三角函数求值-学生版 (1)
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧
三角函数中的给值求值及给值求角问题的常见技巧1.三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。
（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- 〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。
思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。
解答：方法一：∵344ππα<<，3,0.4424ππππαα∴-<-<--<-<又34cos ,sin()4545ππαα⎛⎫-=∴-=-⎪⎝⎭。
又330,.444πππββπ<<∴<+<又35sin()413πβ+=3sin()cos[()]cos[()()]24433cos()cos()sin()sin()444412354362056()()135135656565πππαβαββαππππβαβα∴+=-++=-+--=-+--+-=--⨯-⨯-=+=方法二：3cos()sin()445ππαα-=+= 4,cos()24453533sin(),,41344312cos().4133sin()sin()4433[sin()cos()sin()cos ]44445665πππαπαπππββππβππαβαβππππαββα<+<∴+=-+=<+<∴+=-∴+=-+++=-+++++=2、三角函数的给值求角问题（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。
2010级数学专题 三角函数(求值化简)(学生版)
2010级数学专题 三角函数------求值化简专项训练选择题1.设θ为第二象限的角，则必有（ ）。
A .tan 2θ>c ot 2θB .tan 2θ<c ot 2θC .sin 2θ>cos 2θD .cos 2θ>sin 2θ 2．角α的终边上有一点P (a , a )，a ∈R ,且a ≠0, 则sin α的值是（ ）。
（A ）22 （B ）－22 （C ）＋22或－22 （D ）1 3.【07江西】．若tan()34πα-=，则cot α等于（ ）A ．2- B ．12- C ．12 D ．2 4．若sin x ＝5m 3m +-，cos x ＝5m m 24+-, 则m 的值是（ ）。
A.0 B.8 C.0或8 D.3<m <9 5．化简︒-1180sin 12的结果是（ ）。
A.cos100° B.cos80° C.sin80° D.cos206．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ）A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 7．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）AC ．45-D ．45 9．【2008年宁夏】23sin 702cos 10-︒=-︒（ ）A 12B 2C2 D 210．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭则c o s s i n αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12- Ｃ．12填空题1.设角α是第二象限的角，且2cos 2cosα-=α，试问2α是第 象限的角 2.【07江苏】．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则=βαtan tan ____ 3.（1）已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则23π3πsin(-α-)sin(-α)tan (2π-α)22ππcos(-α)(cos +α)cot(π-α)22的值 （2）若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为4．已知sin(α＋β)=－53，cos(βα-)=1312，且2π＜β＜α＜43π，则sin2α= . 5．（7）已知),2,4(,41)24sin()24sin(ππππ∈=-⋅+a a a 则1cot tan sin 22--+a a a =6=解答题1．化简：(1) sin(－107︒1)·sin ︒99＋sin(－︒171)·sin(－︒261)－cot ︒1089·cot(－︒630); (2) ︒+︒+︒︒⋅⋅︒⋅︒89sin 2sin 1sin 89tan 2tan 1tan 222 ; (3) α-α++α+α-sin 1sin 1sin 1sin 1.2．已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求x x xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值.3.已知71tan ,21)tan(-==-ββα且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值.4、已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.5.已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322βαβαπβπ+==∈∈（1）求sin ,cos .ββ (2)求cos α.6、已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.7．已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量)sin ,(cos ),3,1(A A n m =-= ，且1=⋅n m .（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .8．已知ABC ∆的面积为22AB AC ∙= .（1）求A tan 的值；（2）求)4πcos(12cos 2sin 22sin 22A A A A --+的值9．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<．（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求β．10.的值。
第三章 三角恒等变形-1(学生版)
∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
.
事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.
[解](1)∵ ,且 是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当 是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
, ；
当 是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
12有关三角函数的计算(1)
