数形结合思想在函数中的应用
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数形结合思想
在函数问题中的应用
复习目标
1.能根据函数的图象判断方程的解或不等式的解集
2.会利用函数的对称性和增减性来判断函数值的大小 关系
3.在探究过程中学会用数形结合的方法解决中考所涉 及的选择或填空题及第21题 4.在解题过程中渗透数形结合的数学思想
读图识图 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象,请 尽可能多的说出此函数的性质。
y 4
-3
-1 O 1
x
y ( x 1)2 4
方法理解
问题1. 结合图象思考: 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=5有几个实数解?
无实数解
y 4
1 0 y=-(x+1)2+4 1 O x 1 x -1 2 -3 1
y
观察点到对称轴的距离判断函数值大 小：当抛物线开口向上，距离对称轴距 离越大，函数值越大；当抛物线靠开口 向下，距离对称轴距离越大，函数值越 小。
1
x
随堂检测
1.图为函数 y1 x 2 4 x - 1和y 2 4 的函数图象， x 观察函数图象，解决下 列问题。 为 __________ _ 解集为 _______
变式2：若A(2,y1 )，B（4，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点， 则y1 __ y2
当m取何值时，则 y1 y2 ?
变式 3 ：若 A(m,y1)，B（m 2，y2）是抛物线 y a(x 1)2 c(a 0)上的两点，
思考：比较函数值大小的方法？ 利用函数对称性：
x
问题2： 结合图象思考
当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m ①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; ③没有实数根?
思考：方程与函数的关系是什么？
方法归纳：方程解的个数 2+4 即为两个函数图象交点的 m y=-(x+1) 个数；方程的解就是交点 的横坐标
y 4
1 -1 O 1 y=m
（ 1 ）满足 y1 y 2的所Biblioteka Baidu x的值
（2）不等式 x 3 4 x 2 x 4＞0的
-3
转化 方程问题（数） 函数问题（形）
x
问题3：结合图象思考 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于 A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图象填空： (1)方程ax2+bx+c=kx+m x1=-1,x2 的解为 .=1 (2)不等式ax2+bx+c＞kx+m 的解集为 -1＜x＜1 . (3)不等式ax2+bx+c＜kx+m 的解集为 x＜-1或x＞1 .
恒成立，则a的取值范围是_____
变式训练 进一步探究函数图象发现： （1）函数图象与x轴有_____个交点，
所以对应的方程x²-2|x|＝0有___个
不相等的实数根。 （2）方程x²-2|x|＝2有___个不相
等的实数根。
（3）关于x的方程x²-2|x|＝a有4个 不相等的实数根时，a的取值范 围是______
转化 不等式问题（数） 函数问题（形）
B
y 4
A -3 方法归纳：确定不等式解集的一般步骤： 找准交点的个数 -1 O 1 思考：不等式解集的确定？
确定各交点的横坐标 比较函数图象的高低 ④写出解集
x
典例讲解 例1 观察函数y＝x²-2|x|的图象，解决下列问题。 (1)方程x²-2|x|＝0的解______ (2)不等式x²-2|x|＜0的解集___ (3）不等式x²-2|x|＞3的解集___ (4）如果不等式x²-2|x|＞a
例2.若A(-1,y1 )，B（ 2，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点， 则y1 ___ < y2 (填 , 或 )。
变式1：若A(-1,y1 )，B（4，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点，
< y (填 , 或 )。 则y1 ___ 2
在函数问题中的应用
复习目标
1.能根据函数的图象判断方程的解或不等式的解集
2.会利用函数的对称性和增减性来判断函数值的大小 关系
3.在探究过程中学会用数形结合的方法解决中考所涉 及的选择或填空题及第21题 4.在解题过程中渗透数形结合的数学思想
读图识图 如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象,请 尽可能多的说出此函数的性质。
y 4
-3
-1 O 1
x
y ( x 1)2 4
方法理解
问题1. 结合图象思考: 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=5有几个实数解?
无实数解
y 4
1 0 y=-(x+1)2+4 1 O x 1 x -1 2 -3 1
y
观察点到对称轴的距离判断函数值大 小：当抛物线开口向上，距离对称轴距 离越大，函数值越大；当抛物线靠开口 向下，距离对称轴距离越大，函数值越 小。
1
x
随堂检测
1.图为函数 y1 x 2 4 x - 1和y 2 4 的函数图象， x 观察函数图象，解决下 列问题。 为 __________ _ 解集为 _______
变式2：若A(2,y1 )，B（4，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点， 则y1 __ y2
当m取何值时，则 y1 y2 ?
变式 3 ：若 A(m,y1)，B（m 2，y2）是抛物线 y a(x 1)2 c(a 0)上的两点，
思考：比较函数值大小的方法？ 利用函数对称性：
x
问题2： 结合图象思考
当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m ①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; ③没有实数根?
思考：方程与函数的关系是什么？
方法归纳：方程解的个数 2+4 即为两个函数图象交点的 m y=-(x+1) 个数；方程的解就是交点 的横坐标
y 4
1 -1 O 1 y=m
（ 1 ）满足 y1 y 2的所Biblioteka Baidu x的值
（2）不等式 x 3 4 x 2 x 4＞0的
-3
转化 方程问题（数） 函数问题（形）
x
问题3：结合图象思考 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于 A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图象填空： (1)方程ax2+bx+c=kx+m x1=-1,x2 的解为 .=1 (2)不等式ax2+bx+c＞kx+m 的解集为 -1＜x＜1 . (3)不等式ax2+bx+c＜kx+m 的解集为 x＜-1或x＞1 .
恒成立，则a的取值范围是_____
变式训练 进一步探究函数图象发现： （1）函数图象与x轴有_____个交点，
所以对应的方程x²-2|x|＝0有___个
不相等的实数根。 （2）方程x²-2|x|＝2有___个不相
等的实数根。
（3）关于x的方程x²-2|x|＝a有4个 不相等的实数根时，a的取值范 围是______
转化 不等式问题（数） 函数问题（形）
B
y 4
A -3 方法归纳：确定不等式解集的一般步骤： 找准交点的个数 -1 O 1 思考：不等式解集的确定？
确定各交点的横坐标 比较函数图象的高低 ④写出解集
x
典例讲解 例1 观察函数y＝x²-2|x|的图象，解决下列问题。 (1)方程x²-2|x|＝0的解______ (2)不等式x²-2|x|＜0的解集___ (3）不等式x²-2|x|＞3的解集___ (4）如果不等式x²-2|x|＞a
例2.若A(-1,y1 )，B（ 2，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点， 则y1 ___ < y2 (填 , 或 )。
变式1：若A(-1,y1 )，B（4，y2）是抛物线y a( x 1) 2 c(a 0)上的两点，
< y (填 , 或 )。 则y1 ___ 2