1 、当 为 时,分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算
费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导
费米—狄拉克分布和玻色—爱因斯坦分布的简单推导费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布最为基础和重要的模型。
它们都具有广泛的应用，可用于描述大量自然现象和事件的情况。
费米—狄拉克分布是早期的数学研究的结果，它是由俄国科学家费米和狄拉克合著的。
它表示大量自然现象和事件的分布是以不断变化的指数函数形式发生的，这就是“指数定律”。
当事件发生的频率并不经常发生，而其几率却很大时，便可以用费米—狄拉克分布来进行描述。
例如，地震的最大震级分布可以用费米—狄拉克分布来描述。
而玻色-爱因斯坦分布可以用来描述大量不断变化的量子物理现象，它定义为量子间的相对不确定性，它的形态是以正态分布的形式发生的。
玻色-爱因斯坦分布可以用来描述多种量子现象，例如，电子的空间分布或几率分布可以用玻色-爱因斯坦分布来表示。
总体而言，费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布是自然界形态分布中最为重要的模型，它们各自具有不同的特点，可以用来描述大量自然现象和量子现象。
玻尔兹曼分布与费米狄拉克分布的统一
p 2 c2
+
m
2 e
c4.
为了简化,
把所有的能量以
m e c2
为单位, 动量以 m e c为单位, 上式化为
ne = 8KP3e Q]1
1+
E E2 - 1 exp [ (E - Le - 1)
/kT ]
dE,
( 7)
Ke = h /m e c为电子的 Com pton波长.
如果要计算电子处在 E 1和 E 2之间的几率 f2, 则需要
0. 3109 0. 1230 2. 5286 0. 5722 0. 0347 16. 4914
0. 3109 0. 1707 1. 8217 0. 5722 0. 0483 11. 8537
2
0. 3109 0. 2353 1. 3215 0. 5722 0. 0716 7. 9958
1
0. 3109 0. 2829 1. 0991 0. 5722 0. 0983 5. 8221
后左右调一点但是值不变就是它合理的上限.
3 数值结果和分析 [ 4- 8]
表 1给出了在不同温度和化学势下玻尔兹曼分布和 费米 ) 狄拉克分布的比较. 其中左列为温度 kT= 0. 5M eV, 电子动能 0. 5- 1M eV的几率; 右列为 kT = 0. 05M eV, 电子 动能 0. 05- 0. 5M eV 的几率. f1 和 f2 分别代表玻尔兹曼分 布和费米 ) 狄拉克分布的结果. 由于玻尔兹曼分布不受化 学势的影响, 故化学势变化保持恒值; 费米 ) 狄拉克分布 的值随化学势减小而变大. 当温度较高, 如左列, 在化学势 很小时, 它们的分布几率是相差不大的. 但随温度降低, 如 右列, 它们偏离会增加. 随着 kT 值的增大, 物态越接近于 理想气体, 故两种分布几率越接近.
电子工程物理作业.
第四章1. 当E-E F 分别为kT 、4kT 、7kT ，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。
解：电子的费米分布 ()011F F D E E k Tf E e--=+，玻尔兹曼近似为()0F E E k TM B f E e---=（1）E-E F =kT 时 ()10.268941F D f E e-==+ ，()1=0.36788M B f E e --= （2）E-E F =4kT 时 ()410.018321F D f E e-=≈+ ，()40.01799M B f E e --=≈ （3）E-E F =7kT 时 ()710.000911F D f E e-=≈+ ，()70.00091M B f E e --=≈ 当0F E E k Te-远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据概率，从本题看出E-E F =4kT 时，两者差别已经很小。
2. 设晶格常数为a 的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量En(k)分别为()()m k k m k k E c 212223-+= ，()m k m k k E v 2221236 -= 式中m 为电子惯性质量，14.3,/1==a a k πÅ,试求出：（1）禁带宽度（2）导带底电子的有效质量； （3）价带顶电子的有效质量；（4）导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。
解： （1） 令 0)(=∂∂k k E c 即 ()023201202=-+m k k h m k h 得到导带底相应的 143k k =令 0)(=∂∂k k E v 即 0602=m kh 得到价带顶相应的 0=k故禁带宽度()0212210221021641433043m k h k m h k m hk E k k E E v c g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==-⎪⎭⎫ ⎝⎛==将k 1=a/2代入，得到022481m a h E g =（2）导带底电子有效质量02C 22nm 83dk E d /h m ==*（3）价带顶空穴有效质量02V 22p m 61dk E d /h m -==* （4）动量变化为a 8h30k 43p 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆3. 一块补偿硅材料，已知掺入受主杂质浓度N A =1⨯1015cm -3, 室温下测得其费米能级位置恰好与施主能级重合，并测得热平衡时电子浓度n 0=5⨯1015cm -3。
第九章第1讲 玻尔兹曼统计
•单原子分子：无内部结构的质点（没有转动等自由度）。
•理想气体：分子之间没有相互作用。
