反比例函数拓展
反比例函数教案设计(篇)
反比例函数教案设计（优秀篇）一、教学目标：知识与技能：1. 理解反比例函数的定义及其性质；2. 学会如何求反比例函数的解析式；3. 能够运用反比例函数解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察实例，引导学生发现反比例函数的规律；2. 利用图形计算器，让学生直观地感受反比例函数的图像和性质；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生勇于探索、积极思考的科学精神；3. 培养学生合作交流、解决问题的能力。
二、教学重点与难点：重点：1. 反比例函数的定义及其性质；2. 反比例函数的图像特征。
难点：1. 反比例函数解析式的求解；2. 反比例函数在实际问题中的应用。
三、教学过程：环节一：导入新课1. 利用实例引入反比例函数的概念；2. 引导学生发现反比例函数的规律；3. 提问：什么是反比例函数？它有哪些特点？环节二：自主探究1. 学生利用图形计算器，观察反比例函数的图像；2. 学生总结反比例函数的性质；3. 学生分组讨论，探讨反比例函数的解析式求解方法。
环节三：课堂讲解1. 教师讲解反比例函数的定义及其性质；2. 教师示范求解反比例函数解析式；3. 教师举例说明反比例函数在实际问题中的应用。
环节四：巩固练习1. 学生完成课后练习题；2. 学生互相讨论，解决练习题中的问题；3. 教师点评并讲解练习题。
环节五：课堂小结1. 学生总结本节课所学内容；2. 教师强调反比例函数的重要性和应用价值；3. 学生分享学习心得和感悟。
四、教学评价：1. 课后练习题的完成情况；2. 学生对反比例函数的理解程度；3. 学生在实际问题中运用反比例函数的能力。
五、教学资源：1. 反比例函数的PPT；2. 图形计算器；3. 课后练习题及答案。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索反比例函数的定义和性质；2. 利用信息技术工具，如图形计算器，直观展示反比例函数的图像，增强学生对函数概念的理解；3. 通过实际问题的引入，让学生体会反比例函数在生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力；4. 注重学生合作交流，鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作精神；5. 及时反馈，针对学生的掌握情况，调整教学进度和方法。
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解
第七章、反比例函数 (1)一、反比例函数知识要点点拨 (1)二,、典型例题 (2)三、反比例函数中考考点突破 (8)四、达标训练 (10)(一)、基础.过关 (10)(二)、综合.应用 (11)五、分类解析及培优 (13)(一)、反比例函数k的意义 (13)(二)、反比例函数与三角形合 (14)(三)、反比例函数与相似三角形 (15)(四)、反比例函数与全等三角形 (15)(五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15)(六)、反比例函数与一次函数相交题 (19)1、联手演绎无交点 (20)2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20)3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函数的图像分布 (20)4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 (20)(七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 (21)(八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 (23)六、拓展练习 (26)练习(一) (26)练习（二） (28)练习(三) (32)本章参考答案 (35)第七章、反比例函数反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。
由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。
一、反比例函数知识要点点拨1、反比例函数的图象和性质：图象性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2、反比例函数与正比例函数(0)y kx k =≠的异同点：函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k>时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k>时，y 随x 的增大而增大； 当0k<时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小； 当0k<时，y 随x 的增大而增大．二,、典型例题例 1下面函数中，哪些是反比例函数？（1）3x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.81=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）．说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，xky =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式，（4），（5）就是这两种形式．xyOxyO例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)．(1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）；(5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）；(7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）；(9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）．