第6章 离散系统的z域分析
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第六章 离散z域..
n n
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
n
k 0 n
n 1
f (k ) z k
1
右移后 f (k n) (k ) z F ( z ) z
若f (k )是因果序列, f (k ) f (k ) (k )
f (k－n) (k n) z n F ( z)
f (k n) (k n) z n F ( z ) z n f (k ) z k
Fs ( s)
k
f (t ) (t kT )e dt f ( kT )e skT
st
k
f (t )(t kT )
sT 引入一个新的复变量z，令 z e 或 s
则上式变为 F ( z )
k
1 ln z T
第6章 离散系统的Z域分析
第6章
本章要点
离散系统的Z域分析
6.1 6.2 6.3 6.4
Z变换 Z变换的性质 逆Z变换 Z域分析
第6章 离散系统的Z域分析
6.0
引言
与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进
行分析。 Z变换 差分方程 代数方程
第6章 离散系统的Z域分析
6.1
一 Z变换的定义
f (t )
1
z
1
z
1
k 1
的Z变换。
a k k a k 1 k 1 a 1a k k 1
z a k za 1 z a k k 1 z a a k 1 a a
第6章 离散系统的Z域分析
f ( k ) f ( k )( k 1) 称为左边序列
第6章 离散系统的Z域分析
k→∞ Z→1
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
6、初值定理和终值定理
例子
例6.3 求kU(k)的Z变换。 kU(k)的 变换。
F ( Z ) = ∑ kZ k = Z 1 + 2 Z 2 + 3Z 3 +
k =0 ∞
Z 1 F ( Z ) = Z 2 + 2 Z 3 + 3Z 4 + (1 Z 1 ) F ( Z ) = Z 1 + Z 2 + Z 3 + = 1 + Z 1 + Z 2 + Z 3 + 1 1 Z ∞ = 1 1 1 Z
§6.2 Z变换的性质 Z变换的性质
1、线性特性
f1(k)←→F1(Z)， f2(k)←→F2(Z) )←→F )←→F )+bf )←→aF 则af1(k)+bf2(k)←→aF1(Z)+ bF2(Z)
2、尺度变换
f(k)←→F(Z) )←→F )←→F Z/a) 则akf(k)←→F(Z/a)
5、F(z)微分特性 F(z)微分特性
f(k)←→F(Z) )←→F d d kf(k)←→-Z──F(Z)， kf(k)←→(-Z─)nF(Z) kf( )←→- ──F kf( )←→(- dZ dZ 若f(k)为因果序列，即k<0时f(k)=0，则 为因果序列， <0时 )=0， f(0)=lim F(Z) Z→∞ (Z及lim f(k)=lim (Z-1)F(Z)
3、移序性质
f(k)←→F(Z) )←→F f(k+1)←→Z[F(Z)-f(0)] +1)←→Z n-1 f(k+n)←→ZnF(Z)-Zn∑f(k)Z-k )←→Z
k=0
4、卷积定理
第六章 离散系统的z域分析
∞
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
因果 序列
Re[z]
k = −∞
∑
−1
−a z
k
−k
= ∑ − a −k z k
k =1
∞
= 1 − ∑ a −k z k
k =0
1 = 1− 1 − a −1 z
1 = 1 − az −1
z<a
序列的z变换， j Im[z] |a| 不仅要给出F(z) 函数，同时还] Re[z 需要给出收敛 域。
z F ( z) = z z−a
−1
f [k ] = Z −1{F ( z )} = a k −1ε (k − 1)
序列乘a 域尺度变换） 3、序列乘 k （z域尺度变换）
若 f (k ) ← F ( z ), α <| z |< β →
则 a k f (k ) ← F ( z / a), α | a |<| z |< β | a | →
→ a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z ) 则 a1 f1 ( k ) + a2 f 2 ( k ) ←
ROC： R f 1 ∩ R f 2
2、移位特性
f (k )
f (k + 1)
f ( k − 2)
0
k
0
k
0
k
a、双边 变换的移位
z
若
则
f (k ) ← F ( z ) ROC = R f →
k =0
其中z为复变量， 以其实部为横坐标 ， 虚部 其中 为复变量，以其实部为横坐标， 为复变量 平面。 为纵坐标构成的平面为 z 平面。 用符号记为： 用符号记为：
F(z) = z [f (k)] f (k) = z -1 [F(z) ]
信号与系统自测题(第6章 离散时间信号与系统的z域分析)含答案
13
1 1 、某 LTI 系统，若输入 x (n) = ( 1 ) u (n) ，输出 y (n) = [a ( ) + 10( ) ]u (n) ， a 为实 6 2 3 7 。 数；若 x (n) = (−1) u(n) ， y (n) = 4 (−1) ，则系统函数 H ( z) 为（ A ）
二、单项选择题 1, n = 0, 4, • • •, 4m, • • • 1、 x ( n ) = ，则其双边 z 变换及其收敛域为（ 0, 其它
A
A
） 。
4 4
、 z z− 1 , z > 1
4 4
B
、 z 1− 1 , z > 1
4
C
、 1 −1z
, z >1 4
D
z 、 1− z
, z >1
B
1 、3 (−1) u (n) + (−2) u (n) 2 2 1 1 D、 δ ( n) + u ( n) + ( −2) u ( n) 2 2
n n n
1 z + z −1 注： − 1 δ (n) + (−1) u (n) + (−2) u (n) ↔ 似乎原题有错 2 2 z + 3z + 2
，则
z + 0.5 、z 2+ z − 0.75 注：
A
2
B
z + 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
C
z − 0.5 、z 2+ z − 0.75
2 2
D
z − 0.5 、z 2+ z + 0.75
2 2
[信号与系统]第6章 离散系统的Z域分析
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信号与系统第6章离散系统的z分析第第6章离散系统的z分析61z变换62z反变换63z变换的主要性质64离散系统的z域分析65系统函数hz66离散系统的稳定性67离散信号与系统的频域分析68数字信号处理信号与系统第6章离散系统的z分析上一章讨论了离散信号与系统的时域分析它的分析过程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
z esT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散
时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为
因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k 0的
部分，则有
F (z) f (k )zk
