概率论 总体与样本
概率论与数理统计的基本概念和原理简介
概率论与数理统计的基本概念和原理简介概率论和数理统计是数学中重要的分支学科，它们在现代科学和生活中扮演着重要角色。
本文将对概率论和数理统计的基本概念和原理进行简要介绍。
一、概率论的基本概念和原理1. 随机试验随机试验是指具有以下特点的试验：在相同条件下可以重复进行，每次试验的结果不确定，但所有可能结果都是事先确定的且互不相容。
2. 随机事件与样本空间试验的每个可能结果称为基本事件，基本事件的集合称为样本空间。
样本空间中的子集称为随机事件。
3. 概率的定义一般来说，事件发生的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的定义可以通过频率的概念来解释：事件A发生的概率等于在多次重复试验中，事件A发生的频率趋近于一个常数。
4. 概率的性质概率具有以下性质：- 0 ≤ P(A) ≤ 1，概率值的取值范围在0到1之间。
- P(Ω) = 1，样本空间发生的概率为1。
- 对于任意的事件序列 {Ai}，若相互不相容，则有 P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
5. 概率的计算方法计算概率的常用方法有古典概型法、几何概率法、频率概率法和叠加原理等。
二、数理统计的基本概念和原理1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
通过对样本的统计分析，可以推断总体的性质。
2. 统计量统计量是样本的函数，用于刻画样本的某种性质。
常见的统计量有样本均值、样本方差等。
3. 参数估计参数估计是通过样本统计量推断总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
4. 假设检验假设检验是指对于总体参数提出一个假设，并通过对样本进行统计推断来判断是否拒绝假设。
假设检验分为单侧检验和双侧检验。
5. 相关与回归分析相关分析用于刻画两个变量之间的线性关系，回归分析用于建立一个变量与其他变量之间的函数关系。
三、概率论与数理统计的应用领域概率论和数理统计广泛应用于各个领域：1. 金融风险管理概率论和数理统计对金融领域的风险管理起着关键作用，可以通过建立数学模型对金融市场进行预测和评估。
概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布
概率论与数理统计-ch6-样本与抽样分布概率论中，所研究的随机变量是假定其分布是已知的，在此前提下研究它的性质、数字特征等。
在数理统计中，所研究的随机变量的分布是未知或不完全知道的，通过重复独⽴的试验得到许多观察值去推断随机变量的种种可能分布。
1、随机样本总体：试验的全部可能的观察值。
=样本空间个体：每⼀个可能观察值。
=样本点容量：总体中所包含的个体的个数。
有限总体⽆限总体⼀个总体对应⼀个随机变量X，对总体的研究就是对随机变量X的研究。
所以将不区分总体与相应的随机变量，统称为总体X。
样本：在数理统计中，⼈们都是通过从总体中抽取⼀部分个体，根据获得的数据来对总体分布得出推断的，被抽出的部分个体叫做总体的⼀个样本。
对总体进⾏⼀次观察，就会得到⼀个随机变量X1，对总体进⾏n次重复的、独⽴的观察，就会得到n个随机变量X1，X2，...,Xn，这n个随机变量X1，X2，...,Xn是对总体随机变量X观察的结果。
则X1，X2，...,Xn是相关独⽴且与X具有相同分布，称为来⾃总体X的⼀个简单随机样本。
n称为样本的容量。
进⾏n次观察得到的⼀组实数x1,x2,...,xn是随机变量X1，X2，...,Xn的观察值，称为样本值，也称为X的n个独⽴的观测值。
2、抽样分布样本是统计推断的依据，但往往不直接使⽤样本本⾝，⽽是由样本构造的函数。
统计量：设X1，X2，...,Xn是来⾃总体X的⼀个样本，g(X1，X2，...,Xn)是其函数，且g中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，...,Xn)是⼀统计量。
统计量也是⼀个随机变量。
g(x1,x2,...,xn)是统计量的观测值。
常⽤的统计量：经验分布函数：经验分布函数(empirical distribution function)是根据样本得到的分布函数.如设，是总体的样本值，将它们按⼤⼩顺序排列为，则称分布函数为经验分布函数是与总体分布函数相对应的统计量。
总体的分布函数是F(x)，统计量的经验分布函数是F n（x)，⽤F n（x)去推断F(x)，当n⾜够⼤时，F n（x)以概率1收敛于F(x)。
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
概率论与数理统计 第5章
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
总体与样本名词解释
总体与样本名词解释总体与样本是统计学中常用的两个名词。
它们在统计推断和概率论中扮演着重要的角色。
总体（population）是指研究对象的全体。
它可以是一个人群、一个国家的居民、一家公司的员工等等。
总体是研究者感兴趣的统计指标的全集合。
例如，如果我们想研究全球人口的平均身高，那么全球人口就是总体。
样本（sample）是从总体中选择出来的一部分观察值。
样本是对总体的一种估计。
选择样本可以减少数据收集的成本和时间，同时也能够提供关于总体特征的信息。
例如，我们可以从全球人口中选择一部分人进行调查，他们的身高数据就构成了一个样本。
总体与样本之间的关系可以通过抽样（sampling）来实现。
抽样是从总体中无偏地选取样本的过程。
在抽样过程中，我们希望样本能够代表总体的特征。
具体的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等等。
通过合适的抽样方法，我们可以用样本的数据推断总体的特征。
在统计推断中，总体和样本是很重要的概念。
我们通常对样本进行统计量的计算，例如样本均值、样本比例等等。
然后利用这些统计量来估计总体的参数，例如总体均值、总体比例等等。
通过根据样本对总体的估计，我们可以对总体的特征作出推断。
总体和样本还可以用来探索数据的分布特征和进行假设检验。
在数据的分析过程中，我们可以通过对样本的分析来了解总体的分布形态和特征。
并且通过比较样本的统计量和总体参数的差异，我们可以判断所提出的假设是否成立。
总体和样本在统计学中起着重要的作用，它们是进行统计推断和概率分析的基础。
