质及 利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点，知识载 体主要是二次函数、三次函数、指数函数、对数函数及分式函 数。预测2014年高考湖北数学文科卷在设置上仍会是两道客观 题、一道主观题。客观题的主要题型有： 1 给定解析式判断满足要求的图象； 2 根据函数的性质求参数的值或取值范围; 3 利用函数与方程的思想考查方程根的个数或零点的个数; 主观题的主要题型有： 1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参 数的取值范围 ； 2 以函数为载体的实际应用题； 3 不等式、函数与导数的综合问题。
第二轮复习是建立在第一轮复习基础上 的深入、综合和提高，是实现由知识到能力 转化的一个重要阶段。函数贯穿整个高中数 学的始终，是高考的热点，同时也是高考中 所占分值较高的专题。
一、 高考要求 二、考纲变化及命题趋向
三、学情分析
四、复习方法及学法指导
五、课时安排
六、教学内容设计 七、训练题目设计
一、高考要求
x －4x＋3，x≤0， －x＋3，0<x≤1， 函数 f(x)的表达式为 f(x)＝3 1 x ＋ 2 2，1<x≤5， 2 x －4x＋3，x>5，
2
f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点 是 B(1,2)，所以函数 f(x)的最小值是 2.
题型一：利用数形结合求函数的最值
题型三：利用数形结合讨论方程的解或图像的交点个数
例 3、若 f(x)＋1＝ 1 ，当 x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内 fx＋1 )
g(x)＝f(x)－mx－m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是(
1 A.0， 2 1 B. ，＋∞ 2 1 C.0， 3
捷解决.
五、课堂教学过程设计
1. 考点自测 2. 知识整合 3. 例题探究 4. 归纳总结 5. 课后作业 6. 板书设计
（一）考点自测
1．不等式 x －logax<0，在 A．0<a<1
2
1 x∈0， 时恒成立，则 2
a 的取值范围是 (
)
1 B. ≤a＜1 16
2
C．a>1
三、学情分析
我们现阶段处于高三二轮复习，虽然学生在一 轮复习中对函数的基本知识有所掌握，对于这里面
的基础题、中档题能较好的完成，但远没达到熟练
的程度，特别是碰到知识点交汇较多的综合题目方
法上还不能突破。
四、复习方法及学法指导
在二轮复习中，函数这一专题的复习方法主要 是以练为主，及时反馈，集中系统点评与个人辅导 相结合，指导学生及时改错归类，形成完备的思想 方法体系。本专题所采用的数学思想有：转化思想、 数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想。
（五）课后作业
设计意图：让学生课后练习，巩固所学知识，从而 熟练掌握本节重点，形成相应的数学能力．
（六）板书设计
数形结合思想在函数中的应用
一、考点自测 三、例题探究 四、归纳总结
题型一
二、知识整合
题型二
五、布置作业
题型三
一、高考要求
纵观近两年的高考试题不难发现，对函数的考查主 要还是函数图象与性质和函数与方程及函数的应用。就函 数的考点和知识点可以归纳如下表。
对函数概念的考查 对函数图象的考查 对函数性质的考查 对函数与方程的考 查 对函数综合应用的 考查 多考查定义域、函数解析式、分段函数、函数求值 一是识图，二是用图，即根据函数与图象使用数形结合 思想解决函数问题 多考查函数的周期性、奇偶性以及单调性、最值相结 主要考查函数的零点（含二分法），常以分式、绝对值 不等式、对数式、三角函数为载体，考查确定零点个数、 存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围 多以实际生活 为背景，与最值、不等式、导数、解析几 何等知识交汇命题
3 1 例 1．对于任意 x∈R，函数 f(x)表示－x＋3， x＋ ， 2 2 2 x －4x＋3 中的较大者，则 f(x)的最小值是( ) A． 2 B． 3 C． 8 D．－1
设计意图：让学生体会求函数最值问题，当计算过 于复杂时，可以利用图像的直观效果求解，过程更 简捷，同时进一步引导学生系统深入地探究函数的 值域与函数图像的关系，使学生掌握如何巧妙应用 数形结合思想求函数的最值。
（三）例题探究 题型一：利用数形结合求函数的最值
3 1 例 1．对于任意 x∈R，函数 f(x)表示－x＋3， x＋ ， 2 2 2 x －4x＋3 中的较大者，则 f(x)的最小值是( ) A．2 B．3 C ．8 D．－1
3 1 分别画出 y＝－x＋3，y＝ x＋ ， 2 2 y＝x2－4x＋3 三个函数的图像，如图所示， 得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)． 解析：选 A
一、整体设想
高考对函数部分的考查，主要是函数的图像与性 质，多以客观题的形式出现，客观题既考查知识，同 时渗透重要的数学思想，考查学生灵活处理问题的能 力，数形结合思想在解函数问题中应用非常广泛，合 理应用数形结合的思想，能使复杂的问题简单化; 何 巧妙地应用数形结合的思想，通过“以形助数，以数 解形”，使复杂的问题能够快速简捷的解答，这对学 生来说是一大难点，设计这一专题就是要通过学生的 自主探究、老师的引导点评以及专题强化训练，从而 突破这一难点，形成解题能力，也为在其它知识板块 中应用数形结合的思想打下基础。
2
|lg x|，0<x≤10， 4．已知函数 f(x)＝ 1 － x＋6，x>10， 2 且 f(a)＝f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围是( A．(1,10) B．(5,6)