组合数学试卷A(2014-2015-1)答卷

2014-2015-1《组合数学》试卷（A ）答案
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．6()x y +所有项的系数和是（ 64 ）.
2．将5封信投入3个邮筒，有（ 243 ）种不同的投法.
3．在35⨯棋盘中选取两个相邻的方格（即有一条公共边的两个方格），有 （ 22 ）种不同的选取方法.
4．把9个相同的球放入3个相同的盒，不允许空盒，则有（ 7 ）种不同方式.
5．把5个不同的球安排到4个相同盒子中，无空盒，共有种（ 10 ）不同方法.
6．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有（ 44 ）种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子.
7. 在边长为a 的正方形中，任意给定九点，这些顶点的三角形中必有一个三角形的面积不大于（ 28a ）. 8．棋盘多项式 R (
)=（ x 2 +3x+1 ）.
二、单项选择题（每小题3分，共24分）
9．...0110p q p q p q r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ B ）
， min{,}r p q ≤. A 、1p q r +⎛⎫ ⎪-⎝⎭； B 、p q r +⎛⎫ ⎪⎝⎭； C 、1p q r +⎛⎫ ⎪+⎝⎭； D 、1p q r ++⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 10. ()n a b c d +++的展开式在合并同类项后一共有（ B ）项.
A 、n ；
B 、3n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭；
C 、4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； D 、!n .
11．多项式40123(24)x x x x +++中项2012x x x 的系数是（ C ）.
A 、 78 ；
B 、 104 ；
C 、 96 ；
D 、 48.
12．有4个相同的红球，5个相同的白球，则这9个球有（ B ）种不同的排列方式. Ａ、 63 ； Ｂ、 126 ； Ｃ、 252 ； Ｄ、 378.
13. 设,x y 均为正整数且10x y +≤，则这样的有序数对()y x ,共有（ D ）个.
A. 100 ；
B. 81 ；
C. 50 ；
D. 45.
14. 递推关系12432(2)n n n n a a a n --=-+≥的特解形式是（ B ）（α为待定常数）.
A 、2n n α⋅；
B 、2n α；
C 、32n n α；
D 、22n n α.
15．递推关系()6(1)9(2)f n f n f n =---的一般解是（ B ）（12,C C 为任意常数）.
A 、11233n n C C -+；
B 、12()3n
C C n +； C 、1(1)3n C n +；
D 、1233n n C C +.
16. 数列n a n =的普通母函数是（ D ）
A 、11t - ；
B 、1t t
- ； C 、2-1(1)t - ； D 、2(1)t t -.
三、解答题（每小题10分，共30分）
17. 用数字1、2、3、4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含一
个3的n 位数 ( n > 1 ).
解：由指数母函数
()4!2!11!2!1!21!3!1342223t
t t e e e t t t t t t t t A -+-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= =()()!134410n t n n n n n -+-∑∞=，!n t n 的系数()4314n
n n -+- 即为所求. …………10分
18. 解递推关系：12012749562(2),
,.44n n n a a a n n a a --=-++≥==， 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）
的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为
.3221n n n c c a ⨯+⨯= …………………………………（4分）
因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系
()226521≥++-=--n n a a a n n n （2）
有特解 B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得
2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An
化简得,2722+=-+n A B An 所以 解之得.411,21==B A 于是 ,41213221++
⋅+⋅=n c c a n n n ……………………………（8分） 其中21,c c 是待定常数. 由初始条件得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+++=++44941121324274112121c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(4
1121323≥++
+⨯=n n a n n n ……………………（10分）
19. 求1到1000之间不能被5、6 或8整除的自然数的个数.
解：设A 为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B 为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C 为1至1000的整数中能被8整除的数的个数. 则81201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A C B C A B A C B A 所以 4008412533125166200C B A =+---++=+---++=C
B A
C B C A B A C B A
即所求为：6004001000=-. ………………………………………………10分
四、证明题（每小题11分，共22分）
20. 设0[]:0,[]:(1)
(1),k x x x x x k k ==--+∈N ，s(,),(,)n k S n k 分别为第一、第二类Stirling 数，定义为：0[](,)n k n k x s n k x
==∑，0(,)[]n n k k x S n k x ==∑. 证明：
（1）第二类Stirling 数满足递推关系：(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥；
⎩⎨⎧=-=2
721
2A B A
（2）两类Stirling 数满足关系：
0,(,)(,)1,n
k m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑. 证明：（1） []1100011111(,)[][()](,)[](,)[](,1)[](,)[](,1)(,)[](,)[]n
n n
n n
k k k k k k n n n
k k k n k m k x x x S n k x x k k S n k x kS n k x S n k x kS n k x S n k kS n k x S n n x ++===++====⋅=-+=+=-+=-++∑∑∑∑∑∑因为1
10(1,)[]n n k k x S n k x ++==+∑，所以比较两等式的[]k x 的系数，即得递推关系：
(1,)(,1)(,),,1S n k S n k kS n k n k +=-+≥. …………………6分
（2）因为0
0(,)[],[](,)n k
n m k
k k m x S n k x x s k m x ====∑∑，所以 000(,)(,)(,)(,)n k n n n m m k m m k m
x S n k s k m x S n k s k m x ======∑∑∑∑
比较两等式的m
x 的系数，即得： 0,(,)(,)1,n
k m m n S n k s k m m n =≠⎧=⎨=⎩∑. ………………………11分
21. 考虑n 个数12,,,n a a a 的乘积123n a a a a ，依据乘法的结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积. 设n p 为n 个数乘积的n -1对括号插入的不同方案数.
（1）证明n p 的递推关系为：112211,(2)n n n n p p p p p p p n ---=+++≥；
（2）用母函数方法证明：221,(2).1n n p n n n -⎛⎫=≥ ⎪-⎝⎭
证明：（1） n 个数12,,,n a a a 的乘积的最后一次乘法运算是前k 个数的积与后n - k 个数的积之间进行，其中1,2,,1k n =-. 前k 个数可以有k p 种不同的方法加括号，而后n-k 个数可以用n k p -种不同的方法加括号. 这样，当k 取遍{}1,2,,1n -时，集所有可能性，
于是我们得到 112211,(2).n n n n p p p p p p p n ---=+++≥ ………………5分
（2）显然121p p ==，设1()n n n G x p x ∞==
∑，由递推公式11, 2.n n k n k k p p p n --==≥∑ 有
1111221
11121111()()
n n
n n n
n n n k n k k n k n n n k n k n k n k n k k n k n k k n G x p x x p x x p p x x p p x x p p x x p x p x x G x ∞∞∞-∞+--+======∞∞∞∞+-+======+=+=+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
2 [()]()0G x G x x ∴-+=，解得114().2
x G x ±-= 因为(0)0G =，所以“+”舍去，114()2
x G x --=. 又因为
所以，当1n ≥时，n p =
11分。