第9章 高斯信道的信道容量
高斯信道
信道容量和带宽的关系
1.5
1
C
0.5
0
0
5
10
15 W
20
25
30
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
12
带宽有限信道的信道容量
香农公式的物理意义为：当信道容量一定 时，增大信道的带宽，可以降低对信噪功 率比的要求；反之，当信道频带较窄时， 可以通过提高信噪功率比来补偿。香农公 式是在噪声信道中进行可靠通信的信息传 输率的上限值。
定义
6
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
高斯信道信道编码定理的证明
中国科学技术大学 刘斌
《信息论基础》
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高斯信道信道编码定理的证明
1. 码簿的生成：令 为i.i.d. ~ ，形成码 字 2. 编码：码簿生成之后，将其告知发送者和接收者。对消 息下标w，发送器发送 3. 译码：联合典型译码
是联合典型的 不存在其他的下标 满足
1. 下标集 2. 编码函数 a。 生成码字 ，且满足功率限制P，
3. 译码函数 4. 平均误差概率：
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高斯信道的信道编码定理
对于一个功率限制为P的高斯信 道，如果存在满足功率限制的一个 码序列，使得最大误差 ，则称码 率R关于该功率限制为P的高斯信道是可 达的。 高斯信道的信道容量即是所有可达码率的 上确界。
转化成离散二元对称信道 离散信道的特点：可纠错，但有量化损失
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高斯信道的信道容量
功率限制为P的高斯信道的信道 容量定义为：
定义
高斯信道的信道容量为：
最大值在
中国科学技术大学 刘斌 《信息论基础》
信道容量计算公式
信道容量计算公式信道容量计算公式是通信领域中最为重要的公式之一。
它用于衡量在给定的信道条件下，所能传送的最大数据速率。
通俗地说，信道容量就是一条通信信道所能传输的最大数据量。
在通信领域中，信道容量是评估通信系统性能的重要指标之一。
信道容量通常用C来表示，它的计算公式是C=B*log2(1+S/N)，其中B代表信道带宽，S代表信号功率，N代表噪声功率。
这个公式表明，信道容量与信道带宽、信号功率和噪声功率都有关系。
信道带宽越大，信道容量就越大；信号功率越高，信道容量也越大；噪声功率越小，信道容量也越大。
在信道容量计算公式中，信噪比是一个重要的概念。
信噪比是信号功率与噪声功率之比。
当信噪比增大时，信道容量也会随之增大。
这是因为信号的功率增大，噪声对信号的影响就相对减小了，从而提高了信道的传输能力。
信道容量计算公式的应用非常广泛。
在无线通信系统中，信道容量是评估无线信道质量的重要指标之一。
在数字通信系统中，信道容量是评估数字通信系统性能的重要指标之一。
在信息论中，信道容量是研究通信系统极限性能的重要概念之一。
在实际应用中，为了提高通信系统的性能，我们需要尽可能地提高信道容量。
一种常用的方法是通过增加信道带宽来提高信道容量。
另外，也可以通过增加信号功率或减小噪声功率来提高信道容量。
在无线通信系统中，还可以采用编码和调制技术来提高信道容量。
信道容量计算公式是通信领域中最为重要的公式之一。
它不仅能够评估通信系统的性能，还能够指导我们在实际应用中如何提高通信系统的性能。
在未来的发展中，信道容量计算公式将继续发挥着重要的作用，促进通信技术的不断发展。
信道容量
信道容量研究通信的科研人员总是逃不过信道容量的计算。
而且会经常使用到C=B\mathrm{Log(1+SNR)}这个公式。
所以这个信道容量到底是什么意思呢，到底是怎么来的？所以信道容量的定义是什么，怎么推导、计算，实际意义又是什么？信道容量有两种:香农容量(遍历容量)和中断容量。
香农容量信道容量是在不考虑编解码延时和复杂度的情况下，误码率趋近于零的最高传输速率。
通道容量是一个上限。
如果要以高于这个的速率传输，就要付出误码率的代价。
