共点力的平衡及应用

图1图2图3 专题2 共点力的平衡及应用导学目标 1.掌握共点力的平衡条件及推论.2.掌握整体法及隔离法的应用.3.会分析动态平衡问题及极值问题．一、共点力的平衡 [基础导引]1．如图1所示，一个人站在自动扶梯的水平台阶上随扶梯匀速上 升，它受到的力有 ( ) A ．重力、支持力 B ．重力、支持力、摩擦力C ．重力、支持力、摩擦力、斜向上的拉力D ．重力、支持力、压力、摩擦力2．在图2中，灯重G ＝20 N ，AO 与天花板间夹角α＝30 °，试求AO 、 BO 两绳受到的拉力多大？[知识梳理] 物体受到的________为零，即F 合＝____或{ ΣF x ＝F y ＝0思考：物体的速度为零和物体处于静止状态是一回事吗？ 二、平衡条件的推论 [基础导引]1．如图3所示，斜面上放一物体m 处于静止状态，试求斜面对物体的 作用力的合力的大小和方向．2．光滑水平面上有一质量为5 kg 的物体，在互成一定角度的五个水平力作用下做匀速运动，这五个力矢量首尾连接后组成一个什么样图形？若其中一个向南方向的5 N 的力转动90°角向西，物体将做什么运动？ [知识梳理] 1．二力平衡如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小________、方向________，为一对____________．图4图5图62．三力平衡如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两个力的________一定与第三个力大小________、方向________． 3．多力平衡如果物体受多个力作用处于平衡状态，其中任何一个力与其余力的________大小________、方向________．考点一 处理平衡问题常用的几种方法 考点解读 1．力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法． 2．正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x 合＝0，F y 合＝0.为方便计算，建立直角坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则． 3．三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量平移使三力组成一个首尾依次相接的封闭三角形，进而处理物体平衡问题的方法叫三角形法；三角形法在处理动态平衡问题时方便、直观，容易判断． 4．对称法研究对象所受力若具有对称性，则求解时可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者将复杂的图形转化为直观而简单的图形．所以在分析问题时，首先应明确物体受力是否具有对称性． 典例剖析例1 如图4所示，不计滑轮摩擦，A 、B 两物体均处于静止状态．现 加一水平力F 作用在B 上使B 缓慢右移，试分析B 所受力F 的变 化情况．例2 如图5所示，重为G 的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂 处与水平方向成θ角，试求： (1)链条两端的张力大小； (2)链条最低处的张力大小．例3 如图6所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小 球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是 ( ) A ．mg cos α B ．mg tan αC.mg cos αD ．mg图7思维突破 共点力作用下物体平衡的一般解题思路：考点二 动态平衡问题 考点解读“动态平衡”是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”． 典例剖析例4 如图7所示，两根等长的绳子AB 和BC 吊一重物静止，两根绳 子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB 与水平方向的夹角不 绳子BC 逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC 的拉力变化情况是 ( ) A ．增大B ．先减小，后增大C ．减小D ．先增大，后减小思维突破 动态平衡问题思维导图：跟踪训练1如图8所示，质量分别为m A 和m B 的物体A 、B 用细绳 连接后跨过滑轮，A 静止在倾角为45°的斜面上，B 悬挂着．已 知m A ＝2m B ，不计滑轮摩擦，现将斜面倾角由45°增大到50°， 系统仍保持静止．下列说法正确的是 ( ) A ．绳子对A 的拉力将增大 B ．物体A 对斜面的压力将增大 C ．物体A 受到的静摩擦力增大 D ．物体A 受到的静摩擦力减小 考点三 平衡中的临界与极值问题 考点解读 1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述． 2．极值问题图8图9图10图11图12平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题． 