1.2有关三角函数的计算(1)【课前热身】1. sin30°= , cos45°= , tan60°= .答案：122. 用计算器求：（1）sin18°= ；(2)cos36°= ；(3)tan63°= . 答案：(1)0.3090 (2)0.8090 (3)1.96263. 用计算器比较大小:：sin20° sin40°；cos55° cos75°. 答案：< >4.计算: °tan 40tan50= . 答案：1【讲练互动】【例1】 (1)用计算器求：sin20°= ；sin40°= ；sin60°= ；sin80°= ； 由此，可用不等号连接：sin20° sin40° sin60° sin80°(2)用计算器求：cos15°= ；cos35°= ；cos55°= ； cos75°= ； 由此，可用不等号连接：cos15° cos35° cos55° cos75° ； 由此你能得到什么结论吗?【解】(1) 0.3420 0.6428 0.8660 0.9848 < < < (2) 0.9659 0.8192 0.5736 0.2588 > > >结论：锐角的正弦值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小.【变式训练】1. 用计算器求下列各式的值．（精确到0.0001 ) (1) sin15°18/+cos7°30/-tan54°42/； (2) sin48°25/+cos23°27/-tan48°•tan 81°52/. 【解】(1)2.6677 (2) 9.4366【例2】在△ABC 中，∠C =90°，已知AB =10cm, A ∠=42°, 求△ABC 的周长和面积.(精确到0.1cm)【解】∵∠C =90°，∴sin A =BC AB , cos A =ACAB, ∴BC =AB sin42°, AC =AB cos42°. ∴△ABC 的周长=AB (1+ sin42°+ cos42°)≈24.1cm ；△ABC的面积=12AB2·sin42°·cos42°≈24.9cm2.【绿色通道】求值时选项将所求的周长和面积表示成已知边长和已知角的三角函数的代数形式, 再将边长和角度代入计算.【变式训练】2. 在某一时刻测得太阳光线与水平地面成44°角, 一棵竖起生长的松树在水平地面上的影子长为12m,则这棵松树的高度为(精确到0.1m).解析：树高=12·tan44°≈11.6m答案：11.6m【同步测控】基础自测1. 四位学生用计算器求cos27°40′的值正确的是……………………………………（）A. 0.8857B.0.8856C. 0. 8852D. 0.8851答案：B2. 锐角A>60°时,∠A的余弦值…………………………………………………………（）A.小于2B.大于32C.大于12D.小于12答案：D3. 下列不等式中能成立的是………………………………………………………（）A. cos5°<cosl0°<cos20°B. tan15°>tan35°＞tan55°C. cosl0°<tan70°<tan60°D. sin80°>sin55°>sin30°答案：D4. 给出下列式子：①cos45°>sin60°，②sin78°＞cos78°，③sin30°>tan45°, ④sin25°=cos65°. 其中正确的是……………………………………………………………（）A．①③B．②④C．①④D．③④答案：B5. 与°°sin34cos34的值相等的是……………………………………………………………（）A. sin68°B. cos68°C. tan68°D. tan34°答案：D6.计算: sin25°+cos25°= .(保留四个有效数字)答案：1.3297. 用不等号连接右面的式子：cos40°_____cos20°. 答案：<8. 若α为锐角，且sin α=35，则tan α等于 . 答案：349.计算：(1) sin20°·cos20°(结果保留四个有效数字)； (2) sin 266°+cos 266°-tan27°·tan63°.答案：(1) 0.3214 (2) 010. 如图，小红从A 地向北偏东28°的方向走100米到B 地，再从B 地向正西走200米到C 地，求这时小红距A 地的距离.解：∵AB =100m, ∠B =28°, ∴AD =AB ·sin B =100sin28°, BD = AB ·cos B =100cos28°. ∴CD =200-100cos28°. ∴AC121.17m.能力提升11.(2007滨州)如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是…………（ ）A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡 C. tan A 的值越小，梯子越陡 D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关 答案：A12. ∠A 是锐角，tanA>3，则∠A ……………………………………………………（ ） A ．小于30° B ．大于30° C ．小于60° D ．大于60° 答案：B13. 下列结论中(其中α是锐角)；①sin cos 1αα+≤；②cos 22cos αα=；③当°°090αβ<<<时, 0sin sin 1αβ<<<；④sin cos tan ααα=⨯其中正确的 .答案：③④14. 如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C 处测得对岸一棵树A 在正北东第15题南方向,测量员向正东方向走180米到点B 处,测得这棵树在南偏西68°的方向,求河的宽度（结果保留四个有效数字）.解：在Rt △ABC 中, BC =180m, ∠A =68°. ∴AC =18077.72tan tan 68BC A =≈m.15. °|tan 50tan 60|.-解：原式=tan50°-tan30°+tan60°-tan50°=+=创新应用16. 阅读下面的材料, 再回答问题.三角函数中, 常用公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 求sin75°的值,即sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=. 请你用公式cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 求cos75°的值.解：cos75°=cos(30°+45°)=cos30°·cos45°-sin30°·sin45°1.2有关三角函数的计算(2)【课前热身】1. 用计算器求下列三角函数值．(1)sin37°= ； (2)cos15°48/= ；(3)tan56°38/16//= . 答案：(1)0.6018 (2)0.9622 (3)1.5188 2.若tan 1α=, 且α为锐角,则α= 度. 答案：453.若sin 0.4515β=, 则锐角β= . 答案：26°50/24//4.已知,αβ为锐角, 若cos cos αβ>, 则α β(填”>””=”或”<”) 答案：<【讲练互动】【例1】已知锐角α的三角函数值，使用计算器求锐角α.(精确到1′) (1)sin α=0.4853；(2)cos α=0.3456；(3)tan α=2.808. 【解】(1)α≈29°02/；(2) α≈69°47/；(3)α≈70°24/. 【变式训练】1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =5, BC =12, 求△ABC 的各个锐角(精确到1′). 【解】在Rt △ABC 中，12tan 5BC A AC ===2.4, ∴∠A ≈67°23/. ∴∠B =90°-∠A =22°37/.【例2】如图, ⊙O 中, 直径AB ⊥弦CD 于点E , 若BE =14CD =4, 求∠COD 的度数.【解】∵直径AB ⊥弦CD , ∴∠COD =2∠EOC , CE =12CD =8. 设⊙O 的半径为R . 在Rt △OCE 中, OC 2=CE 2+OE 2, 即R 2=82+(R -4)2. 解得R =10. ∴tan ∠COE =841043CE OE ==-, ∴∠COE ≈53°08/, ∴∠COD =2∠COE =106°16/. 