初中数学解题方法：证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法_答题技巧
中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法
F DCB A中考二轮复习之证明线段的比例式或等积式的方法1、添加平行线证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。
（1） 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。
在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。
例1：如图，已知AD 是A B C 的外角平分线，AD 与BC 的延长线交于D 。
求证：BD:CD=AB:AC例2：如图，点D 在A B C 的AC 边上，且AD=BE 。
求证:E F A C F DB C=.例3：如图，已知BD:DC=5:3,E 为AD 的中点，求BE:EF 的值.(2)添加三角形外的平行线 添加的方法是过端点作平行线 例4：如图，已知在A B C中，AD 平分B A C ∠，求证：A B B D A CD C=.FDCBEA FEDCBA DCBAE FD CB A例5：已知在A B C 中，AD 是中线，直线CEF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE:ED=2AF:BF.例6：已知A B C 中，AD 为中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE=AF,EF 交AD 于G ，求证：G E A C G FA B=.2、利用三角形相似的性质。
例7：如图，已知A B C中，090A C B∠=，D 是AB 的中点，过D 作AB 的垂线交AC 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：2D C DE D F=.例8：如图，在A B C 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，过D 作AB 边上的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长线于H.求证：2D F G F H F=.2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．HGFEDCBAFE DCBA FECBDA例9：在A B C中，090A∠=，A DB C⊥于D ，D EA B⊥于点E ，求证：22A B B E A CA E=.例10：如图，已知P 是平行四边形的对角线BD 上一点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于F ，交CD 于E ，求证：2P A P E P F=⋅.例11：如图，已知ABCD 是平行四边形，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA 、BC 的 延长线于Q 、R ，交CD 、AD 于点S 、T.求证：P Q P T P R P S⋅=⋅.例12:已知在A B C 中，AD 是角平分线，AE 是外角平分线，交BC 的延长线于点E ，T 为DE 的中点.求证：2T EB TC T=⋅.E DCBA PFEDCB A TSPR QDCBAFETDCBA练一练1、如图，在A B C中，A C B ∠=090，C DA B⊥于D ，AB=13，AD=4，那么CD=2、如图，在Rt A B C 中，CD 是斜边AB 上的高，且BD=2，求AD 的长.3、如图，已知A B C中，90,A A D B C∠=⊥于D ，D EA B⊥于E ，求证：22A BB E A CA E=.DCBAEDCBADCBA。
北师版九年级初三数学上册解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法一网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，并且∠BAC＝∠BDC ＝∠DAE.求证：AB AC ＝AE AD.◆类型二 利用等线段代换2．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB.求证：AB AE ＝AC AD.3．★如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F.求证：DE 2＝BE·CE.◆类型三找中间比利用等积式代换4．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE ＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠BF A＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BF A＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC.∴△ABE∽△ACD，∴ABAC＝AE AD.2．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠CAB ＝∠BAE ，∴△ACB ∽△ABE ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝AC AD.3．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC .∴AE CE ＝BE AE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE . 4．证明：∵AE ∥DC ，∴∠QDC ＝∠E ，∠QCD ＝∠QAE ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ＝CD AE .∵AE ∥BD ，∴∠B ＝∠P AE ，∠BDP ＝∠AEP ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BD AE.∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQ EQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ .课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。
华师版九年级上册数学5.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法
解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法—网搜罗◆类型一 找线段对应的三角形，利用相似证明 1．(虹口区模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，BE ⊥AE ，垂足为点E ，求证：BE 2＝DE ·AE.2．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠BDC ＝∠DAE .求证：AB AC ＝AEAD.3．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，M ，N 分别为垂足．求证：AM AB ＝MNAC.◆类型二 利用等线段代换证明4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.5．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于E ，交AD 于F .求证：DE 2＝BE ·CE.6．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G .求证：AG 2＝AF ·CF.◆类型三 找中间比利用等积式代换7．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于P ，交AC 的延长线于Q .求证：PD ·EQ ＝PE ·DQ.8．★如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF.9．★如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 于F .求证：AB AC ＝DF AF.解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD .∵∠C ＝90°，AE ⊥BE ，∴∠ADC ＋∠CAD ＝∠BDE ＋∠DBE .∵∠ADC ＝∠BDE ，∴∠CAD ＝∠DBE ，∴∠BAD ＝∠DBE ，∴Rt △ABE ∽Rt △BDE ，∴BE DE ＝AEBE，∴BE 2＝DE ·AE .2．证明：证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BF A ＝∠CFD ，∴180°－∠BAC －∠BF A ＝180°－∠BDC －∠CFD ，即∠ABE ＝∠ACD ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD. 