八年级数学最短距离问题
线外一点到直线的最短距离
线外一点到直线的最短距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到这样一个问题：给定一个点和一条直线，求点到直线的最短距离。
这个问题在很多实际应用中都是非常常见的，比如在工程设计中需要确定某个点到直线的距离，或者在航海中需要确定飞行器到航线的距离。
要计算点到直线的最短距离，我们首先需要了解直线的方程以及点到直线的垂直距离的定义。
一条直线可以用方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B、C是常数。
假设我们有一个点(x_0,y_0)，我们想计算这个点到直线Ax+By+C=0的最短距离。
为了计算这个最短距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0的垂直距离可以表示为：d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}这个公式的推导过程可以通过向量的方法来进行，但是为了简化，我们这里不展开具体的推导细节。
这个公式给出了点到直线的最短距离，我们可以通过这个公式来解决这个问题。
举例来说，假设我们有点(2,3)和直线2x+3y-6=0，我们想计算点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离。
根据上面的公式，我们可以将点的坐标和直线的系数代入公式中计算出最短距离d。
d = \frac{|2*2+3*3-6|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}}通过上面的计算，我们可以得出点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离为\frac{1}{\sqrt{13}}。
这个计算过程可以很方便地通过计算机程序实现，从而解决大量点到直线距离计算的需求。
除了点到直线的最短距离，我们还可以考虑更一般的问题：线外一点到直线的最短距离。
这个问题稍微复杂一些，但是我们同样可以通过基本的几何知识和计算方法来解决。
我们可以通过直线的方程Ax+By+C=0计算直线的斜率k=-\frac{A}{B}。
然后，我们可以得到直线的法线方程y=kx+\frac{C}{B}，这个方程表示直线的法线的斜率为-\frac{1}{k}且经过点(x_0,y_0)。
人教版初二数学上册《最短距离问题》教案
人教版初二数学上册《最短距离问题》教案一、教学目标1. 理解最短距离的概念和计算方法；2. 能够运用最短距离的概念和计算方法解决简单的实际问题；3. 发展学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学内容1. 最短距离的定义及计算方法；2. 实际问题中的最短距离应用。
三、教学过程步骤一：引入1. 明确本节课的教学目标：研究最短距离的概念和计算方法，能够运用最短距离解决实际问题。
2. 列举一些现实生活中常见的最短距离问题，引起学生的兴趣和思考。
步骤二：概念讲解1. 通过图示和实例向学生介绍最短距离的概念，解释最短距离的含义和计算方法。
2. 引导学生通过几个简单的实例计算最短距离，并与同学讨论解决过程和答案。
步骤三：练和应用1. 给学生分发练题，让他们独立完成。
2. 学生完成练后，互相交流答案，并讨论解题过程中的思路和方法。
步骤四：拓展应用1. 引导学生思考如何应用最短距离的概念来解决更复杂的实际问题。
2. 提供一些挑战性的问题，让学生尝试解决并与同学分享思路和答案。
步骤五：总结反思1. 回顾本节课所学的最短距离概念和计算方法。
2. 学生进行自我评价，讨论在解题过程中遇到的困难和收获。
3. 教师对学生的研究情况进行总结和评价。
四、教学资源1. 教材：人教版初二数学上册。
2. 练题和案例：教师自行准备。
五、教学评价1. 学生在课堂练和应用中的表现。
2. 学生对最短距离概念的理解程度。
3. 学生的解题思路和方法是否合理。
六、拓展延伸1. 学生可以通过实际观察和测量，找出身边更多的最短距离问题，并进行解决。
2. 学生可以运用数学软件或在线工具来进一步探索最短距离的计算方法和应用。
以上为《最短距离问题》教案的简要内容，希望能够帮助到您。
八年级数学最短路径题型归纳
八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。
以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。
解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。
2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。
解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。
3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。
解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。
解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。
5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。
解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。
6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。
7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。
解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。
在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