香农是这样描述信道容量的:存在一个输入分布，可以最大化传输信息时的互信息。
这个最大互信息就是信道容量。
至于香农为什么可以这样定义，已经严格证明了，这是信息论的内容，后面再说。
互信息那么什么是互信息(这里默认理解为信息熵)？首先互信息是描述一个信息传递过程的一个量，用来刻画这个传输过程传输了多少有价值的信息。
比如说，你暗恋一个姑娘，你想去告白但是你很忐忑，成功了就很棒，失败了可能连朋友都做不成，所以H(X)就表示这种不确定性。
有一天你终于鼓起勇气给他发告白了，正常情况下对方会回复你，可能是“你是个好人”或者“那我们明天一起去看电影吧”或者给你一个尼克杨表情包，所以互信息就是用来刻画这条携带了多少信息量。
显然“好人”和“电影”这两个信息终究是给了你一个答案，解除了你心中的不确定性，携带的信息量就是你心中本来的不确定性。
但是如果他把你当备胎，回复你一个表情包，当然表情包也是可以看出来一点点她对你的态度，所以你心中的不确定性可能减小了一点，你能感受到对方的态度是有机会的还是没有机会的，所以这个表情包的携带的信息量可能就很小，因为虽然知道了一点对方的态度，但是你还是搞不清楚对方怎么想的。
X,Y分别表示两个随机变量，因为信源发送什么信息是一个随机事件，信息熵H(X)量化了信源的平均不确定性，而接收的信息经过信道的污染，也是随机的，所以H(Y)也量化了接收信息的平均不确定性。
虽然X,Y是两个变量，但是接收到的Y 肯定和X有点关系，并不是完全独立的，那么我们就可以根据Y猜X，能缩小一些X范围，能减小一些不确定性（互信息），这个互信息用I(X,Y)表示。
信道容量基本原理的应用
信道容量基本原理的应用1. 什么是信道容量？信道容量是指信道能够传输的最大信息速率，也称为信息传输速率上限。
在信息论中，信道容量被用来衡量信道的质量和可靠性。
2. 信道容量的计算方法信道容量的计算方法根据不同的信道模型和条件而有所不同，以下是几种常见的计算方法：•高斯信道容量计算–对于高斯信道，信道容量可以通过香农公式进行计算。
香农公式的表达式为：C = B * log2(1 + S/N)，其中C为信道容量，B为信道的带宽，S为信道中的信号功率，N为信道中的噪声功率。
•多径信道容量计算–对于多径信道，信道容量的计算比较复杂。
通常需要考虑多径传播导致的信号衰减、时延扩展以及相关性等因素。
•天线阵列信道容量计算–对于天线阵列系统，信道容量的计算需要考虑信号的幅度、相位和天线之间的相关性。
3. 信道容量的应用信道容量的基本原理在通信系统中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：•码率控制–在数据通信中，为了提高信道的利用率和系统的可靠性，常常会根据信道容量进行码率控制。
通过控制发送端的编码速率，可以适应信道的变化，提高系统的性能。
•功率分配–在无线通信系统中，多个用户共享有限的频谱资源。
为了提高系统的容量和性能，需要根据信道容量进行功率分配。
通过将更多的功率分配给信道质量好的用户，可以提高系统的整体性能。
•天线设计–在无线通信系统中，天线设计对信号的传输质量和容量有很大影响。
根据信道容量的计算结果，可以优化天线的配置和布局，提高系统的容量和覆盖范围。
•无线网络规划–在无线网络规划中，信道容量是一个重要的指标。
根据信道容量的计算结果，可以确定网络的规模和布局，优化网络的覆盖范围和用户体验。
4. 信道容量的局限性虽然信道容量在通信系统中有重要的应用，但是它也存在一些局限性：•复杂性–信道容量的计算需要考虑多个因素，涉及到复杂的数学模型和计算方法。
这对于系统的设计和优化需要专业的知识和技能。
•理论上的极限–信道容量的计算结果是基于理论模型和假设的。
高斯信道
最大信息传输速率一定时，增大所传输信号 的有效带宽，可以降低对信噪功率比的要求， 反之亦然 当所传输信号的有效带宽趋于无穷时，最大 信息传输速率趋于有限值
c d
2、时不变连续信道的噪声熵
①噪声熵
H(Y / X) = lim {−∑∑ p( x i y j )∆x∆y log[ p( y j / x i )∆y]}
n , m →∞ ∆x , ∆y →0 m n j=1 i =1 m n
= − lim
