统计学三大分布及正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系

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张柏林 41060045 理实1002班

摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质，

然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之.

1.三大分布函数[2]

1.12χ分布

2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。

定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，）

，则称统计量222

212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布，

记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为

122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --⎧≥⎪⎪=Γ⎨⎪⎪<⎩

其中伽玛函数1

(),0t x x e t dt x +∞

--Γ=

>⎰

，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质：

性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==；

性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++；

性质3：2

n χ→∞→时，（

n ）正态分布； 性质4：设)(~2

2n α

χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条

件:αχχα

χα

==>⎰+∞

)

(2

22)()}({n dx x f n P 的点)(2

n α

χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查

用.

2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布

t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名

首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置.

定义：设2

~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/X

T Y n

=

服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .

t 分布的密度函数为

1

221

(

)2(;)(1),.()2

n n x t x n t n n n π+-+Γ=+-∞<<+∞Γ

t 分布的密度函数图

t 分布具有如下一些性质：

性质1：()n f t 是偶函数，2

2

1,()()2t n n f t t e

ϕπ-→∞→=；

性质2：设)(~n t T α，对给定的实数),10(<<αα称满足条件；

ααα==>⎰

+∞)

()()}({n t dx x f n t T P 的点)(n t α为)(n t 分

布的水平α的上侧分位数. 由密度函数)(x f 的对称性，可得).()(1n t n t αα-=-类似地，我们可以给出t 分布的双侧分位数

,

)()()}(|{|)

()

(2/2/2/αααα=+

=

>⎰

⎰

+∞

-∞

-n t n t dx x f dx x f n t T P 显然有.2

)}({;2

)}({2/2/α

ααα=-<=>n t T P n t T P 对

不同的α与n ，t 分布的双侧分位数可从附表查得.

t 分布的上α分位数

1.3F 分布

F 分布是随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛. 它可用来

检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等. F 分布还是方差分析和正交设计的理论基础.

定义：设22~(),~()X n Y m χχ，,X Y 相互独立，令则称统计量//X n

F Y m

=服从为第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布.

F 分布的密度函数图

F 分布具有如下一些性质：

性质1：若~(,),1/~(,)F F n m F F m n 则； 性质2：若)(~n t X ，则2~(1,)X F n ；

性质3：设),(~m n F F α，对给定的实数),10(<<αα称满足条件；

ααα==

>⎰

+∞

)

,()()},({m n F dx x f m n F F P

的点),(m n F α为),(m n F 分布的水平α的上侧分位数.

F 分布的上α分位数

F 分布的上侧分位数的可自附表查得.

性质4：.)

,(1

),(1m n F n m F αα-=此式常常用来求F 分布表中没有列出的某些上侧

分位数.

1.4正态分布

正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础. 高斯（Gauss ）在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又称为高斯分布. 正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态. 为了应用方便，常将一般的正态变量X 通过u 变换转化成标准正态变量u ，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布N （0，1）

. 正态分布的密度函数和分布函数

若连续型随机变量X 具有概率密度()f x 为

22

()2(),,x f x x μσ--=-∞<<+∞其中,(0)μσσ>为常数，则称X 服从参数

为μσ，的正态分布，记为2~()X N μσ，.