初二数学最短距离练习题
初二数学最短距离练习题在初中数学中，最短距离是一个经常出现的概念。
掌握最短距离的求解方法是解决许多几何问题的关键。
本文将介绍一些初二数学最短距离的练习题，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
1. 假设有一个直角三角形，斜边长为10厘米，一条直角边长为6厘米。
求另一条直角边的长度以及最短距离。
解答：根据勾股定理，已知斜边和一直角边的长度，可以求得另一直角边的长度。
设另一直角边的长度为x，则根据勾股定理有：x² + 6² = 10²化简得：x² = 100 - 36 = 64因此，x = 8。
最短距离可以通过两种方法求解。
一种方法是将直角三角形平移到一个坐标平面中，直角顶点对应坐标原点，然后计算另一直角边上的一个点到原点的距离。
另一种方法是利用最短距离的性质，即最短距离是两个点连线的长度。
根据这个性质，可以直接计算斜边和另一直角边的距离，即最短距离。
在这个问题中，最短距离即为直角边长为6厘米的线段长度，因此最短距离为6厘米。
2. 已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。
矩形的一角上有一个风筝，风筝的顶点与矩形对角线的交点距离矩形两边的长度分别为3厘米和4厘米。
求风筝到离它最近的矩形边的距离。
解答：首先，通过勾股定理求解矩形对角线的长度。
设对角线的长度为x，则有：x² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100因此，x = 10。
由于矩形的一角上有一个风筝，题目要求求解风筝到离它最近的矩形边的距离。
根据最短距离的性质，可以发现离风筝最近的矩形边的长度为3厘米，即风筝到离它最近的矩形边的距离为3厘米。
3. 一个底边为6厘米，高为8厘米的等腰梯形经旋转得到一个圆锥。
求该圆锥的最短距离。
解答：首先，我们需要明确圆锥的最短距离是指圆锥的顶点到圆锥底面上某一点的距离。
在本题中，该点可以是梯形的底边中点。
根据梯形的特性，等腰梯形的底边中点到两侧斜边的距离相等，即为高的一半。
小专题(一) 最短距离问题-北师大版八年级数学上册习题课件(共12张PPT)
所以最少需花费1200×300=360000(元).
-5-
小专题(一)
最短距离问题
类型3 几何体表面两点间的最短距离问题
3.如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80 cm,高
AB=60 cm,水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包
屑,G在水面线EF上,且EG=60 cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点
所以 A'B= ' 2 + 2 =13(cm).Fra bibliotek-10-
小专题(一)
最短距离问题
类型4 两点之间线段最短与轴对称的综合
5.如图,河边有A,B两个村庄,A村距河边10 m,B村距河边30 m,
两村平行于河边方向的水平距离为30 m.现要在河边建一个
抽水站E,需铺设管道抽水到A村和B村.
( 1 )要使铺设管道的长度最短,请作图找出抽水站E的位置.(
需花费多少元?
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小专题(一)
最短距离问题
解:过点P作PC⊥AB于点C,PC就是村庄P到公路l的最短路程,
故沿着PC修硬化路面的花费最少.
因为PA=PB,PC⊥AB,
1
所以AC=CB= 2 ×1000=500,
在Rt△APC中,AP=1300,
根据勾股定理,得PC2=AP2-AC2=13002-5002=12002,
②AG2=(3+12)2+42=241(cm2);
③AG2=(3+4)2+122=193(cm2).
所以它爬行的最短路程的平方为193 cm2.
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小专题(一)
最短距离问题
( 3 )如图,将容器侧面展开,作点A关于EF的对称点A',连接
初中数学《最短距离问题》教学设计
初中数学《最短距离问题》教学设计课题分析（1）最短距离问题是初中数学的重要内容之一，也是中考命题的重点之一。
学生已有两点之间线段最短的基本知识，故本课应对从直观认识的基础上，着重在不同背景的实际问题中应用，从而渗透化归的数学思想方法。
（2）通过本节的学习，类比、构造、化归转化等数学思想方法的渗透，使学生体会到数学中的美学意义，不断提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。
学情分析（1）知识基础：学生了解两点之间线段最短等基本知识点，但此后的学习很少涉及此内容，所以学生对此内容的应用较为陌生，所以学生通过本课的学习，须掌握能在不同背景的实际问题中应用。
（2）能力基础：学生的作图能力还是读图能力，添加适当的辅助线、创造适合的条件去在不同背景的实际问题中应用的能力比较薄弱的，这些能力都必须得到加强。
（3）心理基础：因为陌生而害怕，学生在这部分的学习上存在心理的障碍，这不利于学习，故要在题目的设置上让学生更容易得到成就感，才会让学生敢于动手，达到学好的信心，要充分调动学生的积极性。
教学目标知识目标：掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用。
技能目标：学习过平移、轴对称、旋转三种图形变换，利用图形变换能解决一些最短距离问题。
情感目标：引导学生对图形观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.体会数学的对称美，体验化归的思想方法，培养合作精神。
重点难点重点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.利用图形变换能解决一些最短距离问题难点：1.掌握两点之间线段最短问题，能在不同背景的实际问题中应用2.体验化归的数学思想方法教学手段1.运用多媒体辅助教学2.运用合作学习的方式，分组学习和讨论3.调动学生动手操作，帮助理解准备工作1.几何画板课件，辅助难点突破2.学生自带剪刀，圆规，直尺等工具教学设计策略依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