【变式训练】2. 某幼儿园中的滑梯如图, 已知滑梯长AB =10m, BC =4m, 求此滑梯的坡角A 的大小(精确到1′).ABCα解：在Rt △ABC 中, sin A =40.410BC AB ==, ∴∠A ≈23°35/. 【同步测控】基础自测1.(2007韶关)已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A =…………………………………（ ） A.30° B.45° C.60° D.75° 答案：A2.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)（ ）A. 30°B. 37°C. 38°D.39°答案：B3. 已知β为锐角，且tan β=3.387, 则β等于……………………………………………（ ） A.73°33′ B. 73°27′ C. 16°27′ D. 16°21′ 答案：A4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果sin A =12，那么，下列等式中正确的是…………（ ）A. tan AB.cos B =2C.tan BD. tan B 答案：C5.1A =,则锐角A 的度数为 . 答案：45°6.已知若sin α=cos30°，则锐角α= . 答案：60°7. 要把7米长的梯子上端放在距地面5米高的阳台边沿上，则梯子摆放时与地面所成的角度为 .(精确到1°)答案：46°8.已知锐角α的三角函数值,使用计算器求锐角α(精确到1秒). (1) sin 0.8792α=； (2) cos 0.3469α=； (3) tan 1.6982α=. 答案：(1) 61°33′；(2) 69°42′；(3) 59°30′.9. 已知α的锐角，且sin α=0.7，则cos(90°-α)= ,由此你能发现sin α与cos(90°-α)的关系吗？答案：0.7 sin α=cos(90°-α)10.若用三根长度分别为50,50,40cm cm cm 的钢条焊成一个等腰三角形,求这个等腰三角形的各个角的度数(精确到1′).解：如图, AB=AC =50cm, BC =40cm. 作AD ⊥BC 于D , CE ⊥AB 于E , 则BD=DC =20cm, 则AD=∵12BC ·AD =12AB ·CE , ∴CE=BC AD AB ⋅==. 在Rt △ABD 中, cos B =200.450BD AB ==, ∴∠ACB =∠B ≈66°25′. 在Rt △ACE 中, sin ∠BAC=CE AC ==, ∴∠BAC ≈47°09′. 能力提升11. 已知 5.0cos <α，那么锐角α的取值范围是…………………………………（ ） A. 60°＜α＜90° B. 0＜α＜60° C. 30°＜α＜90° D. 0°＜α＜30° 答案：A12. 在△ABC 中，∠A ，∠B都是锐角，且21(sin )cos 02A B -+-=，则△ABC 的形状是………………………………………………………………………………………（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定 答案：B13. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α+20°)=1，你猜想锐角α的度数应是……（ ） A.40° B.30° C.20° D.10° 答案：D14.已知°3tan cos302α=,求锐角α的值. 解：tan 32α==∴α=60°. 15. 如图, Rt △ABC 中，∠C ＝90°, AD 平分∠B A C. 若AD =5, AC =4, 求∠B 的度数.解：在Rt △ACD 中, cos ∠CAD =45AC AD =, ∴∠CAD ≈36°52′. ∵AD 平分∠BAC , ∴∠BAC =2∠CAD =73°44′. ∵∠C =90°, ∴∠B =16°16′.E DCBA创新应用16.如图,拱形桥的水面上部分呈圆弧形AB ,测得AB 两端的距离是200m,AB 所在的圆的半径是1000m,求 AB 的长. 解：设AB 的圆为O 点, 作OD ⊥AB 于C , 交 AB 于D . 则AC =12AB =100m, ∠AOB =2∠AOC . 在Rt △OAC 中, sin ∠AOC =1000.11000AC OC ==, ∴∠AOC =5.74°, ∴∠AOB =11.48°. ∴ 1000200.4180AOBAB π∠=⨯≈m.B。
三角恒等变换---最全的总结_-学生版
三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:升幂公式- 21+cos = 2 cos —21-cos =2 sin 221 ± sin =( sin—22cos — )22 21=sin + cossin =2 sincos22降幂公式.21 cos 2cos 21 cos 2sin 22+ cos=1sin221 .sin cos = —sin 22考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、和升幕公式的两角和与差的三角函数关系sin( 1 )=sin cos cos sincos()=cos cos sin sin■丄 .、 tantantan( )’1 tan tan倍角公式sin2 =2sin cos 22cos2 =cos-sin=2cos 2 -1=1-2sin 2tan 22ta n 1 tan 2sin — 2 i1 cos1 cos\ 2 ，c °s2 ： 2tan — 21 cos _ 1 cos sin \ 1 cos sin 1 cos:cosGi HJ"I"UffTI!! I I ! I ■— —«■应用。
（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值一求二（7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换（5）弦切互化 （6 ）知半角公式平方关系2 2sin + cos =1 ,商数关糸sin -------- =ta n（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
互余两 角的正余弦相等。
”快速进行逻辑判断。
注意构造两角和差因子9、（构造两角和差因子 +两边平方）【2015高考四川，理12】sin15 10、(逆向套用公式)tan 23 ° + tan 37 °+ ■. 3tan 23 °an 37。
(整理版)用例题说话三角函数式的求值问题
用例题说话——三角函数式的求值问题根据任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值，要特别注意这个角所在的象限，以及因此出现的一组或两组结果的情况：1．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，且角所在的象限也已指定，那么只有一个结果；2．如果正弦、余弦、正切中的一个具体数值，但未指定角所在的象限，那么要按角所在的象限进行讨论，分别写出答案，这时一般有两组结果；3．如果的三角函数值是用字母给出的，且角所在的象限没有指定，那么角可能在四个象限〔也可能是轴线角〕，但可以把四个象限的角的三角函数值分成两组〔每组为两个象限〕去求，所以形式上一般仍有两组结果。
例1 ()()60sin cos 8169παπα---=，且,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，试求sin α与cos α的值。
分析：欲求sin α与cos α的值，只需建立关于sin α与cos α的两个方程，显然可利用诱导公式化简条件得一方程，再注意到平方关系，即可使问题获解。