（6.1-6）
k 0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双
f (k ) Z-1 [F (z )] F (z ) f (k )z- k k 0
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。
6.2.1 幂级数展开法
由Z变换的定义
F (z ) f (k)zk f (0) f (1)z1 f (2)z-2 k 0
敛条件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会， 故一般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况 要复杂一些。例如
ak k 0 a, b为正实数
f (k)
bk k 0
双边Z变换为
1
F (z ) akz k bkz k (az 1)k (b1z )k
k 0
k
k 0
Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。
6.1.1 Z变换的定义
离散信号（序列）f (k) , f (1), f (0), f (1),
离散系统的Z域分析
F ( z) z
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z
n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0
n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0
n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0
双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z
n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令
第6章 离散时间系统的z域分析
1 | z | 1 2 | z | 2
例 求序列f (k ) cosh (2k ) (k )的z变换。
1 2k 由于 cosh ( k ) (e e 2 k ) 2 2 在单边指数序列a k ( k )的z变换中令a e 2 , 可得 z e (k ) , | z || e 2 | z e2 根据z变换的线性性质可得
f (k )
3
f ( k ) ( k ) 3
2
2
1
1 o 1 2
f ( k 1) 3 2
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k ) 3 2
1
k
1
1 o 1 2
f ( k 1)
k
1 o 1 2
f ( k 1) ( k )
3
k
3
2 1
1 o 1 2
k
1 o 1 2
k
(1)双边Z变换的移位 若 f (k ) F ( z )
k 0
该式称为单边Z变换。
将f ( k )的Z变换简记为Z [ f ( k )] ，象函数F ( z )的逆z变换 简记为Z
1
[ F ( z )] f ( k )与F ( z )两者间的关系简记为 ，
f (k ) F ( z )
在拉普拉斯变换分析中重点讨论了单边拉普拉斯 变换，这是由于在连续时间系统中，非因果信号 的应用较少。 对于离散系统，非因果信号也有一定的应用范围， 因此对单、双边z变换都进行讨论。
a
b
O
Re(z )
6.1.3 常见序列的Z变换
(k )
1
O
k
(k ) 1
第六章 离散系统的z域分析
3z 例： 2δ(k)+ 3ε(k) ←→ 2 + δ ε z −1
第1-12页 12页
z > 1
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信号与系统 电子教案
6.2
z变换的性质 z变换的性质
二、移位特性
双边z 双边z变换
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且有整数 β 且有整数m>0， ， 则： f(k±m) ←→ z±mF(z)， α<z<β ± ， β
2 2
z > a
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6.2
z变换的性质 z变换的性质
四、卷积定理
若： f1 (k) ←→F1(z) ， α1<z<β1 β f2 (k) ←→F2(z) ， α2<z<β2 β 则： f1(k) * f2(k) ←→ F1(z)F2(z)， ， 例 收敛域至少为 相交部分 求单边序列 (k+1)akε(k)的z变换，(0<a<1)。 的 变换， 。 变换
三、z域尺度变换(序列乘ak) 域尺度变换(序列乘a
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且对整数m>0， β 且对整数 ， 则： ak f(k) ←→ F(z/a)， αa<z<βa ， β 变换。 例：求指数衰减正弦序列 aksin(βk)ε(k) 的z变换。 β 解:
6.1 z 变 换
b k , k < 0 f 2 (k ) = b k ε (−k − 1) = 0, k ≥ 0
解: 反因果序列的 变换为： 反因果序列的z变换为 变换为：
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z > 1
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6.2
z变换的性质 z变换的性质
二、移位特性
双边z 双边z变换
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且有整数 β 且有整数m>0， ， 则： f(k±m) ←→ z±mF(z)， α<z<β ± ， β
2 2
z > a
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6.2
z变换的性质 z变换的性质
四、卷积定理
若： f1 (k) ←→F1(z) ， α1<z<β1 β f2 (k) ←→F2(z) ， α2<z<β2 β 则： f1(k) * f2(k) ←→ F1(z)F2(z)， ， 例 收敛域至少为 相交部分 求单边序列 (k+1)akε(k)的z变换，(0<a<1)。 的 变换， 。 变换
三、z域尺度变换(序列乘ak) 域尺度变换(序列乘a
若： f (k) ←→F (z) ， α<z<β，且对整数m>0， β 且对整数 ， 则： ak f(k) ←→ F(z/a)， αa<z<βa ， β 变换。 例：求指数衰减正弦序列 aksin(βk)ε(k) 的z变换。 β 解:
6.1 z 变 换
b k , k < 0 f 2 (k ) = b k ε (−k − 1) = 0, k ≥ 0
解: 反因果序列的 变换为： 反因果序列的z变换为 变换为：
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6.1 z变换
例5
双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 的z变换。
bk ,
a
k
,
k 0 k 0
a<b
解:
Fy (z)
z
z b
z >b
Ff
(z)
z za
z <a
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
第6-12页