典例剖析例5 物体A 的质量为2 kg ，两根轻细绳b 和c 的一端连接于竖直墙上， 另一端系于物体A 上，在物体A 上另施加一个方向与水平线成θ角 的拉力F ，相关几何关系如图9所示，θ＝60°.若要使两绳都能伸直， 求拉力F 的取值范围．(g 取10 m/s 2) 思维突破 解决极值问题和临界问题的方法(1)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．(2)数学方法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论或说明． 跟踪训练2 如图10所示，将两个质量均为m 的小球a 、b 用细线 相连并悬挂于O 点，用力F 拉小球a 使整个装置处于平衡状态， 且悬线Oa 与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F 的大小可能为 ( )A.3mg B ．mg C.32mg D.33mg4.整体法与隔离法例6 如图11所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力各为多少？ 方法提炼1．对整体法和隔离法的理解整体法是指将相互关联的各个物体看成一个整体的方法，整体法的优点在于只需要分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部繁杂的相互作用．隔离法是指将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体的方法，隔离法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态变化的原因以及物体间的相互作用关系表达清楚．2．整体法和隔离法的使用技巧当分析相互作用的两个或两个以上物体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．跟踪训练3 如图12所示，在斜面上放两个光滑球A 和B ，两球的 质量均为m ，它们的半径分别是R 和r ，球A 左侧有一垂直于斜 面的挡板P ，两球沿斜面排列并处于静止，以下说法正确的是图13图14图15图16 ( )A ．斜面倾角θ一定，R >r 时，R 越大，r 越小，B 对斜面的压力越小 B ．斜面倾角θ一定，R ＝r 时，两球之间的弹力最小C ．斜面倾角θ一定时，无论两球半径如何，A 对挡板的压力一定D ．半径一定时，随着斜面倾角θ逐渐增大，A 受到挡板的作用力先增大后减小A 组 动态平衡问题1.在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁 的地域风情和人文特色．如图13所示，在竖直放置的穹形光滑支 架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G .现将轻绳 的一端固定于支架上的A 点，另一端从B 点沿支架缓慢地向C 点靠近(C 点与A 点等高)．则绳中拉力大小变化的情况是 ( ) A ．先变小后变大 B ．先变小后不变 C ．先变大后不变 D ．先变大后变小B 组 临界与极值问题2．如图14所示，绳OA 能承受的最大张力为10 N ，且与竖直方向的 夹角为45°，水平绳OB 所承受的最大张力为5 N ，竖直绳OC 能够 承受足够大的张力，在确保绳OA 和OB 不被拉断的情况下，绳OC 下端悬挂物体的最大重力是多少？C 组 整体法与隔离法的应用3．如图15所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心， 碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是 m 1、m 2.当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线跟水平面分别成60°、 30°角，则两小球质量m 1与m 2的比值是 ( ) A ．1∶2 B.3∶1 C ．2∶1 D.3∶24.把用金属丝做成的直角三角形框架ABC 竖直地放在水平面上，AB 边 与BC 边夹角为α，直角边AC 上套一小环Q ，斜边AB 上套另一小 环P ，P 、Q 的质量分别为m 1、m 2，中间用细线连接，如图16所 示．设环与框架都是光滑的，且细线的质量可忽略，当环在框架上平衡时，求细线与斜边的夹角β及细线中的张力．图1图2图3图4课时规范训练(限时：30分钟)1．如图1所示，在倾角为θ的斜面上，放着一个质量为m 的光滑小球，小 球被竖直的木板挡住，则小球对木板的压力大小为 ( ) A ．mg cos θ B ．mg tan θ C.mg cos θ D.mg tan θ2．一只蚂蚁从半球形小碗内的最低点沿碗壁向上缓慢爬行，在其滑落之前的爬行过程中受力情况是 ( ) A ．弹力逐渐增大 B ．摩擦力逐渐增大 C ．摩擦力逐渐减小D ．碗对蚂蚁的作用力逐渐增大3．