答：说明：本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 例 3 已知反比例函数62)2(--=ax a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式．分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为62)2(--=ax a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小，所以⎩⎨⎧>--=-.02,162a a 解得⎩⎨⎧>±=.2,5a a所以5=a ，解析式为xy 25-=． 例4 （1）若函数22)1(--=mx m y 是反比例函数，则m 的值等于（ ）A ．±1B ．1C ．3D ．－1（2）如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ．若ABC∆的面积为S ，则：A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定解：（1）依题意，得⎩⎨⎧-=-≠-,12,012m m 解得1-=m ．故应选D ． （2）由双曲线xy 1=关于O 点的中心对称性，可知：OBC OBA S S ∆∆=．∴12122=⋅=⨯⨯==∆AB OB AB OB S S OBA ． 故应选A ．例5 已知21y y y +=，1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，当1=x 时，4=y ；当3=x 时，5=y ，求1-=x 时，y 的值．分析 先求出y 与x 之间的关系式，再求1-=x 时，y 的值． 解 因为1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，所以)0(,212211≠==k k xk y x k y ． 所以xkx k y y y 2121+=+=．将1=x ，4=y ；3=x ，5=y 代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5313,42121k k k k 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.821,81121k k 所以xx y 821811+=． 所以当1-=x 时，4821811-=--=y ． 说明 不可草率地将21k k 、都写成k 而导致错误，题中给出了两对数值，决定了21k k 、的值．例 6 根据下列表格x 与y 的对应数值．x …… 1 2 3 4 5 6 … y … 6 3 2 1.5 1.2 1 …（1）在直角坐标系中，描点画出图像；（2）试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．解：（1）图像如右图所示．（2）根据图像，设)0(≠=k xky ，取6,1==y x 代入，得16k=． ∴6=k ． ∴函数解析式为)0(6>=x xy ． 说明：本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性． 例 7（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）解：1+-=x y 的图像经过第一、二、四象限，故排除B 、C ；又xy 3=的图像两支在第一、三象限，故排除D ．∴答案应选A ．（2）若0>k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第一、三、四象限，双曲线xky =的图像两支在第一、三象限，而选择支A 、B 、C 、D 中没有一个相符；若0<k ，则直线)1(2+-=k kx y 经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C 正确．应选C ．例8， 已知函数24231-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m xm y 是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y随x 的增大而减小，求反比例函数的解析式．解：因为y 是x 的反比例函数，所以1242-=-m ，所以21=m 或.21-=m 因为此函数图像在每一象限内，y 随x 的增大而减小 ，所以031>+m ，所以31->m ，所以21=m ，所以反比例函数的解析式为.65xy =说明：此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数xky = )0(≠k ，当0>k 时，y 随x 增大而减小，当0<k 时，y 随x 增大而增大．例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．（1）写出用高表示长的函数关系式；（2）写出自变量x 的取值范围； （3）当3=x 厘米时，求y 的值； （4）画出函数的图像．分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式． 解 （1）因为长方体的长为y 厘米，宽为5厘米，高为x 厘米，所以1005=xy ，所以xy 20=．（2）因为x 是长方体的高．所以0>x ．即自变量x 的取值范围是0>x ． （3）当3=x 时，326320==y （厘米） （4）用描点法画函数图像，列表如下：x … 0.5 2 5 10 15 …y … 40 10 4 2 311 …描点画图如图所示．例 10 已知力F 所作用的功是15焦，则力F 与物体在力的方向通过的距离S 的图象大致是（ ）．说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系．