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6.1 z变换
所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。
第6-4页
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6.1 z变换
（1）整个z平面收敛；
第6-5页
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6.1 z变换
例1 求以下有限序列的z变换 (1) f1(k)=(k) ↓k=0
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第六章 离散系统z域分析
第六章 离散系统z域分析
在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以 通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的 动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方 程转换为代数方程。
6.1 z变换
一、从拉普拉斯到z变换
第6-3页
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6.1 z变换
二、收敛域
z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级
数收敛，即
f (k)zk
k
时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是 序列f(k)的z变换存在的充分条件。
收敛域的定义： 对于序列f(k)，满足 f (k)z k k
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换(若存在) 收敛域为环状区域。
第6-13页
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m1
lim b 1 z (b 1 z) N 1
N
1 b 1z
可见，b-1z<1,即z<b时，其z变换存在，
Ff
(z)
z zb
jIm[z]
|b|
收敛域为|z|< |b|
o
Re[z]
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6.1 z变换
例4
双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 的z变换。
f(kT) →f(k) ，得
F (z) f (k)z k
称为序列f(k)的 双边z变换
k
F (z) f (k)z k k 0
称为序列f(k)的 单边z变换
若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不 等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。
F(z) = Z[f(k)] , f(k)= Z-1[F(z)] ；f(k)←→F(z)
信号与系统 电子教案
第六章 离散系统z域分析
6.1 z 变换
一、从拉普拉斯变换到z变换 二、收敛域
6.2 z 变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z 域分析
一、差分方程的变换解 二、系统的z域框图 三、s域与z域的关系 四、系统的频率响应 五、借助DTFT求离散系统的频率响应
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6.1 z变换
注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原 序列将不唯一。
例
f1 (k )
2k (k)
F1 ( z )
z
z
2
, z>2
f2 (k )
2k (k
1)
F2 (z)
z
z
2
, z<2
对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以 外的区域。可以省略。
一一对应
结论：双边Fb (z) + 收敛域
f(k)
单边F (z)
一一对应
f(k)
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6.1 z变换
常用序列的z变换：
(k) ←→ 1 ，整个则z平面
b k ,
a
k
,
k 0 k 0
a<b
解: F (z) Fy (z) Ff (z) z z zb za
可见，其收敛域为a<z<b
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
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（3）整个z平面均不收敛；
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例2 求因果序列
f
y
(k
)
a
k
(k
)
0, ak ,
k0 k0
的z变换（式中a为常数）。
解：代入定义
Fy (z)
ak z k
k 0
N
lim (az 1 )k N k0
lim
N
1 (az 1 ) N 1 1 az 1
可见，仅当az-1<1，即 z >a 时，其z变换存在。
jIm[z]
z Fy (z) z a
收敛域为|z|>|a|
|a|
o
Re[z]
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6.1 z变换
例3
求反因果序列 的z变换。
bk ,
f
f
(k
)
0,
k 0 bk (k 1)
k 0
解: 1
Ff (z) (bz 1 )k
k
(b 1 z) m
解
(2) f2(k)={1 , 2 , 3 , 2,1}
(1) F1 (z) (k)z k (k)z k 1
k
k
可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以
其收敛域为整个z 平面。
(2) f(k)的双边z 变换为
F(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域为0<z< ∞ f(k)的单边z 变换为
对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号。
取样信号
f S (t) f (t) T (t) f (kT) (t kT)
k
两边取双边拉普拉斯变换，得
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6.1 z变换
FSb (s) f (kT) ekTs k
令z = esT，上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示；
F (z) f (k)z k 3 2z 1 z 2 收敛域为z > 0 k 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时
它在0或/和∞也收敛。
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6.1 z变换
（2）部分z平面收敛；
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