如图2所示，质量m 1＝10 kg 和m 2＝30 kg 的两物体，叠放在动 摩擦因数为0.50的粗糙水平地面上，一处于水平位置的轻弹 簧，劲度系数为k ＝250 N/m ，一端固定于墙壁，另一端与质量为m 1的物体相连，弹簧处于自然状态，现用一水平推力F 作用于质量为m 2的物体上，使它缓慢地向墙壁一侧移动，当移动0.40 m 时，两物体间开始相对滑动，这时水平推力F 的大小为 ( ) A ．100 N B ．300 N C ．200 N D ．250 N 4．如图3所示，a 、b 是两个位于固定斜面上的完全相同的正方形物块， 它们在水平方向的外力F 的作用下处于静止状态．已知a 、b 与斜面 的接触面都是光滑的，则下列说法正确的是 ( ) A ．物块a 所受的合外力大于物块b 所受的合外力 B ．物块a 对斜面的压力大于物块b 对斜面的压力 C ．物块a 、b 间的相互作用力等于FD ．物块a 对斜面的压力等于物块b 对斜面的压力5．如图4所示，轻绳一端系在质量为m 的物体A 上，另一端与套在粗 糙竖直杆MN 上的轻圆环B 相连接．用水平力F 拉住绳子上一点O ， 使物体A 及圆环B 静止在图中虚线所在的位置．现稍微增加力F 使 O 点缓慢地移到实线所示的位置，这一过程中圆环B 仍保持在原来 位置不动．则此过程中，圆环对杆的摩擦力F 1和圆环对杆的弹力 F 2的变化情况是 ( ) A ．F 1保持不变，F 2逐渐增大 B ．F 1逐渐增大，F 2保持不变 C ．F 1逐渐减小，F 2保持不变 D ．F 1保持不变，F 2逐渐减小6．如图5所示，质量为M 、半径为R 、内壁光滑的半球形容器静 止放在粗糙水平地面上，O 为球心．有一劲度系数为k 的轻弹图7 簧一端固定在半球形容器底部O ′处，另一端与质量为m 的小球相连，小球静止于P 点．已知地面与半球形容器间的动摩擦因数为μ，OP 与水平方向的夹角为θ＝30°.下列 说法正确的是 ( )A ．小球受到轻弹簧的弹力大小为32mgB ．小球受到半球形容器的支持力大小为12mgC ．小球受到半球形容器的支持力大小为mgD ．半球形容器受到地面的摩擦力大小为32mg7．如图6所示，A 是倾角为θ的质量为M 的斜面体，B 是质量为m 的截面为直角三角形的物块，物块B 上表面水平．物块B 在一水 平推力F 的作用下沿斜面匀速上升，斜面体静止不动．设重力 加速度为g ，则下列说法中正确的是 ( ) A ．地面对斜面体A 无摩擦力 B ．B 对A 的压力大小为F N B ＝mg cos θ C ．A 对地面的压力大小为F N A ＝(M ＋m )g D ．B 对A 的作用力大小为F8．如图7所示，长度相同且恒定的光滑圆柱体A 、B 质量分别为m 1、 m 2，半径分别为r 1、r 2.A 放在物块P 与竖直墙壁之间，B 放在A 与 墙壁间，A 、B 处于平衡状态，且在下列变化中物块P 的位置不 变，系统仍平衡．则 ( ) A ．若保持B 的半径r 2不变，而将B 改用密度稍大的材料制作，则物块P 受到地面的静摩擦力增大B ．若保持A 的质量m 1不变，而将A 改用密度稍小的材料制作，则物块P 对地面的压力增大C ．若保持A 的质量m 1不变，而将A 改用密度稍小的材料制作，则B 对墙壁的压力减小D ．若保持B 的质量m 2不变，而将B 改用密度稍小的材料制作，则A 对墙壁的压力减小图6答案基础再现 一、基础导引 1.A 2．40 N 20 3 N知识梳理 同一点 延长线 静止 匀速直线运动 合外力 0思考：物体处于静止状态，不但速度为零，而且加速度(或合外力)为零．有时，物体速度为零，但加速度不一定为零，如竖直上抛的物体到达最高点时、摆球摆到最高点时，加速度都不为零，都不属于平衡状态．因此，物体的速度为零与处于静止状态不是一回事． 二、基础导引 1.大小为mg ，方向竖直向上． 2.五个矢量组成一个封闭的五边形；物体将做加速度大小为 2 m/s 2的匀变速运动(可能是直线运动也可能是曲线运动)． 知识梳理 1.相等 相反 平衡力 2.合力 相等 相反 3.合力 相等 相反 课堂探究 例1 见解析解析 对物体B 受力分析如图所示， 建立直角坐标系．在y 轴上有 F y 合＝F N ＋F A sin θ－G B ＝0， ① 在x 轴上有F x 合＝F －F f －F A cos θ＝0，②又F f ＝μF N ；③联立①②③得F ＝μG B ＋F A (cos θ－μsin θ)． 又F A ＝G A可见，随着θ不断减小，水平力F 将不断增大．例2 (1)G 2sin θ (2)G cot θ2例3 B 例4 B跟踪训练1 C 例5 2033 N ≤F ≤4033 N跟踪训练2 A例6 (M ＋m )g mg tan θ 跟踪训练3 BC 分组训练 1．C 2．5 N 3．B 4．见解析解析 如图所示，进行受力分析，环Q 保持平衡 F T2sin θ＝m 2g θ＝β－α所以F T2＝m 2gsin (β－α)环P 也保持平衡，将m 1g 、F T1分解到AB 上则F T1sin γ＝m 1g sin α(γ＝π2－β)所以F T1＝m 1g sin αcos β＝F T2＝m 2gsin (β－α)得β＝arctan [m 2＋(m 1＋m 2)tan 2 αm 1tan α]代入上式，得F T1＝(m 2g )2＋[(m 1＋m 2)g tan α]2答案1．B2．B3．B4．B5．A6．C7．C8．A。