解 据S F W ⋅=，得15=S F ⋅，即S F 15=，所以F 与S 之间是反比例函数关系，故选（B ）．例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？解：由物理知识可知，压力F ，压强p 与受力面积S 之间的关系是.SFp =因为是同一物体，F 的数值不变，所以p 与S 成反比例． 设下底面是0S ，则由上底面积是032S ，由SFp =，且0S S =时，200=p ，有.20020000S S pS F =⨯==因为是同一物体，所以0200S F =是定值．所以当032S S =时，).Pa (3003220000===S S SF p 因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕．说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的．例12 如图，P 是反比例函数xky =上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比例函数的解析式．分析 求反比例函数的解析式，就是求k 的值．此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解．解 设P 点坐标为),(y x ．因为P 点在第二象限，所以0,0><y x ． 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为y x ,-．又2=-xy ，所以2-=xy ．因为xy k =，所以2-=k ． 所以这个反比例函数的解析式为xy 2-=． 说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形的面积等于xky =中的k ． 例13. 当n 取什么值时，122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y 随x 增大而增大还是减小？分析 根据反比例函数的定义)0(≠=k xky 可知，122)2(-++=n n x n n y 是反比例函数，必须且只需022≠+n n 且112-=-+n n ．解 122)2(-++=n nx n n y 是反比例函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222n n n n ∴⎩⎨⎧-==-≠≠.10,20n n n n 或且即 1-=n ． 故当1-=n 时，122)2(-++=n nx n n y 表示反比例函数：xy 1-=．01<-=k ， ∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．三、反比例函数中考考点突破1、（2010甘肃兰州）已知点（-1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数x k y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是A ．321y y y >> B ．231y y y >> C ．213y y y >> D ． 132y y y >>2、（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线xy 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( )xyBA oA.-5B.-10C.5D.10 3、（2010四川眉山）如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A ．12B ．9C ．6D ．4DBAyxOC4、（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=x xky 的图像上。
专题09与反比例函数图象有关的拓展探究(原卷版)
专题09 与反比例函数图象有关的拓展探究1．有这样一个问题：探究函数11yx=+的图像与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数11yx=+的图像与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)函数11yx=+的自变量x的取值范围是______；(2)下表是y与x的几组对应值．求出m的值；(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图像；(4)写出该函数的一条性质______．2．小聪在学习过程中遇到了一个函数32yx=-，小聪根据学习反比例函数3yx=的经验，对函数32yx=-的图像和性质进行了探究．他先通过列表，并描出如图所示的图像上的部分点．(1)请你帮助小聪画出该函数的图像；(2)该函数图像可以看成是由3yx=的图像平移得到的，其平移方式为；(3)直接写出不等式323x->-的解集为．3．类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数2yx=的图象与性质，探究过程如下：(1)①列表：其中，m的值为______；②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点．已画出部分图像，请补全函数图像：③根据函数图象，写出该函数的一条性质______．(2)利用图像直接写出当2y≥时，x的取值范围是______．4．某班“数学兴趣小组”对函数6yx=的图象和性质进行了探究探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是__________；(2)下表是x与y的几组对应值．求m的值；(3)根据上表的数据将该函数图象补充完整并写出两条函数的性质；(4)已知函数42655y x=-+的图象如图所示，请直接写出不等式426655||xx-+>的解集．5．某“数学兴趣小组”对函数y62x=-的图象与性质进行了探究，探究过程如下：请将其补充完整．(1)绘制函数图象：列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝，n＝．