解析：条件可化为1202sin cos 169αα=， 又∵22sin cos 1αα+=，∴()()2228949sin cos ,sin cos 169169αααα+=-=。
∵,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0αα>>，∴sin cos 0αα->， ∴177sin cos ,sin cos 1313αααα+=-=， ∴125sin ,cos 1313αα==。
评注：一般地，由sin cos αα可导出sin cos αα±，反之亦然，即()()22sin cos 11sin cos sin cos 22αααααα+---==。
例2 sin m α=()0,1m m ≠≠±，试用m 表示α的其它三角函数值。
分析：所给α的正弦值为字母m ，必须对m 进行讨论，以确定三角函数值的符号。
解析：由于0,1m m ≠≠±，∴所求三角函数均有意义。
三角函数求值的几种方法
三角函数求值的几种方法三角函数是数学中重要的一部分，它与圆的关系密切。
三角函数的求值是在给定一个角度时，计算其正弦、余弦、正切等函数值的过程。
本文将介绍三角函数求值的几种常见方法。
一、定义法三角函数的定义法是最基本的方法，它直接使用三角函数的定义公式进行计算。
例如，正弦函数的定义为sin(x) = b/c，其中b和c分别为角x所对应直角三角形的对边和斜边的长度。
通过观察角度对应的三角形特点，可以求出函数值。
二、图表法三角函数图表法是通过查阅三角函数表格，根据给定的角度，在表格中查找对应的函数值。
例如，可以查阅三角函数表格得到30°的正弦函数值为0.5三、计算器法计算器法是利用现代科技设备来进行三角函数求值的方法。
几乎所有的计算器都内置了三角函数求值功能，只需输入角度值，即可得到相应的函数值。
四、迭代法迭代法是一种数值计算方法，通过连续迭代计算来逼近精确解。
使用迭代法计算三角函数值时，可以使用泰勒级数展开式或欧拉公式来逼近函数值。
例如，sin(x)可以展开为无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! +x^5/5! - x^7/7! + ...，通过截取有限项和进行计算，可以得到近似的函数值。
五、差值法差值法是一种数值逼近方法，通过已知点的函数值来估计其它点的函数值。
三角函数的差值法是利用已知的函数值，通过插值公式逼近所求函数值。
例如，当已知sin(30°) = 0.5，sin(45°) = 0.7071时，可以使用线性插值的方法来估计sin(40°)的值。
六、三角恒等式法三角函数有很多恒等式，可以用于简化三角函数的计算。
例如，利用和差角公式sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，可以将复杂角度的三角函数值转化为已知角度的三角函数值来计算。
总结：本文介绍了三角函数求值的几种常见方法，包括定义法、图表法、计算器法、迭代法、差值法和三角恒等式法。
历年高考数学真题精选15 三角函数化简求值
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十五 三角函数化简求值（学生版）一．选择题（共24小题）1．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>2．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，cos (α= ) A ．25-B ．15-C ．15D ．253．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是()A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<4．（2016•新课标Ⅲ）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．16255．（2016•新课标Ⅱ）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725B ．15C ．15-D ．725-6．（2014•新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=7．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．34-C ．15-D ．158．（2013•大纲版）若α为第二象限角，5sin 13α=，则cos (α= ) A ．1213-B ．513-C ．513D ．12139．（2012•辽宁）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．110．（2011•福建）若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α的值等于( )ABCD11．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos (θθθθ+-= ) A ．43-B ．54 C ．34-D ．4512．（2019•新课标Ⅰ）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+13．（2019•上海）已知tan tan tan()αβαβ=+．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对14．（2017•全国）cos20cos25sin 20sin 25(︒︒-︒︒= ) AB ．12C ．0 D． 15．（2015•重庆）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1B ．2C ．3D ．416．（2019•全国）已知tan 2A =，则2sin 2(1cos2A cos AA+=+ )A ．32B ．52C ．3D ．517．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD18．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= ) A ．15BCD ．119．（2017•新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．7920．（2013•浙江）已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2(α= ) A ．43B ．34C ．34-D ．43-21．（2013•新课标Ⅱ）已知2sin 23α=，则2cos ()(4πα+= ) A ．16B ．13C ．12D ．2322．（2012•山东）若[4πθ∈，]2π，sin 2θ=sin (θ= )A ．35B ．45CD ．3423．（2012•江西）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2(θ= )A ．15B ．14 C ．13D ．1224．（2012•江西）已知2()sin ()4f x x π=+，若(5)a f lg =，1()5b f lg =，则( )A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=二．填空题（共10小题）25．（2019•新课标Ⅰ）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 26．（2019•江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 27．