n , m →∞ ∆x , ∆y →0 j=1 i =1
第9章 高斯信道
一、时不变连续信道及信道容量 1、时不变连续信道 定义
对应于时不变连续信源和时不变连续信宿的信道 为时不变连续信道。
表示
信源符号X取值于集合[a , b] 信宿符号Y取值于集合[c , d] X p(y/x) Y
p(y/x)为信道转移概率密度函数
且满足 ∫ p( y / x )dy = 1
1 1 2 max h(Y) = log( 2πeσ Y ) = log[ 2πe(PX + PN )] p(x) 2 2
高斯信道的信道容量
1 1 1 PX C = log[ 2πe(PX + PN )] − log( 2πePN ) = log( 1 + ) 2 2 2 PN
PX 其中 为信噪功率比SNR PN
h (Y / X) − h (Y)
= −∫
=∫
c
d b
c
∫
a
p( xy ) log p( y / x )dxdy + ∫ p( y) log p( y)dy
不同调制方式下高斯信道容量的计算
不同调制方式下高斯信道容量的计算高斯信道通常是指在无线通信系统或数字通信系统中使用的一种常见的信道类型。
在通信系统中，调制方式是指在信号传输过程中，信号的模式发生变化的过程。
而不同的调制方式可能会对高斯信道容量的计算产生影响。
一、背景介绍高斯信道容量是指在高斯信道中，最大的可靠数据传输速率。
而高斯信道是指在系统中，存在高斯噪声的信道类型。
计算不同调制方式下高斯信道容量对于通信系统的设计和性能优化具有重要意义。
在无线通信系统中，常见的调制方式包括二进制调制、4QAM调制、16QAM调制、64QAM调制等。
这些调制方式对于数据传输速率的影响不同，因此计算不同调制方式下高斯信道容量具有一定的复杂性和挑战性。
二、不同调制方式下高斯信道容量的计算1. 二进制调制在二进制调制方式下，信号可以采用两种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，可以采用香农公式来进行计算。
香农公式表达了在存在高斯噪声的信道中，最大的可靠数据传输速率。
2. 4QAM调制在4QAM调制方式下，信号可以采用4种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
3. 16QAM调制在16QAM调制方式下，信号可以采用16种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要考虑到信号的复杂度和噪声的影响对数据传输速率的影响。
4. 64QAM调制在64QAM调制方式下，信号可以采用64种不同的离散数值来表示。
对于高斯信道容量的计算，需要对信号的复杂度和噪声的影响进行更为深入的分析和计算。
此时需要考虑到更多的信号状态和更大的信号空间对于数据传输速率的影响。
三、总结回顾在不同调制方式下高斯信道容量的计算可以得出以下结论：随着调制方式的复杂度的增加，高斯信道容量通常会随之增加。
因为复杂的调制方式可以为信号传输提供更多的离散状态，从而提高了数据传输速率。
但是，复杂的调制方式也同时带来了更大的挑战，需要更高的系统性能和更复杂的调制解调设备。
第9章高斯信道的信道容量-PPT精品文档
信源平均功率受限下，信宿高斯分布是否可达？
2 2 2 高斯分布，且均值 0 ，方差 P N Y Y X Z
2 信源取均值 0 ，方差 P 的高斯分布，信 X X
高斯信道的信道容量
信道容量 1 1 1 P C log[ 2 e ( P N )] log( 2 eN ) log( 1 ) 2 2 2 N P 式中— —信噪功率比 SNR N 达到信道容量的信源概率密度函数
1 p(x) e 2P
x2 2P
高斯信道的信道容量
9.2 带宽有限高斯信道的信道容量
1、波形信道
定义
对应于波形信源和波形信宿的信道
表示
信源——连续型随机过程X(t) 信宿——连续型随机过程Y(t)
高斯信道的信道容量
X ( t ) x ( t ) [ a ,b ] dP [ X ( t ) x ( t )] p [ X ( t ) x ( t )] p [ x ( t )] dX ( t )
p (z )dz p(z)log