描点：根据表中各组对应值（x ，y ），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图，画出了部分图象，请你把图象补充完整；(2)结合函数的图象，写出该函数的两条性质： ① ；② ．6．某校九年级数学兴趣小组对函数221y x =+-的图象和性质进行探究，通过描点、连线的方式画出了该函数的图象如图所示．请结合图象回答下列问题：(1)①函数221y x =+-的自变量x 的取值范围是______； ②请尝试写出函数221y x =+-的一条性质：______． (2)经观察发现，将函数2y x=的图象平移后可以得到函数221y x =+-的图象，请写出一种平移方法． (3)在上述平面直角坐标系中，画出2y x =+的图象，并结合图象直接写出不等式2221x x +≤+-的解集．7．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数6||||y xx=-的图象，并探究该函数性质．(1)绘制函数图象①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝．②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；(2)探究函数性质，请写出函数y＝6||x|x|的一条性质：；(3)运用函数图象及性质①写出方程6||x|x|＝5的解；②写出不等式6||x|x|≤1的解集．8．“卓越数学兴趣小组”准备对函数631yx=-+图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝6x的图像（如图1），然后画出了631yx=-+的图像，请在图1中画出此图像（草图）．(2)他们发现函数631yx=-+图像可以由y＝6x的图像平移得到，请写出平移过程．(3)他们发现可以根据函数631yx=-+图像画出函数631yx=-+的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．(4)他们研究后发现，方程631a x -=+中，随着a 的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a 的取值范围讨论方程解的情况．9．我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究 (1)将反比例函数4y x =的图像向左平移一个单位，可以得到函数41=+y x 的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）： ①该函数图像与y 轴的交点坐标是（0，4）；（ ）②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ） ③当x <0时，y 随x 的增大而减小．（ ）(2)在图② 中画出函数411y x =-+的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质； (3)问题解决：若函数21x my x +=+的图像可以由函数4y x=的图像通过平移得到，求m 的值； (4)深入思考：当a >0时，对于任意正数k ，方程1axkx b x +=+均无解，直接写出a ，b ，k 满足的数量关系．10．商丘市睢县古称襄邑，西汉时期为全国织锦生产供应中心，朝廷专门在此设服官，负责文武大臣官服供应．已知一块长方形织锦的两边长分别是2米与3米，现在要把这个长方形织锦按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原长方形织锦的一边加长a 米，另一边加长b 米，可得a 与b 之间的函数关系式b ＝123+a －2，某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y ＝123x +－2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：(1)类比反比例函数可知，函数y＝123x+－2的自变量x的取值范围是________，这个函数值y的取值范围是________．(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数y＝|123x+－2|的图象和性质，请根据函数y＝123x+－2的图象（图2），画出函数y＝|123x+－2|的图象；(3)根据函数y＝|123x+－2|的图象，写出两条函数的性质；(4)根据函数y＝|123x+－2|的图象解答下列问题：①方程|123x+－2|＝0有________个解，该方程的解是________；②如果方程|123x+－2|＝a有两个不相等解，则a的取值范围是________．11．参照学习函数的过程与方法，探究函数y2xx-=（x≠0）的图象与性质，因为y221xx x-==-，即y2x=-+1，所以我们对比函数y2x=-来探究．列表：描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y2xx-=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；(1)请把y 轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x ＜0时，y 随x 的增大而 ；（“增大”或“减小”） ②y 2x x -=的图象是由y 2x=-的图象向 平移 个单位而得到的： ③图象关于点 中心对称．（填点的坐标） (3)函数y 2x x-=与直线y ＝﹣2x ＋1交于点A ，B ，求△AOB 的面积． 12．已知函数()10y x x x=+>，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）．下表是y 与x 的几组对应值：请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究．(1)其中m =__________．