（2017•上海）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 ．28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin β= ．29．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ． 30．（2018•新课标Ⅱ）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 31．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos()αβ-= ．32．（2017•新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα-= ．33．（2016•浙江）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A = ，b = ．34．（2016•新课标Ⅰ）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= ．三．解答题（共1小题）35．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十五 三角函数化简求值（教师版）一．选择题（共24小题）1．（2014•新课标Ⅰ）若tan 0α>，则( ) A ．sin 0α> B ．cos 0α> C ．sin20α> D ．cos20α>【答案】C【解析】tan 0α>，∴sin 0cos αα>，则sin22sin cos 0ααα=>．故选：C ． 2．（2013•广东）已知51sin()25πα+=，cos (α= ) A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2)sin()cos 2225πππαπααα+=++=+==．故选：C ． 3．（2004•北京）已知sin()0θπ+<，cos()0θπ->，则下列不等关系中必定成立的是()A ．sin 0θ<，cos 0θ>B ．sin 0θ>，cos 0θ<C ．sin 0θ>，cos 0θ>D ．sin 0θ<，cos 0θ<【答案】B【解析】因为sin()0θπ+<，所以sin 0θ-<，即sin 0θ>； 又因为cos()0θπ->，所以cos 0θ->，即cos 0θ<．故选：B ． 4．（2016•新课标Ⅲ）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2(αα+= ) A ．6425B ．4825C ．1D ．1625【答案】A【解析】3tan 4α=，22222314cos 4sin cos 14tan 644cos 2sin 29sin cos tan 125116ααααααααα+⨯++∴+====+++． 故选：A ．5．（2016•新课标Ⅱ）若3cos()45πα-=，则sin 2(α= )A ．725 B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】法31:cos()45πα︒-=，297sin 2cos(2)cos2()2cos ()1212442525πππαααα∴=-=-=--=⨯-=-，法32:cos()cos )425πααα︒-=+=，∴19(1sin 2)225α+=， 97sin 2212525α∴=⨯-=-，故选D ．6．（2014•新课标Ⅰ）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-= B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=【答案】C 【解析】由1sin tan cos βαβ+=，得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos sin cos αβαβα=+， sin()cos sin()2παβαα-==-，(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈， ∴当22παβ-=时，sin()sin()cos 2παβαα-=-=成立．7．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且3tan 4α=-，则sin cos (αα+= )A ．75-B ．34-C ．15-D ．15【答案】C 【解析】sin 3tan cos 4ααα==-，①，22sin cos 1αα+=，②， 又α为第二象限的角，sin 0α∴>，cos 0α<， 联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5α=-，则1sin cos 5αα+=-．故选C ． 8．（2013•大纲版）若α为第二象限角，5sin 13α=，则cos (α= ) A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】A【解析】α为第二象限角，且5sin 13α=，12cos 13α∴==-．故选A ．9．（2012•辽宁）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1- B． CD ．1【答案】A【解析】已知sin cos (0,)αααπ-=∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-， 故322πα=，34πα∴=，tan 1α=-．故选A ． 10．（2011•福建）若(0,)2πα∈，且21sin cos24αα+=，则tan α的值等于( )ABCD【答案】D【解析】由2cos212sin αα=-，得到221sin cos21sin 4ααα+=-=， 则23sin 4α=，又(0,)2πα∈，所以sin α=，则3πα=，所以tan tan3πα==D ．11．（2009•辽宁）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos (θθθθ+-= ) A ．43-B ．54 C ．34-D ．45【答案】D【解析】22sin sin cos 2cos θθθθ+-2222sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθ+-=+22tan tan 2tan 1θθθ+-=+4224415+-==+．故选D ．12．（2019•新课标Ⅰ）tan 255(︒= ) A．2-B．2-+C．2D．2+【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30+︒+︒======+-︒︒D ．13．（2019•上海）已知tan tan tan()αβαβ=+．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限； 则( ) A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对【答案】D【解析】由tan tan tan()αβαβ=+，即为tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=-，设tan m α=，tan n β=，可得22(1)0n m n m m +-+=，若0m >，可得上式关于n 的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得0n >， 即有1m >，考虑△23()(1)4f m m m ==--，22115()2288()88f m m m m '=--=---，当1m >时，()f m 递减，可得()f m f <（1）40=-<，则方程无解， β在第三象限不可能，故①错；可令1tan 3α=-，由tan tan tan()αβαβ=+，即为tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=-，可得1tan 13tan131tan 3βββ--=+，解得tan 6β=-±，存在β在第四象限，故②对．