1 h ( Z ) log( 2 eN ) 2
高斯信道的信道容量
3、高斯信道的信道容量 单符号连续信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密 度函数p(x) 严格上凸——总能找到一种信源概率 密度函数p(x)，使I(X;Y)达到最大
定义
信道固定时平均互信息I(X;Y)的最大值，用C表示
其中T为平均传输一条消息所需的时间
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
高斯信道的信道容量
2、香农公式
T=1/2W C 1 P1 P P C log( 1 ) / W log( 1 ) W log( 1 ) t T 2 N 2 W N N W 0 N 式中 N — — WGAN 的单边功率谱密度 0 W
信道容量的公式
信道容量的公式信道容量是通信领域中的一个重要概念，它描述了在给定噪声条件下，信道能够可靠传输信息的最大速率。
信道容量的公式是由克劳德·香农（Claude Shannon）提出的，这个公式为 C = B * log₂(1 + S/N) ，其中 C 表示信道容量，B 表示信道带宽，S 表示信号功率，N 表示噪声功率。
咱们先来说说这个信道带宽 B 。
想象一下，信道就像是一条公路，带宽呢，就好比公路的宽度。
公路越宽，能同时通过的车辆就越多；同理，信道带宽越大，能同时传输的信息也就越多。
比如说，我们现在的 5G 网络，它的信道带宽可比之前的 4G 大多了，所以传输速度那叫一个快。
再来说说信号功率 S 和噪声功率 N 。
这俩就像是在公路上行驶的车辆，信号是正常行驶的车，噪声就是捣乱的车。
信号功率越大，就相当于正常行驶的车越多，信息传输就越顺畅；而噪声功率越大，就像捣乱的车越多，会干扰正常的信息传输。
我记得有一次，我家里的网络出了问题，看个视频老是卡顿。
我就琢磨着，这是不是信道容量不够啊。
于是我开始研究，发现原来是周围太多人同时使用网络，导致噪声功率增大，影响了我家的网络速度。
就好像公路上突然涌入了好多乱开的车，把路都堵了，我正常的信息传输也被堵住了。
那这个信道容量的公式有啥用呢？比如说，在设计通信系统的时候，工程师们可以根据这个公式来确定需要多大的带宽，以及如何控制信号功率和噪声功率，以达到期望的信道容量，保证信息能够快速、准确地传输。
在实际应用中，比如卫星通信。
卫星在太空中向地球发送信号，由于距离远，信号会衰减，噪声也会增加。
这时候，就得用信道容量的公式来计算，怎样调整参数，才能让我们在地球上能清晰地接收到卫星传来的信息，像看电视直播、导航定位啥的。
还有无线局域网，像咱们家里的Wi-Fi。
如果同时连接的设备太多，就可能会导致信道容量不足，网速变慢。
这时候，我们可以通过优化路由器的设置，增加带宽，或者减少周围的干扰源，来提高信道容量，让网络更顺畅。
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最大信息传输速率一定时，增大所传输信号 的带宽，可以降低对信噪功率比的要求
随机过程X(t)在t时刻的取值x(t)为信源发出的消息 Y ( t ) y ( t ) [ c ,d ] 通常 [ c ,d ] [ a ,b ] dP [ Y ( t ) y ( t )] p [ Y ( t ) y ( t )] p [ y ( t )] dY ( t )
随机过程Y(t)在t时刻的取值y(t)为信宿收到的消息
信源平均功率受限下，信宿高斯分布是否可达？
2 2 2 高斯分布，且均值 0 ，方差 P N Y Y X Z
2 信源取均值 0 ，方差 P 的高斯分布，信 X X
信道容量 1 1 1 P C log[ 2 e ( P N )] log( 2 eN ) log( 1 ) 2 2 2 N P 式中— —信噪功率比 SNR N 达到信道容量的信源概率密度函数
Y ( t ) [ X ( t ) Z ( t )] h ( t )
式中 h (t)— —带宽为 W 的理想低通滤波器的 激响应