(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象：(3)根据画出的函数图像特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律：13．某初中数学社团类比反比例函数的性质，利用网格坐标系对函数2|1|=-y x 的图像与性质进行探究．其报告册上探究过程如下（小正方形的单位长度为．．．．．．．．．．0.5）： (1)绘制函数图像，具体操作过程如下：①列表：下表是x 与的几组对应值，计算并填空；m =________；n =________；②描点：根据表中各组对应值(),x y ，描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出图像；(2)通过观察图像，补全函数的部分性质： ①函数图像关于直线_______对称；②函数图像与y 轴的交点坐标是（____，____）； ③方程22022|1|=-x 有_______个实数根； (3)若直线1y =交函数2|1|=-y x 的图像于A ，B 两点，连接OA ，过点B 作BC OA ∥交x 轴于点C ，则OABC S =四边形________．14．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数41y x =-性质及其应用的部分过程： (1)画函数图象： 列表：直接写出上表中a ，b 的值：=a ______；b =______；并描点、连线得到函数图象：(2)观察函数41yx=-的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①该函数图象由两支曲线组成，两支曲线分别位于第一、三象限内；②该函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形；③y的值随x值的增大而减小；④该函数最小值为4-，最大值为4．其中错误的是______；（请写出所有错误命题的序号）(3)结合图象，直接写出不等式411x>--的解集：______．15．某班数学兴趣小组对函数1y xx=+的图象和性质进行了探究，探究过程如下：(1)绘制函数图象①列表：下面是x与y的几组对应值，其中m=______．②描点：根据表中的数据描点(),x y，请补充描出点()1,m；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整；(2)探究函数性质 按要求填写函数性质： ①对称性：______．②最值：0x <时，此函数有最______值（填大或小） ③增减性：若y 随x 增大而减小，则x 的值范围是______． (3)函数图象和性质的运用已知矩形ABCD 一边的长为x ，面积为1，相邻两边之和为y ，当x =______时 ，y 有值最小． 16．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 21y x x ⎧-⎪=⎨⎪-的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：(1)点A（－5，y1），B（－72，y2），C（x1，52），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2 ；（填“>”，“=”或“<”）(2)当函数值y = 2 时，自变量x 的值为；(3)在直线x=－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3 = y4 ，则x3＋x4的值为；(4)若直线y = a 与函数图象有三个不同的交点，则a的取值范围为．17．请根据函数相关知识，对函数71xyx+=+的图象与性质进行探究，并解决相关问题．(1)请把表格补充完整，并在图中画出该函数图象．(2)观察图象，写出该函数的一条性质；(3)请结合（1）中函数图象，直接写出关于x的不等式711xxx++>+的解集．18．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数()()2111x y x x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）观察平面直角坐标系中描出的这些点的分布，画出函数图象； （2）观察函数图象并结合表格，回答下列问题：①若点()15,A y -，27,2B y ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，则1y _____2y ，1x ______2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值2y =时，求自变量x 的值；③在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，直接写出34x x +的值；④若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，根据图象直接写出a 的取值范围．。
反比例函数教案6篇
反比例函数教案6篇教学目标使学生对反比例函数和反比例函数的图象意义加深理解。
教学重难点重点：反比例函数的图象。
难点：利用反比例函数的图象解题。
教学过程一、情境创设解析式y=kx(k为常数，k≠0)图象形状双曲线（以原点为对称中心）k>0位置一、三象限增减性每一象限内，y随x的增大而减小k<0位置二、四象限增减性每一象限内，y随x的增大而增大二、例题讲解例1.如图是反比例函数的图象的一支。
（1）函数图象的另一支在第几象限？试求常数m的取值范围；（2）点都在这个反比例函数的图象上，比较、的大小例2.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求:(1)一次函数的解析式；（2）△AOB的面积。
三、课堂练习课本P70练习1、2题四、课堂小结1、反比例函数的图象。
2、反比例函数的性质。
五、课堂作业课本P72/第5题教学目标知识与技能：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。