•考虑无外场，因此分子运动看作是在容器内的自由运动
ε=
p2 = 2m
1 2m
(
px2
+
py2
+
pz2 )
∫ ∫ = Z1 = e−βε dΩ
e−
β
1 2m
(
px2
+
p
2 y
+
pz2
)
dxdydzdpxdpydpz
h3
2kT m
方均根速率：
∫ ∫ vs=2 v=2
f (v)v2d=v
4
−
πAe
m 2kT
v2
v
4
d=v
3kT
m
= vs = v2
using: 1+ x + x2 + ... = (1− x)−1
每个单粒子态上的平均粒子数为
N
= − ∂ ln ξ ∂α
= eα +β1ε −1
= e(ε −µ )1/kT
−1
f BE
(ε
)
=
e(ε
1
−µ )/kT
-1
∈ (0,
+ ∞)
上式称为玻色分布函数，其意义是：玻色系统处于平衡态时， 各单粒子态（能量为ε）上的平均占据数无限制。
1
≈
1
exp[(ε − µ) kT ] ±1 exp[(ε − µ) kT ]
= exp[(µ − ε ) kT ] = fB (ε )
fB (ε=) exp(−α − βε=) exp[(µ − ε ) kT ] 1
3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布(雨课堂课件)
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e
E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E
4.53978
10
当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m
dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F
k
T
0
1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很
第三章 半导体中载流子的统计分布 布置作业解答
第三章作业题解答1、 计算能量在C E E =到2*2100(/8)C n E E h m L =+之间单位体积的量子态数。
解：导带底C E 附近每单位能量间隔内的量子态数为：13/223(2*)()()2n C C m V g E E E π=-则在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的量子态数为()C g E dE 。
在导带底C E 附近dE 能量间隔之间的单位体积的量子态数为()C g E dEV。
故能量在C E E =到22*2100(/2)C n E E m L π=+ 之间单位体积的量子态数为：22*222*2100(/2)13/2100(/2)233()(2*)()21000/3C n CC n CE m L C E E m L n C E g E dEZ Vm V E E dE L ππππ++⋅==-=⎰⎰2、试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为3/23(2*)()4()n C C m g E V E E h π=-(没有布置这一题)证明：Si 、Ge 在导带底附近的等能面为沿主轴方向的旋转椭球面，设其极值为C E ,则()E k k 关系为：2222312()()2C t lk k k h E k E m m +=++与椭球的标准方程：2223122221k k k a b c++= 比较得：1/222()[]t C m E E a b h -==，1/222()[]l C m E E c h-= ,,a b c k 即空间等能面（旋转椭球）的三个半径，故椭球体积为：1/23/2344(8)()33l t C V abc m m E E hππ==-对应能量为E E dE →+范围内两椭球壳之间体积为：dVdV dE dE=即 21/21/232(8)()l t C dV m m E E dE hπ=- 设晶体体积为V ，则其量子态密度为2V （考虑自旋），故在能量空间dV 体积内的量子态数为：21/21/2322(8)()l t C dZ V m m E E dE hπ=⨯- 因为导带极值在k 空间有S 个，所以状态密度为：21/21/23(8)()4()l t C C m m dZg E S V E E dE hπ==⨯- 又2/321/3*()n dn l t m m S m m ==所以 3/21/23(2*)()4()n C C m g E V E E hπ=-3、 当F E E -为0001.5,4,10k T k T k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。
第三章 费米分布及玻耳兹曼分布[详版课资]
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此时,电子的费米分布函数近似为
f F E
1＋exp
E
EF kT
－1
exp(- E - EF kT
)
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBE
exp
E EF k0T
23
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23
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EF E kT时, exp [(EF-E)/kT] 1 此时,空穴的费米分布函数近似为
先考虑导带:
E E+dE内的量子态数: dZ=gc(E)dE; 电子占据能量为E的量子态的概率: f(E); 则E E+dE内的所有量子态上的电子数为: dN=f(E)gc(E)dE
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29
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对旋转椭球形等能面:
gc (E)
4V
(2mn )3/ 2 h3
15