14．（2017•全国）cos20cos25sin 20sin 25(︒︒-︒︒= ) AB ．12C ．0D ． 【答案】A【解析】因为cos20cos25sin20sin25︒︒-︒︒cos(2025)=︒+︒． 故选：A ．15．（2015•重庆）若tan 2tan 5πα=，则3cos()10(sin()5παπα-=- ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】tan 2tan 5πα=，则33333cos()cos cos sin sin cos tan sin1010101010sin()sin cos cos sin tan cos sin 55555πππππααααπππππαααα-++==---sin335cos2sin 331010cos2tan sin cos 1051052tan cos sin sin55552cos sin 55cos 53333cos cos 2sin sin cos()sin sin5105105105102sincoscossinsincossin()55555555cos sin sin 105ππππππππππππππππππππππππππππππππ++==--+-+==-+-+=31331cos [cos()cos()]cos cos10102510510102101212sin cos sin sin5525253cos 3cos3cos10101032sin sin()cos521010πππππππππππππππππππ-+--+======-16．（2019•全国）已知tan 2A =，则2sin 2(1cos2A cos AA+=+ )A ．32B ．52C ．3D ．5【答案】B【解析】tan 2A =，则222sin 22sin cos 2tan 151cos2222A cos A A A cos A A A cos A +++===+．17．（2019•新课标Ⅱ）已知(0,)2πα∈，2sin2cos21αα=+，则sin (α= )A ．15BCD【答案】B【解析】2sin2cos21αα=+，∴可得：24sin cos 2cos ααα=，(0,)2πα∈，sin 0α>，cos 0α>，cos 2sin αα∴=，22222sin cos sin (2sin )5sin 1ααααα+=+==，∴解得：sin α=B ． 18．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15BCD ．1【答案】B【解析】角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=， 22cos22cos 13αα∴=-=，解得25cos 6α=，|cos |α∴|sin |α∴==，|sin ||tan |||||21|cos |b a a b ααα-==-===-．故选B ．19．（2017•新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2(α= ) A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A【解析】4sin cos 3αα-=，216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα∴-=-=-=， 7sin 29α∴=-，故选A ．20．（2013•浙江）已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2(α= ) A ．43B ．34C ．34-D ．43-【答案】C【解析】由sin 2cos αα+=，则25(sin 2cos )2αα+=，即225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=， 可得224tan 4512tan tan ααα++=+，解得tan 3α=．那么22tan 3tan 214tan ααα==--．故选C ． 21．（2013•新课标Ⅱ）已知2sin 23α=，则2cos ()(4πα+= )A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A 【解析】2sin 23α=， 211121cos ()[1cos(2)](1sin 2)(1)4222236ππααα∴+=++=-=⨯-=．故选A ．22．（2012•山东）若[4πθ∈，]2π，sin 2θ=sin (θ= )A ．35B ．45CD ．34【答案】D【解析】由[4πθ∈，]2π，得2[2πθ∈，]π，又sin 2θ=1cos 28θ∴===-， 2cos212sin θθ=-，sin 0θ>，3sin 4θ∴==，故选D ． 23．（2012•江西）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2(θ= ) A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】2222sin cos 2tan 221sin 22sin cos 1sin cos tan 142tan tan θθθθθθθθθθθ======+++24．（2012•江西）已知2()sin ()4f x x π=+，若(5)a f lg =，1()5b f lg =，则( )A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=【答案】C【解析】21cos(2)1sin 22()sin ()422x x f x x ππ-++=+==又(5)a f lg =，1()(5)5b f lg f lg ==-，1sin 251sin 25122lg lg a b +-∴+=+=，1sin 251sin 25sin 2522lg lg a b lg +--=-= 故C 选项正确二．填空题（共6小题）25．（2019•新课标Ⅰ）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ． 【答案】4- 【解析】3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-2cos23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11t -，令2()231g t t t =--+的开口向下，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-． 26．（2019•江苏）已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ．【解析】由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan 41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos215tan tan ααα-==+，34sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-． 综上，sin(2)4πα+．27．（2017•上海）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 ． 