数学人教版八年级上册中考复习课《最短距离》
中考复习课《最短路径问题》教材分析：本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”“垂线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。
它既是轴对称、勾股定理知识的运用的延续，又能培养学生自主控究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁的作用。
设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题，让学生直面数学模型，体会数学的本质，有利于学生系统的学习知识。
学情分析对于九年级的学生来说，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理、轴对称的性质等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活。
最短路径问题，学生在八年级已经有所接触。
对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，受已有经验和知识基础的影响，部分学生在八年级学习时很茫然，找不到解决问题的思路。
进入中考复习阶段，随着一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题的出现，更是让学生感到陌生，无从下手。
从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。
所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，以达到提高学习能力的目的。
学习目标：1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用。
2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决，感悟转化思想.3、通过训练，提高综合运用知识的能力。
教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题，学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法。
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八年级数学最短距离问题
最短距离；对称；平移；展开
初中数学中的“最短路线”问题其实是以“平面内连接两点的线中线段最短”（以下简称“两点之间，线段最短”）这一公理为原则引申出来的。
初中数学题目中带有限制条件的最短路线问题，即最短路线问题，它的解决方法归根到底是
想方设法运用“两点之间，线段最短”这一公理来解决，常用方法是对称和展开。
一、利用“对称”解决最短路线问题。
对称有一个重要的性质，即“对应点连线段被对称轴垂直平分”，简单地说就是“对称
轴垂直平分这条对应点连线段”。
而垂直平分线有一条重要的性质，即“垂直平分线上的点
到两端点的距离相等”。
所以，我们研究A点到直线l的距离问题，就转化成了A’点到直线l的距离问题，而这个转化是等价的。
例1.（饮马问题）将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营
地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远。
分析：本题要求的是将军行走的最短距离，而我们知道两点之间线段最短，所以我们要把本题中的问题转化成两点之间线段最短，从而求得答案。
如果我们设饮水地点是P，所求的距离就是AP+BP两线段长度之和，为了应用“两点之间，线段最短”这一公理，我们利用对
称的方法将A点对称到河对岸的A’点，这样AP+BP=A’P+BP，我们连接A’Ｂ，与CD的交点P 即为饮水地点，如图利用勾股定理求出结果：A’Ｂ2=AG2+BG2，A’B=13公里。
二、利用“平移”解决最短路线问题
例2.A，B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使
它垂直于河岸。
请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A，B两个村子之间的路程最短。
分析：因为河垂直于河岸，所以最短路程必然是折线。
分别是A点到河岸+桥长+河岸到B 点。
因为桥长是垂直于桥且长度固定，等于河宽，所以我们可以作A点垂直于河岸的垂线，
量出AC=EF，如图。
就相当于先过河（AC长），再求C点到B点的最短距离，即线段CB。
解，如上图，过A点作河岸的垂线，取AC为河宽，连接CB交河下岸与E，再做EF垂直于河岸，则AF+EF+EB即为最短距离。
三、利用展开图求最短距离问题
如果最短距离问题出现在立体图形中，如圆柱，圆锥，棱柱等。
我们左丘的最短路线应
该是展开图这一平面图中两点之间的线段长度。
例3. 工人师傅要给一个圆柱体的制品镶嵌金线，如下图，如果金线的起点固定在A点，绕一周后终点为B点，如果AB长为10cm，底面周长为12cm，问最短用多少金线。
分析：很明显这是一条曲线，如果我们从母线AB处剪开圆柱的侧面，展开成平面图如下图：
那么我们会发现连接AB’，即为此最短的金线长度，根据勾股定理可得AB’为。
拓展：如果绕两圈，绕n圈所需的金线长度，该如何求？
例4：如图，一个长方体中，一只蚂蚁想要从A点爬到D点吃一块糖，一只AB=BC=12cm，CD=5cm，求最短距离。
分析：A D不在同一个平面，所以爬过去是一条折线，我们的思路依然是展开成一个平面。
此处的展开我们要注意有三种展开情况，分别是前面与顶面，前面与右面，左面与顶面。
这三种情况均能将 A D分配到一个平面上。
下面我们要就这三种情况分别计算A到D的直线距离。