3.1.3 状（能）态密度的总结
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16
3.2 费米能级和载流子的统计分布
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17
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
37
3.2.4 载流子浓度乘积
讨论
1. 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关，也与掺杂无关， 取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量。
2. 在特定温度下，对于确定的半导体材料，热平衡下载流 子浓度的乘积保持恒定。
课堂优质
38
3.3 本征半导体的载流子浓度
杂质半导体的载流子浓度
杂质半导体的载流子分布摘 要：非简并杂质半导体的载流子浓度和费米能级由温度和杂质浓度所决定。
对于杂质浓度一定的半导体，随着温度的升高载流子则是从以杂质电离为主要来源过渡到以本征激发为主要来源的过程，相应地，费米能级则从位于 杂质能级附近逐渐移近禁带中线处。
费米能级的位置不但反映了半导体导电类型而且还反映了半导体的掺杂水平。
关 键 词：费米能级；状态密度；能量态；非简并结构；玻尔兹曼分布函数 引 言：实践表明，半导体的导电性强烈地随温度而变化。
实际上这种变化主要是由于半导体中载流子浓度随温度变化而变化所造成的。
因此，要深入了解半导体的导电性及其他许多性质必须探求半导体中载流子浓度随温度变化的规律，以及解决如何计算一定温度下半导体中热载流子浓度的问题。
半导体材料中总是含有一定量的杂质，所以研究杂质半导体的载流子分布具有重要意义。
为计算热平衡状态载流子浓度以及求得它随温度变化的规律，我们需先掌握两方面的知识：第一，允许的量子态按能量如何分布；第二，电子在允许的量子态中如何分布；然后根据量子统计理论[1]、电子的费米分布函数f （E ）及数学计算得到非简并杂质半导体的载流子浓度。
在求解过程中用到了电中性条件，由于得到数学表达式较为复杂，因此人们以温度T 为划分标准，划分为几个不同温度区域来近似讨论。
分区是一种非常有用的方法，往往能够使非常复杂的问题进行简化并得到理想的结果。
1 费米能级状态密度概念：假定在能带中能量E~（E+dE ）之间无限小的能量间隔内有dZ 个量子态，则状态密度g(E)为()dZ g E dE= 。
物理意义是：状态密度g(E)就是在能带中能量E 附近每单位能量间隔内的量子态数。
在k 空间中，以|k |为半径作一球面，等能面是球面的情况下，通过计算可得到，导带低附近状态密度g(E)为[2]*3/21/23(2)()4()n c c m dZ g E V E E dE hπ==- （） ，其中*n m 导带低电子有效质量。
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1、当F E E −为00015410.k T ,k T ,k T 时，分别用费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据各
该能级的几率。
2、利用表3-2中的n p m ,m ∗∗数值，
计算Si ，Ge ，GaAs 在室温下的C V N ,N 以及本征载流子浓度。
3、①室温下，Ge 的有效态密度19310510C N .cm −=×；1835710v N .cm −=×，求Ge 的载流子有效质
量n p
m ,m ∗∗。
计算77k 时的C N 、V N 。
已知300K 时，067g E .eV =，77K 时076g E .eV =。
求这两个温度下Ge 的本征载流子浓度。
②77K 时，Ge 的电子浓度为17310cm −，假定受主浓度为零，而001C D E E .eV −=，求Ge 中施主浓度D N 为多少？
4、计算施主杂质浓度分别为163183193101010cm ,cm ,cm −−−的Si 在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。
再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。
计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV 处。
5、计算含有施主杂质浓度153910D N cm −=×及受主浓度为1631110A N .cm −=×的Si 在300T K =时的
电子和空穴浓度以及费米能级的位置。
6、施主浓度为13310D N cm −=的n 型硅，计算400K 时本征载流子浓度，多子浓度、少子浓度
和费米能级的位置。
7、制造晶体管一般是在高杂质浓度的n 型衬底上外延一层n 型外延层，再在外延层中扩散硼、磷而成。
①设n 形硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV ，300K 时的F E 位于导带底下面0026.eV 处，计算锑的浓度和导带中电子浓度；（衬底）
②设n 型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为1534610.cm −×，计算300K 时F E 的位置及电子和空
穴浓度；（外延层）
③在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。
设扩散层某一深度处硼浓度为
1535210.cm −×，计算300K 时F E 的位置及电子和空穴的浓度；
（外延层中的扩散区）④如温度升高到500K ，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）
8、计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？
9、利用上题的结果，计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离？导带中电子浓度为多少？。