【答案】4π 【解析】根据三角函数的性质，可知1sin α，2sin 2α的范围在[1-，1]， 要使121122sin 2sin 2αα+=++，1sin 1α∴=-，2sin 21α=-．则：1122k παπ=-+，1k Z ∈．22222k παπ=-+，即224k παπ=-+，2k Z ∈．那么：12123(2)4k k πααπ+=+-，1k 、2k Z ∈． 12123|10||10(2)|4k k ππααππ∴--=+-+的最小值为4π． 28．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则sin β= ．【答案】13【解析】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，2k αβππ∴+=+，k Z ∈， 1sin 3α=，1sin sin(2)sin 3k βππαα∴=+-==． 29．（2015•四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是 ． 【答案】1-【解析】sin 2cos 0αα+=，即sin 2cos αα=-， tan 2α∴=-，则原式222222sin cos 2sin cos 2tan 1511141cos cos sin cos tan αααααααααα----=====-+++， 30．（2018•新课标Ⅱ）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 【答案】12-【解析】sin cos 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin cos cos 1ααββ++=，①， cos sin 0αβ+=，两边平方可得：22cos 2cos sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin cos cos sin )1αβαβ++=，即22sin()1αβ++=， 2sin()1αβ∴+=-． 1sin()2αβ∴+=-．。
三角函数求值的八种常用方法
ʏ摆扬虎三角函数求值的常用方法有:巧用三角函数的定义,弦切互化,和积转换, 1 的变换,巧用三角公式,以及利用三角函数的图像等㊂下面举例分析,供同学们学习与参考㊂方法一:巧用三角函数的定义例1 已知角α的终边经过点(3,-4),则s i n α+1c o s α=㊂因为角α的终边经过点(3,-4),所以r =5㊂由三角函数的定义得s i n α=-45,c o s α=35,所以s i n α+1c o s α=-45+53=1315㊂评注:已知角α终边上一点P (x ,y ),且P (x ,y )不是单位圆上的点,可先求r =x 2+y 2,再求s i n α=y r ,c o s α=x r的值㊂方法二:巧用弦切互化例2 若s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,则s i n θ㊃c os θ=㊂由s i n θ+2c o s θs i n θ-c o s θ=2,整理可得t a n θ=4,所以s i n θc o s θ=s i n θc o s θs i n 2θ+c o s 2θ=t a n θ1+t a n 2θ=417㊂评注:解答本题的关键是利用公式t a n α=s i n αc o s α进行弦切互化㊂方法三:巧用和积转换例3 如果s i n x +c o s x =15,且0<x <π,那么ta n x 的值是㊂由已知等式两边平方得s i n x c o s x =-1225㊂因为0<x <π,所以s i n x >0,c o s x <0㊂结合s i n 2x +c o s 2x =1解得s i n x =45,c o s x =-35,所以t a n x =-43㊂评注:解答本题的关键是利用(s i n x ʃc o s x )2=1ʃ2s i n x c o s x 和s i n 2x +c o s 2x =1的关系进行变形和转化㊂方法四:巧用 1 的变换例4 化简s i n 2α+c o s 4α+s i n 2αc o s 2α的结果是㊂原式=s i n 2α+c o s 2α(c o s 2α+s i n 2α)=s i n 2α+c o s 2α=1㊂评注:解题时要灵活应用 1的变换,常见的 1 的变换有1=s i n 2θ+c o s 2θ=c o s 2θ㊃(1+t a n 2θ)=t a nπ4等㊂方法五:巧用诱导公式例5c o s (-585ʎ)s i n 495ʎ+s i n (-570)ʎ的值等于;s i n 585ʎc o s 1290ʎ+c o s (-30ʎ)s i n 210ʎ+t a n 135ʎ的值等于㊂结合诱导公式求值㊂原式=c o s (360ʎ+225ʎ)s i n (360ʎ+135ʎ)-s i n (360ʎ+210ʎ)=c o s (180ʎ+45ʎ)s i n (180ʎ-45ʎ)-s i n (180ʎ+30ʎ)=-c o s 45ʎs i n 45ʎ-(-s i n 30ʎ)=-2222+12=2-2㊂原式=s i n585ʎc o s1290ʎ+c o s30ʎ㊃s i n 210ʎ+t a n 135ʎ=s i n (360ʎ+225ʎ)c o s (3ˑ360ʎ+210ʎ)+c o s 30ʎs i n210ʎ+t a n (180ʎ-45ʎ)=s i n225ʎc o s 210ʎ+c o s 30ʎs i n210ʎ-t a n 45ʎ=s i n (180ʎ+45ʎ)c o s (180ʎ+30ʎ)+c o s 30ʎs i n (180ʎ+30ʎ)-t a n45ʎ=s i n45ʎ㊃c o s 30ʎ-c o s 30ʎs i n 30ʎ-t a n 45ʎ=22ˑ32-32ˑ12-1=6-3-44㊂评注:利用诱导公式求任意角的三角函数值的四个步骤: 负化正 ,即用三角公式转31知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.化; 大化小 ,即用三角公式将角化为0ʎ到360ʎ间的角; 小化锐 ,即用三角公式将大于90ʎ的角转化为锐角; 锐求值 ,即得到锐角三角函数后求值㊂方法六:巧用和差公式例6 若s i n 2α=55,s i n (β-α)=1010,且αɪπ4,π,βɪπ,3π2,则α+β的值是㊂因为αɪπ4,π,所以2αɪπ2,2π ㊂因为si n2α=55>0,所以2αɪπ2,π ,所以αɪπ4,π2 ,且c o s2α=-255㊂又因为s i n (β-α)=1010,βɪπ,3π2,所以β-αɪπ2,5π4,c o s (β-α)=-31010㊂故c o s (α+β)=c o s [(β-α)+2α]=c o s (β-α)c o s2α-s i n (β-α)s i n2α=-31010ˑ-255-1010ˑ55=22㊂又α+βɪ5π4,2π,所以α+β=7π4㊂评注:三角函数常见的角变换有:α=(α-β)+β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等㊂方法七:巧用倍角公式例7 已知函数f (x )=s i n2x -c o s 2x -23s i n x c o s x (x ɪR ),则f 2π3的值为㊂因为f (x )=s i n 2x -c o s 2x-23s i n x c o s x =-c o s 2x -3s i n 2x =-2s i n 2x +π6 ,所以f 2π3=-2s i n4π3+π6=-2s i n 3π2=2㊂评注:三角函数的角变换的常见公式有:1ʃs i n2α=s i n 2α+c o s 2αʃ2s i n αc o s α=(s i n αʃc o s α)2,1+c o s2α=2c o s 2α,1-c o s 2α=2s i n 2α,c o s 2α=1+c o s 2α2,s i n 2α=1-c o s 2α2等㊂方法八:巧用三角函数的图像例8 图1是函数f (x )=A s i n (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的图像的一部分,对任意的x 1,x 2ɪ[a ,b ],且x 1ʂx 2,若f (x 1)=f (x 2),都有f (x1+x 2)=1,则φ的值为( )㊂图1A .