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD .又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，∠DAE ＝∠BDC ，∴∠AEB ＝∠ADC ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AEAD.3．证明：在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，AD ＝BC ，又∵∠AMB ＝∠AND ＝90°，∴Rt △AMB ∽Rt △AND ，∴AM AN ＝AB AD ＝ABBC.又∵AB ∥CD ，AN ⊥CD ，∴AN ⊥AB .∴∠BAM ＋∠MAN ＝∠BAM ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠MAN ，∴△AMN ∽△BAC ，∴AM AB ＝MNAC.4．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AC ＝AE AB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD .5．证明：如图，连接AE .∵EF 垂直平分AD ，∴AE ＝DE ，∴∠DAE ＝∠4.∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE ＝∠2＋∠3，∠4＝∠B ＋∠1，∴∠B ＝∠3.又∵∠BEA ＝∠AEC ，∴△BEA ∽△AEC ，∴AE CE ＝BEAE，∴AE 2＝BE ·CE ，∴DE 2＝BE ·CE .6．证明：∵BE ⊥AC ，∴∠AFB ＝∠BFC ＝90°，∴∠ABF ＋∠BAF ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAF ＝∠CBF ，∴△ABF ∽△BCF ，∴BF CF ＝AFBF，∴BF 2＝AF ·CF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠BCE ＝90°.又∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，∴△ADE ≌△BCE ，∴AE ＝BE .∵GF ∥AB ，∴AG AE ＝BF BE，∴AG ＝BF ，∴AG 2＝AF ·CF .7．证明：∵AE ∥DC ，∴△QCD ∽△QAE ，∴DQ EQ ＝CDAE .∵AE ∥BD ，∴△BDP ∽△AEP ，∴PD PE ＝BD AE .∵点D 为BC 的中点，∴BD ＝CD ，∴PD PE ＝DQEQ，即PD ·EQ ＝PE ·DQ . 8．证明：∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB ＝∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD CD ＝AC BC .∵E 为BC的中点，∴DE ＝CE ，∴∠EDC ＝∠DCE ＝∠DAC ，∴∠FDC ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△FDC ∽△F AD ，∴CF DF ＝CD AD ，∴DF CF ＝AD DC ，∴AC BC ＝DFCF，∴AC ·CF ＝BC ·DF .9．证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDA ＝90°，∠BAD ＋∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，∴△ABD ∽△CAD ，∴AB AC ＝BDAD .在Rt △ADC 中，∵点E 为AC 的中点，∴DE ＝CE ，∴∠C ＝∠EDC ，∴∠BAD ＝∠EDC .又∵∠EDC ＝∠FDB ，∴∠FDB ＝∠BAD ，即∠FDB ＝∠F AD .又∵∠F ＝∠F ，∴△DFB ∽△AFD ，∴DF AF ＝BD AD .∴ABAC ＝DF AF.。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
D
B
在这一个图形中,有两个 三 对相似,有 垂直,有____ 四 对互余的角,有_____ 三 ___ 组等积关系,它们分别是 AC2=AD· AB BC2=BD· AB
CD2=AD· BD
二 找相等的量（比、线段、等积式）替换
1等线段替换
例１ 已知等腰 ABC中，AB=AC，AD BC于D， CG AB，BG分别交AD、AC于E、F， 求证：BE EF EG
D
F
C
利用等比 式代换
2.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明: DC2=DE· DF
A
D
E
F
C
B
点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60°，
则AD· AB= AE· AC。
A D E B C
一、三点定形法
• 注：三点定形法证明等积式的一般步骤： • 1．先把等积式转化为比例式； • 2．观察比例式的线段确定可能相似的两个 三角形； • 3．再找这两个三角形相似所需的条件.
C
A
相似三角形
——比例式、等积式的几种常见证明方法
例.弦AB和CD相交于⊙o内一点P, 求证:PA· PB=PC· PD
∴ ∠A=∠D 同理: ∠C=∠B ∴△PAC∽△PDB
O
P
⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角 A
D
B C
PA PC PD PB
即PA· PB=PC· PD
练习：已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的
2
2等比替换
例2已知梯形ABCD中，AB CD，AC、 BD交于点O，BE AD交AC的延长线 于点E，求证：OA 2 OC OE
初中数学题型经典解题方法汇总
初中数学题型经典解题方法汇总初中数学题型经典解题方法汇总一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关;在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略;每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义;使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查;这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
初中数学解题思维方法大全
初中数学解题思维方法大全还在为初中数学解题而烦恼？还在为数学低分而烦躁？那是你没有全面理解初中数学的解题思维和解题方法。
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初中数学解题思维方法大全一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
初中线段问题解题技巧
初中线段问题解题技巧
在初中数学中，解决线段问题的技巧包括以下几点：
1. 理解线段的概念，线段是由两个端点和端点之间的所有点构成的，理解线段的定义对于解题非常重要。
2. 熟练使用线段的表示方法，线段可以用字母表示，比如AB 表示线段AB。
掌握这种表示方法可以帮助理解和解决线段问题。
3. 理解线段的性质，线段有很多性质，比如长度、中点、平分线段等。
了解这些性质可以帮助解决线段问题。
4. 运用勾股定理，在解决与线段有关的几何问题时，勾股定理是非常重要的工具。
通过勾股定理可以计算线段的长度或者判断三角形的形状。
5. 绘制图形，在解决线段问题时，绘制图形是非常重要的。
通过绘制图形可以更直观地理解问题，并且有助于找到解决问题的方法。
总的来说，解决线段问题需要对线段的概念、表示方法、性质等有深刻的理解，并且熟练运用相关的数学知识和技巧。
希望以上提供的技巧对您有所帮助。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
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初中数学解题方法：证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法_答题技巧
初中数学解题方法：证明线段的比例式或等积式的主要依据和方法
1、比例线段的定义。
2、平行线分线段成比例定理及推论。
3、平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
4、过分点作平行线；
5、相似三角形的对应高成比例，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
6、相似三角形的周长的比等于相似比。
7、相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
8、相似三角形的对应边成比例。
9、通过比例的性质推导。
10、用代数、三角方法进行计算。
11、借助等比或等线段代换。