过程与方法：通过学生自己动手列表，描点，连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数图象的有关性质，训练学生的概括总结能力。
情感、态度与价值观：让学生积极参与到数学学习活动中去，增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。
教学重点教学难点1)重点：画反比例函数图象并认识图象的特点。
2)难点：画反比例函数图象。
教学关键教师画图中要规范，为学生树立一个可以学习的模板教学方法激发诱导，探索交流，讲练结合三位一体的教学方式教学手段教师画图，学生模仿教具三角板，小黑板学法学生动手，动眼，动耳，采用自主，合作，探究的学习方法教学过程(包含课前检测、新课导入、新课讲解、课堂练习、小结、形成性检测、反馈拓展、作业布置)内容设计意图一：课前检测：1.什么叫做反比例函数；(一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数教案(优秀3篇)
反比例函数教案（优秀3篇）反比例函数教案篇一一、直接导入法所谓的直接导入法，就是指教师在开始上课的时候就向学生说明该堂课的学习目的、要求和内容等，将本堂课的学习任务、程序向学生交代，并点明本堂课的课题和重点。
运用直接导入法，开门见山地导入，学习的重点突出，主题也比较鲜明，还能节省时间，不仅能够快速地将学生的思维定向，还易于激起学生的学习兴趣，快速地进入教学。
案例“用单位圆中的线段表示三角函数值”师：之前我们学习了三角函数的定义，你们还记得是怎样定义的吗？生：是用两条线段的比值来定义三角函数的数值的。
师：是的，但是用两条线段的比值来定义有很多不方便的地方，如果我们只用一条线段来表示，就显得方便多了，这就是我们今天这堂课要学习的内容。
通过直接导入法进行课堂教学的导入，不但明确了该堂课的主题，还说明了该堂课的学习背景是在前面学习的基础上来延伸的。
二、复习导入法复习导入法就是指所谓的“温故而知新”，通过挖掘前后知识点之间的联系来导入新课，降低学生对新知识的陌生感和恐惧感，让学生能快速地将新的知识点融入到原有的知识结构当中，降低学生对新知识点的认知难度。
复习导入法的思路是通过对与新课内容有关的旧知识的复习来分析新旧知识的联系，并从该联系和新课内容的主题来进行导入设计，学生去思考，再由教师点题导入新课。
案例“反函数”师：前面我们已经学习了函数的基础知识，具体有哪些知识点呢？那么还记得吗？生：记得，主要有函数的定义、函数的定义域、值域等。
师：对，但是，你们有没有注意到有这样的一种比较特殊的函数呢？若存在这样两个函数f(x)=2x-1，f′(x)=0.5x+0.5，它们之间有什么关系呢？我们先来作图看看(如图)，由图可见，这两个函数是关于直线y=x对称的，像这样的两个函数我们就说这两个函数互为反函数。
那么判断一个函数是否存在反函数的条件有哪些呢？我们可以从前面学习过的函数的基础知识来总结。
生：（讨论、总结）函数的定义域和值域是一一映射的，且与反函数在相应的区间单调性是一致的。
21.5反比例函数的图像与性质
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判 断函数的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接判断 出函数在不同区间的单调性。
特殊值比较法
在函数的定义域内取特殊值进行比较，从而 判断函数的单调性。
பைடு நூலகம்
奇偶性判断方法
奇偶性定义法
根据奇偶性的定义，判断反比例 函数是否满足f(-x)=-f(x)或f(x)=f(x)。
3. 已知反比例函数 $y = frac{2x - 1}{x + 3}$， 试判断该函数图像所在 的象限，并求出该函数 在 $x = -1$ 和 $x = 2$ 处的函数值。
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函数值变化规律
当 $k > 0$ 时
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
反比例函数的图像是一条双曲线 ，且该双曲线以坐标原点为中心 对称。
反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。
当 $k > 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐减小；
反比例函数的图像关于原点对称。
拓展延伸内容探讨
反比例函数与直线的交点问题
21.5反比例函数的图像与 性质
汇报人：XXX 2024-01-26
目录
反比例函数教案汇总
反比例函数教案汇总一、教学内容本节课的教学内容选自人教版高中数学必修②，反比例函数。
具体章节为第二章函数第三节反比例函数。
本节课主要介绍了反比例函数的定义、性质及其图像，包括反比例函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
二、教学目标1. 理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质。
2. 能够绘制反比例函数的图像，并分析其特点。
3. 能够运用反比例函数解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点重点：反比例函数的定义、性质及其图像。
难点：反比例函数的图像特点，以及如何运用反比例函数解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
学具：教材、笔记本、彩色笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以生活中常见的比例关系为例，如商店打折时，商品的原价与折扣价成反比例关系。
引导学生思考反比例关系在实际生活中的应用。
2. 反比例函数的定义：讲解反比例函数的定义，引导学生通过实例理解反比例函数的概念。
3. 反比例函数的性质：讲解反比例函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，并通过例题进行解释。