π12B .π6C .π4D .π3由图得A =2㊂由题意知x 1,x 2关于函数f (x )图像的对称轴对称,直线x =x 1+x 22是函数f (x )图像的一条对称轴,且fx 1+x 22=2,所以2s i n ω㊃x 1+x 22+φ =2,所以ωx 1+x22 +φ=π2+2k π(k ɪZ )㊂因为f (x 1+x 2)=1,所以2s i n [ω(x 1+x 2)+φ]=1,所以ω(x 1+x 2)+φ=π6+2k π(k ɪZ )或ω(x 1+x 2)+φ=5π6+2k π(k ɪZ )㊂令k =0,据上消去ω(x 1+x 2),可得φ=π6或φ=5π6㊂又因为|φ|<π2,所以φ=π6㊂应选B ㊂评注:解答本题的关键是熟练掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质㊂作者单位:甘肃省临夏州积石山县积石中学(责任编辑 郭正华)41 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学：三角函数求值的方法
高中数学：三角函数求值的方法
1. 角的拼凑
适当地变化角的表达式，可以给三角函数求值带来便利。
如单角α可以看成角α＋β与角β的差，也可以
看成角α－β与角β的和，既可以看成是的二倍，也可以看成是2α的一半。
角的分拆与配凑也是变角的常用策略。
如2α＝（α＋β）＋（α－β），α－β＝2α－（α＋β）等。
当条件所给角都是非特殊角时，要仔细观察非特殊角与特殊角之间的联系，可通过三角公式转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数值而得解。
例1. 已知，
，求cos（α＋β）的值。
分析：所求余弦中的角与已知正、余弦中的角，其运算结构不同，所以要做角的拆拼，注意到。
解：因为，
所以，
于是
所以
从而
例2. 求的值。
分析：此题给出的是非特殊角，要设法把非特殊角化为特殊角，相互低消、约分求出值。
解：
2. 化弦（切）法
当已知的式子中切、割、弦混合时，从函数名称的角度去考虑，切割化弦是三角函数求值的常用方法。
例3. 求的值。
解：原式
3. 公式变形
对三角公式不仅要正用，还要注意逆用和变用，要熟悉公式的变形，只有这样才能全面掌握公式。
如
可变化为
特别地，若，有
可变形为；
例4. 化简
解：原式
例5. 化简
解：利用结论：若，得
原式
例6. 计算
解：原式
▍ ▍ ▍。
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三角函数式的求值
【知识点精讲】
三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形
三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。
找出已知角与所求角之间的某种关系求解
（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。
将已知式或所求式进行化简，再求之
三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次
注意点：灵活角的变形和公式的变形
重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论
【例题选讲】
一、“给角求值”
例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习1:tan20°+4sin20°
练习2、（1）化简;︒--︒︒
︒-20sin 1160sin 20cos 20sin 212；
（2）求值： .
练习3：求()0000
1tan21tan24tan21tan24++⋅ ()()()()()000021tan11tan21tan431tan44+⋅+++
练习4、不查表求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值
二、“给值求值”：
例2、已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值
练习:)6
sin(,212tan παα+=求已知 例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
[点评]：分析:角之间的关系：2)4()4(πππ=++-x x 及)4(222x x -=-π
π ，利用余角间的三角函数的关系便可求之。
︒︒+︒+︒50tan 10tan 350tan 10tan
常用凑角：)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=
, )4
()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α，2()()βαβαβ=+--，)4
(24α-π-π=α+π，特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化。
练习1：设cos(α2β-)=91-，sin(βα-2)=32,且,022
ππαπβ<<<<，求cos(α+β) 练习 2：已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值
练习3：已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322
βαβαπβπ+=
=∈∈ （1） 求sin ,cos .ββ （2）求sin α.
例4、若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos( . 练习4.已知sin （
﹣α）﹣cosα=，则cos （2α+）=（ ）
A ．
B ．﹣
C ．
D ．﹣ 三、“给值求角”：
例5、已知,0,2παβ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 5
α=，tan 3β= ，求αβ+的值。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。
在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。
练习1:已知α，β为锐角，tanα=1/7 sinβ=
1010,求2α+β的值 练习2:已知11tan(),tan ,27
αββ-==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. 练习3：若),0(,πβα∈，31tan ,507cos -=-
=βα，求α+2β. 练习4：已知,0cos cos cos ,0sin sin sin =-+=+-γβαγβα且α、β、γ均为钝角，求角βα+的值.
四、 “给式求值”
例6、已知3
1)sin(,21)sin(=-=
+βαβα，求tanα:tanβ的值。
练习1: 若cos α+cos β=21,sin α+sin β=31,求 cos(α-β)的值; 练习2: 已知sinα+sinβ= m 已知cosα+cosβ= n(mn≠0).
求⑴cos(α-β);⑵sin(α+β);⑶tan(α+β)。