(完整版)三大分布及其分位数

研究生概率统计讲义
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
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p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
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研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
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研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
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研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
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因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数
λ1就是0.5α分位数 x 0.5α，双侧α分位数λ2就是
1-0.5α分位数
x
。
1-0.5α
2）标准正态分布的α分位数记作 uα，0.5α分位数 记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u 1-0.5α。
用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分 位数与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα。
上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使 P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
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p(
z)
2
n 2
1
n 2
x
n 2
1
e
z 2
,
z0
0,
otherw ise,
x2(n)分布是非对称分布，具有可加性，也叫再生性， 即当Y与Z相互独立，且Y～ x2(n)，Z～ x2(m)， 则Y+Z～x2 (n+m)。
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的分布称为自由
度等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度
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p(z) =
(
n+1 2
)
n
(
n 2
)
1+
z2 n
-
n+1 2
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请注意：t分布的分布密度也是偶函数， 且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度 曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值 查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
2. t分布
定义：若连续型随机变量X具有概率密度函数
f(x)
(k 1) 2
(1
x2
k 1
) 2 , x (, )
k ( k ) k
2
t分布是英国统计学家W.S.Gosset(1908)提出,笔名
Student,故又称Student分布.
X～N(0,1)，Y～x2 (n)，则Z =
X Y /n
,
0,
z0 otherw ise
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自 由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，1/ Z ～F (m ,n)。
4. t分布与F分布的关系
若X～t(n)，则Y=X2～F(1,n)。
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5. 常用分布的分位数
1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应