3、带宽有限高斯信道的信道容量 根据采样定理，不失真传输一条消息的最小时间 T=1/2W [0,T]时间，波形信道→单符号连续信道 信源平均功率受限下 信道容量 1 P / 2 W 1 P C log( 1 ) log( 1 ) 2 N / 2 W 2 N
定义
信道固定时平均互信息I(X;Y)的最大值，用C表示
表示
C max I ( X ;Y )
p (x )
C max I ( X ;Y ) max { h ( Y ) h ( Y /X )}
p ( x ) p ( x )
1 max h ( Y ) h ( Z ) max h ( Y ) log( 2 eN ) p ( x ) p ( x ) 2
Y=X+Z
Z z ( , ) dP ( Z z ) 1 p ( Z z ) p ( z ) e dZ 2 N
2 z 2 N
2、高斯信道的噪声微分熵
设坐标变换 f : x x , f : z y x 1 2
雅可比行列式
f1 x J f1 y f2 x 1 1 1 f2 0 1 y
达到信道容量的信源概率密度函数
1 p(x) e 2P
x2 2P
9.3 香农公式
波形信道习惯于信道单位时间内平均互信息的最 大值——最大信息传输速率/单位时间的信道容量 1、最大信息传输速率
定义
单位时间的信道容量，用Ct表示
表示
C 1 C I ( X ;Y ) t max ( x ) T Tp
3、香农公式的意义
信噪功率比小于1时最大信息传输速率仍大 于0 最大信息传输速率正比于所传输信号的带宽， 正比于信噪功率比 所传输信号的带宽趋于无穷时，最大信息传 输速率趋于有限值
P limCt log e w N 0
1 P P P N0W2 log( 1 ) 1 N0W N0W limCt lim lim loge w w w 1 1 2 W W 1 P P lim loge loge w P N0 N0 1 N0W
其中T为平均传输一条消息所需的时间
最大信息传输速率的单位为bit/sec(bps)
2、香农公式
T=1/2W C 1 P1 P P C log( 1 ) / W log( 1 ) W log( 1 ) t T 2 N 2 W N N W 0 N 式中 N — — WGAN 的单边功率谱密度 0 W
X(t)
p[y(t)/x(t)]
Y(t)
p[y(t)/x(t)]为信道转移概率密度函数
其中 [ y ( t ) / x ( t )] dy ( t ) 1 p
c d
2、带宽有限高斯信道
定义
作用下带宽限定为 W 的波形信道
2 均值 0 、方差 N 的白色高斯加性噪声 WGAN
表示
1 p(x) eபைடு நூலகம்2P
x2 2P
9.2 带宽有限高斯信道的信道容量
1、波形信道
定义
对应于波形信源和波形信宿的信道
表示
信源——连续型随机过程X(t) 信宿——连续型随机过程Y(t)
X ( t ) x ( t ) [ a ,b ] dP [ X ( t ) x ( t )] p [ X ( t ) x ( t )] p [ x ( t )] dX ( t )
p (x )p (z )log p (z )dxdz
p (z )dz p(z)log
1 h ( Z ) log( 2 eN ) 2
3、高斯信道的信道容量 单符号连续信道固定时，I(X;Y)对于信源概率密 度函数p(x) 严格上凸——总能找到一种信源概率 密度函数p(x)，使I(X;Y)达到最大
2 z 2 N
p ( xy ) p ( x ) p ( y / x ) p ( xy ) p ( xz ) J p ( xz ) p ( x ) p ( z )
1 p ( y /x ) p ( z ) e 2 N
h ( Y / X ) ( x ) p ( y / x ) log p ( y / x ) dxdy p
第9章 高斯信道的信道容量
高斯信道可靠传输信息的能力如何度量？
9.1 高斯信道的信道容量
1、高斯信道
加性噪声——信道中噪声与信号相互独立且对信 号的作用表现为线性叠加
定义
作用下的单符号连续信 道
2 均值 0 、方差 N 的白色高斯加性噪声 WGAN
表示
X Z
X x ( , ) dP ( X x ) p ( X x )p (x ) dX Y y ( , ) dP ( Y y ) p ( Y y )p (y ) dY