理解总体和样本的概念以及它们之间的关系，可以帮助我们更好地理解和解释数据。
同时，正确选择样本和采用合适的抽样方法，也是保证统计推断和估计的准确性和可靠性的关键。
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
概率论与数理统计-第六章
这200人的年龄数据。
总体：北京市民的年龄 随机变量：年龄X
个体：张三28岁；李四5岁；
样本：{ 28；5；14；56；23；2；39；…；69} 样本容量：200
抽样：随机抽取200人进行调查的过程
6
例2：为了确定工厂生产的电池电量分布情况，在
产品中随机抽取500个，测量其电量。记录了
x
0
F n1 , n2
F分布的分位数
x
F分布的上α分位点
对于给定的 , 0 1, 称满足条件
F n1 , n2
f x; n1 , n2 dx 的点F n1 , n2
为F n1 , n2 分布的上 分位数。F n1 , n2 的值可查F 分布表
17
不易计算！
18
抽样分布 —— 任意统计量 Q = g (X1, X2, …, Xn ) 的分布函数 抽样分布的计算： 多维随机变量（独立、同分布）的函数的分布 函数的计算问题。
得到统计量 Q 的抽样分布，就可以用来解决
关于总体 X 的统计推断问题。
19
关于随机变量独立性的两个定理
解：(1)作变换 Yi
显然Y1 , Y2 ,
2 n i 1
Xi
, Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2,
Xi
i 1, 2,
,n
,n
于是 (
) Yi 2 2 n
2 i 1
28
n
(2)
2 ( X X ) X1 X 2 ~ N (0, 2 2 ), 1 2 2 ~ 2 (1) 2
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1
一. 总体和个体
定义 数理统计中，我们把所研究对象的全体称 为总体；总体中的每个元素称为个体
例1. (1) 当研究某地区职工收入平均水平时，这地区 所有职工的月收入组成了总体；而每个职工月 收入就是个体。 研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体 (2) 就组成了总体；而每个灯泡的寿命就是个体。
例如: 从某批国产轿车中抽 5 辆进行耗油量试验。 这一过程即为“抽样” 这 5 辆轿车为一个样本，其样本容量为 5
7
为了使得样本能很好的反映总体的情况，从总体 中抽取样本，必须满足下述两个条件：
随机性：为了使样本具有充分的代表性，抽样必 须是随机的，总体中的每个个体都有同等的机会 被抽到；
独立性：各次抽取必须是独立的，即每次抽样的 结果既不影响其它各次抽样，也不受其它各次抽 样的影响
总体
寿命X可用一概 率分布来刻划
F(x)
某批 灯泡的寿命
鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .
6
二. 抽样和样本
抽样
为推断总体分布及各种特征，按一定规则 从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为 样本， 样本中所包含的个体数目称为 样本容量。
i 1
10
三. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体 的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽 取10人测量身高，得到10个数，它们是样 本取到的值而不是样本. 我们只能观察到 随机变量取的值而见不到随机变量.
11
总体（理论分布） ？
样本 样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去 推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 样本是联系二者的桥梁
总体
2
…
注: ▲ 总体依其包含的个体总数分为有限总体(个体 的个 数是有限) 和 无限总体(个体的个数是无 限的)。但当有限总体它所含的个体的个 数很 大时也可视其为无限总体。3总体可以用一个 Nhomakorabea机变量来表示
考察某大学一年级 学生的年龄
设该大学一年级学生 的年龄分布如下表
年龄 18 19 20 0.1 21 22
9
如果把容量为 n 的样本看作 n 维随机变量。 且总体X 的分布函数为 F( x )，概率密度为 f (x)，则 ：
X1 , X 2 ,
X n 联合分布函数为：
n
F ( x1 ,
f ( x1 ,
xn ) F ( xi )
i 1
n
X1 , X 2 , X n 联合概率密度为：
xn ) f ( xi )
这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样 由此得到的样本称为简单随机样本
以后我们涉及的抽样和样本都是指简单随机抽样 和简单随机样本
8
定义
设总体X是具有某一概率分布的随机变量。 如果 X1 , X 2 X n 相互独立，且都与X具 有相同的概率分布，则称其为来自总体X 的简单随机样本，简称为样本，n称为样 本容量。 在对总体X进行一次具体的抽样并观测之后， X1 , X 2 Xn 得到样本 的确切数 值 x1 , x2 xn ，称为样本观察值(观测值)， 简称为样本值
某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体
可见，X的概率分布反 映了总体中各个值的分布 情况. 很自然地，我们就 用随机变量X来表示所考 察的总体.
也就是说，总体可以用一个随机变量 及其分布来描述.
5
又如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数 量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随 机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.
总体分布决定了样本取值的概率规律，也 就是样本取到样本值的规律，因而可以由样 本值去推断总体.
12
比例 0.5 0.3 某大学一年级全体 学生的年龄构成问 题的总体
0.07 0.03
若从该大学一年级学生中任 意抽查一个学生的年龄，所 得结果为一随机变量，记作 X.
4
考察某大学一年级 学生的年龄
X的概率分布是：
18 19 20 21 22 0.5 0.3 0.1 0.07 0.03