4. 反比例函数的图像：5. 随堂练习：布置一些有关反比例函数的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 例题讲解：选取一些典型的例题，讲解如何运用反比例函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
7. 作业布置：布置一些有关反比例函数的作业题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计板书反比例函数的定义、性质及其图像特点，方便学生课后复习。
七、作业设计1. 请简要描述反比例函数的定义及其性质。
2. 绘制反比例函数y=k/x的图像，并分析其特点。
3. 给出一个实际问题，运用反比例函数解决。
八、课后反思及拓展延伸拓展延伸：研究反比例函数在实际生活中的应用，如测量、经济学等领域。
重点和难点解析一、反比例函数的定义反比例函数是数学中的一种基本函数形式。
具体来说，形如y=k/x 的函数称为反比例函数，其中k是常数，x不等于0。
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2000 (1)t=
(2)h= 1000
v
s
(3)p=
100 s
挑战自我
1、一定质量的氧气，测得体积为10 m 3 时密
度为1.43kg/m 3 那么它的密度r (kg/3m )与
体积v (3m )之间的关系是怎样的，并指出它是
什么函数关系？
r
=
14.3 v
反比例函数关系
2、已知函数 y =（m2+2m-3)x ︳m︱- 2
3.反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示
成：y k （k为常数，且k不为０）的形式，那么 x
称y是x的反比例函数 ，且K为比例系数。
注意：
常数 k 0
自变量Ｘ不能为零（因为分母为零时，该分式无意义）
xy = k
y k 可以写成 y kx1 注意Ｘ的指数为 1 x
1.在某一变化过程中,不断变化的量：变量 保持不变的量：常量
2.一般地.在某个变化中,有两个变量x和y, 如果给定一个x的值,相应地就确定了y的 一个值,那么我们称y是x的函数，其中x 叫自变量,y叫因变量.
函数的实质是两个变量之间的关系.
思考
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式 表示？这些函数有什么共同特点？
去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
(1)求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗? 如果是，请说出比例系数；
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
(3)利用y关于x的函数解析式， 说明当动力臂长扩大到原来 的n倍时，所需动力将怎样 变化？
用反比例函数的知识解释: 在我们使用撬棍时,为什
2 x2
⑵ 已知函数 y = xm -7是x正-1比= 例1x 函数,则 m = _8__ ； 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = _6__ 。
随堂练习
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数 式表示？ （1）一个游泳池的容积为2000 m 3 ,注满游泳池 所用的时间t (单位：h）随注水速度v(单位:m 3/h) 的变化而变化； （2）某长方体的体积为1000cm 3 ，长方体的高h （单位：cm）随底面积s（单位：cm2 ）的变化而 变化； （3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压强p随 物体与地面的接触面积s的变化而变化。
4
平方千米，人均
占有的土地面积s（单位：平方千米/人）随全市总人口
n（单位：人）的变化而变化。
S=1.68n×104
【反比例函数的定义】
1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数
V=14t63
y=10x00
S=1.68n×104
2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
都是 y= xk的形式,其中k是常数.
（1）京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速
度v（单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t（单
位(2)：某h住）宅的小变区化要而种变植化一；个面积V为=114t060302 m 的矩形草坪，
草坪的长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变
化.68×10
(1)若它是正比例函数,则 m = _3__ ；
（2）若它是反比例函数,则 m = _-_1_ 。
背景知识:
给我一个支点，我 可以撬动地球！
——阿基米德
背景知识:
杠阻
杆 定
力
律
阻力臂
动 力
动力臂
【例1】如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y
（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略
么 动力臂越长就越省力.
结束寄语
• 函数来自现实生活,函数是描述现实 世界变化规律的重要数学模型.
• 函数的思想是一种重要的数学思想, 它是刻画两个变量之间关系的重要 手段.
下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？
① y = 3x-1
④
2x
y=
3
②
y = 2x2
③
y=
2 3x
⑤ y=x-1
⑥ xy=3
(k= 2) 3
(k=1)
(k= 3)
练习:
⑴ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
（A）y
=
8
X+5
（B） y =
3 x
+7
（C）xy = 5
（D） y =